Идеал (теория множеств)

В математической области теории множеств идеал — это частично упорядоченный набор множеств , которые считаются «маленькими» или «незначительными». Каждое подмножество элемента идеала также должно находиться в идеале (это кодифицирует идею о том, что идеал — это понятие малости), и объединение любых двух элементов идеала также должно находиться в идеале.

Более формально, если задан набор $X,$ идеал $I$ на $X$ является непустым подмножеством множества степеней $X,$ такой, что:

$\varnothing \in I,$
если $A\in I$ и $B\subseteq A,$ затем $B\in I,$ и
если $A,B\in I$ затем $A\cup B\in I.$

Некоторые авторы добавляют четвертое условие, согласно которому $X$ себя нет в $I$ ; идеалы, обладающие этим дополнительным свойством, называются собственными идеалами .

Идеалы в теоретико-множественном смысле — это в точности идеалы в теоретико-порядковом смысле , где соответствующий порядок — это включение множеств. Кроме того, они являются в точности идеалами в теоретико-кольцевом смысле на булевом кольце, образованном набором степеней базового набора. Двойственное понятие идеала – это фильтр .

Терминология

Элемент идеала $I$ Говорят, что это $I$ -ноль или $I$ -negligible или просто нулевой или незначительный , если идеал $I$ понимается из контекста. Если $I$ является идеалом на $X,$ тогда подмножество $X$ Говорят, что это $I$ -положительный (или просто положительный ), если он не является элементом $I.$ Коллекция всех $I$ -положительные подмножества $X$ обозначается $I^{+}.$

Если $I$ является правильным идеалом на $X$ и для каждого $A\subseteq X$ или $A\in I$ или $X\setminus A\in I,$ затем $I$ является первичным идеалом .

Примеры идеалов

Общие примеры

Для любого набора $X$ и любое произвольно выбранное подмножество $B\subseteq X,$ подмножества $B$ сформировать идеал на $X.$ Для конечного $X,$ все идеалы имеют такую форму.
Конечные подмножества любого множества $X$ сформировать идеал на $X.$
Для любого пространства с мерой подмножества множеств меры нуль.
Для любого пространства с мерой существуют множества конечной меры. Сюда входят конечные подмножества (с использованием меры подсчета ) и небольшие множества, указанные ниже.
Борнология площадке на съемочной $X$ это идеал, охватывающий $X.$
Непустая семья ${\mathcal {B}}$ подмножеств $X$ является правильным идеалом на $X$ тогда и только тогда, когда двойственно оно $X,$ который обозначается и определяется $X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},$ это правильный фильтр на $X$ (фильтр является правильным, если он не равен $\wp (X)$ ). Двойной силовой набор $\wp (X)$ есть сам; то есть, $X\setminus \wp (X)=\wp (X).$ Таким образом, непустое семейство ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ является идеалом на $X$ тогда и только тогда, когда оно двойственно $X\setminus {\mathcal {B}}$ представляет собой идеал двойной $X$ (который по определению является либо набором мощности $\wp (X)$ или же правильный фильтр на $X$ ).

Идеалы натуральных чисел

Идеал всех конечных множеств натуральных чисел обозначается Fin.
Суммируемый идеал натуральных чисел, обозначаемый ${\mathcal {I}}_{1/n},$ это коллекция всех наборов $A$ натуральных чисел таких, что сумма $\sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}$ конечно. Смотрите небольшой набор .
Идеал асимптотически множеств нулевой плотности натуральных чисел, обозначаемый ${\mathcal {Z}}_{0},$ это коллекция всех наборов $A$ натуральных чисел таких, что доля натуральных чисел меньше $n$ которые принадлежат $A,$ стремится к нулю, так как $n$ стремится к бесконечности. (То есть асимптотическая плотность $A$ равен нулю.)

Идеалы на реальных числах

— Идеал меры это совокупность всех множеств $A$ действительных чисел таких, что Лебега мера $A$ равен нулю.
Скудный идеал — это совокупность всех скудных наборов действительных чисел.

Идеалы на других наборах

Если $\lambda$ — порядковое число несчетной конфинальности , нестационарный идеал на $\lambda$ представляет собой совокупность всех подмножеств $\lambda$ которые не являются стационарными множествами . Этот идеал подробно изучал У. Хью Вудин .

Операции над идеалами

Учитывая идеалы $I$ и $J$ в базовых множествах $X$ и $Y$ соответственно, формируется произведение $I\times J$ о декартовом произведении $X\times Y,$ следующим образом: Для любого подмножества $A\subseteq X\times Y,$ $A\in I\times J\quad {\text{ if and only if }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I$ То есть набор является пренебрежимо малым в идеале продукта, если только ничтожный набор $координат x$ соответствует немалому срезу $A$ в $направлении y$ . (Возможно, яснее: множество является положительным в идеале произведения, если положительное количество $координат x$ соответствует положительным срезам.)

Идеал $I$ на множестве $X$ индуцирует отношение эквивалентности на множестве X. $\wp (X),$ набор мощности $X$ , считая $A$ и $B$ эквивалентными (для $A,B$ подмножества $X$ ) тогда и только тогда, когда A и $является$ B $I.$ элементом $симметричная$ разность Фактор $\wp (X)$ по этому отношению эквивалентности является булевой алгеброй , обозначаемой $\wp (X)/I$ (читай «P of $X$ mod $I$ »).

Каждому идеалу соответствует фильтр , называемый его двойным фильтром . Если $I$ — идеал на $X$ , то двойственный фильтр $I$ — это совокупность всех множеств. $X\setminus A,$ где $A$ элемент $I.$ — (Здесь $X\setminus A$ обозначает дополнение A $;$ в $X$ относительное то есть совокупность всех элементов $X,$ которых нет в $A$ ).

Отношения между идеалами

Если $I$ и $J$ являются идеалами на $X$ и $Y$ соответственно, $I$ и $J$ изоморфны Рудину–Кейслеру , если они представляют собой один и тот же идеал, за исключением переименования элементов лежащих в их основе множеств (игнорируя незначительные множества). Более формально, требование состоит в том, чтобы существовали множества $A$ и $B,$ элементы $I$ и $J$ соответственно, и биекция $\varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,$ такой, что для любого подмножества $C\subseteq X,$ $C\in I$ тогда и только тогда, образ когда $C$ под $\varphi \in J.$

Если $I$ и $J$ изоморфны Рудину–Кейслеру, то $\wp (X)/I$ и $\wp (Y)/J$ изоморфны как булевы алгебры. Изоморфизмы факторбулевых алгебр, индуцированные изоморфизмами идеалов Рудина–Кейслера, называются тривиальными изоморфизмами .

См. также

Борнология - математическое обобщение ограниченности.
Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
Идеал (теория порядка) - непустое, ограниченное сверху и закрытое вниз подмножество.
Идеал (теория колец) - аддитивная подгруппа математического кольца, допускающая умножение.
$π$ -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
σ-ideal — семейство, замкнутое по подмножествам и счетным объединениям.

Ссылки

Фара, Илияс (ноябрь 2000 г.). Аналитические факторы: Теория подъемов частных по аналитическим идеалам целых чисел . Воспоминания АМС. Американское математическое общество. ISBN 9780821821176 .