Клубные фильтры

В математике , особенно в теории множеств , если $\kappa$ – правильный несчетный кардинал , тогда $\operatorname {club} (\kappa ),$ фильтр , всех наборов содержащих клубное подмножество $\kappa ,$ это $\kappa$-полный фильтр, замкнутый под диагональным пересечением, называется клубным фильтром .

Чтобы увидеть, что это фильтр, обратите внимание, что $\kappa \in \operatorname {club} (\kappa )$ поскольку он, таким образом, одновременно замкнут и неограничен (см. клубное множество ). Если $x\in \operatorname {club} (\kappa )$ тогда подмножество любое $\kappa$ содержащий $x$ также находится в $\operatorname {club} (\kappa ),$ с $x,$ и, следовательно, все, что его содержит, содержит клубный набор.

Это $\kappa$-полный фильтр, поскольку пересечение менее чем $\kappa$ клубные наборы — это клубный набор. Чтобы увидеть это, предположим $\langle C_{i}\rangle _{i<\alpha }$ представляет собой последовательность клубных сетов, в которых $\alpha <\kappa .$ Очевидно $C=\bigcap C_{i}$ замкнуто, поскольку любая последовательность, входящая в $C$ появляется в каждом $C_{i},$ и поэтому его предел также есть во всяком $C_{i}.$ Чтобы показать, что оно неограничено, возьмем несколько $\beta <\kappa .$ Позволять $\langle \beta _{1,i}\rangle$ быть возрастающей последовательностью с $\beta _{1,1}>\beta$ и $\beta _{1,i}\in C_{i}$ для каждого $i<\alpha .$ Такую последовательность можно построить, поскольку каждый $C_{i}$ является неограниченным. С $\alpha <\kappa$ и $\kappa$ регулярна, предел этой последовательности меньше $\kappa .$ Мы называем это $\beta _{2},$ и определим новую последовательность $\langle \beta _{2,i}\rangle$ аналогично предыдущей последовательности. Мы можем повторить этот процесс, получив последовательность последовательностей $\langle \beta _{j,i}\rangle$ где каждый элемент последовательности больше, чем каждый член предыдущей последовательности. Тогда для каждого $i<\alpha ,$ $\langle \beta _{j,i}\rangle$ — возрастающая последовательность, содержащаяся в $C_{i},$ и все эти последовательности имеют один и тот же предел (предел $\langle \beta _{j,i}\rangle$). Тогда этот предел содержится в каждом $C_{i},$ и поэтому $C,$ и больше, чем $\beta .$

Чтобы увидеть это $\operatorname {club} (\kappa )$ замкнуто относительно диагонального пересечения, пусть $\langle C_{i}\rangle ,$ $i<\kappa$ — последовательность наборов клюшек, и пусть $C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}.$ Чтобы показать $C$ закрыто, предположим $S\subseteq \alpha <\kappa$ и $\bigcup S=\alpha .$ Тогда для каждого $\gamma \in S,$ $\gamma \in C_{\beta }$ для всех $\beta <\gamma .$ Поскольку каждый $C_{\beta }$ закрыто, $\alpha \in C_{\beta }$ для всех $\beta <\alpha ,$ так $\alpha \in C.$ Чтобы показать $C$ неограниченно, пусть $\alpha <\kappa ,$ и определим последовательность $\xi _{i},$ $i<\omega$ следующее: $\xi _{0}=\alpha ,$ и $\xi _{i+1}$ является минимальным элементом $\bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }$ такой, что $\xi _{i+1}>\xi _{i}.$ Такой элемент существует, поскольку по вышесказанному пересечение $\xi _{i}$ клубные наборы клубные. Затем $\xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha$ и $\xi \in C,$ поскольку это есть в каждом $C_{i}$ с $i<\xi .$

См. также

• Клубная масть - в теории множеств, комбинаторный принцип, согласно которому для каждого стационарного 𝑆⊂ω₁ существует последовательность множеств 𝐴_𝛿 (𝛿ا𝑆) такая, что 𝐴_𝛿 является конфинальным подмножеством 𝛿 и каждое неограниченное подмножество ω₁ содержится в некотором 𝐴_𝛿 Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Стационарный набор - теоретико-множественная концепция

Ссылки

• Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .

В эту статью включены материалы из клубного фильтра PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .