Нигде не плотный набор

В математике подмножество . топологического пространства называется нигде не плотным или редкий если его закрытие имеет пустую внутреннюю часть . В очень широком смысле это набор, элементы которого нигде не сгруппированы плотно (как это определено топологией пространства ). Например, целые числа нигде не плотны среди действительных чисел , тогда как интервал (0, 1) нигде не плотен.

Счетное объединение нигде не плотных множеств называется скудным множеством . Тощие множества играют важную роль в формулировке теоремы Бэра о категориях , которая используется при доказательстве ряда фундаментальных результатов функционального анализа .

Определение

Плотность нигде не может быть охарактеризована разными (но эквивалентными) способами. Самое простое определение — определение плотности:

Подмножество $S$ пространства топологического $X$ называется плотным в другом множестве $U$ если пересечение $S\cap U$ представляет собой подмножество плотное $U.$ $S$ нигде не густо и редко не $X$ если $S$ не плотно ни в одном непустом открытом подмножестве $U$ из $X.$

Раскрывая отрицание плотности, это эквивалентно требованию, чтобы каждое непустое открытое множество $U$ содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с $S.$ достаточно проверить любое условие на базе Для топологии $X.$ В частности, плотность нигде не $\mathbb {R}$ часто описывается как плотный без открытого интервала .

Определение путем закрытия

Второе определение выше эквивалентно требованию, чтобы замыкание, $\operatorname {cl} _{X}S,$ не может содержать ни одного непустого открытого множества. Это то же самое, что сказать, внутренняя часть замыкания что $S$ пусто; то есть,

$\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .$

Альтернативно, дополнение замыкания $X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)$ должно быть плотным подмножеством $X;$ другими словами, внешний вид $S$ плотный в $X.$

Характеристики

Понятие нигде не плотного множества всегда относится к данному окружающему пространству. Предполагать $A\subseteq Y\subseteq X,$ где $Y$ имеет топологию подпространства, индуцированную из $X.$ Набор $A$ может быть нигде не густо $X,$ но нигде не густо $Y.$ Примечательно, что множество всегда плотно в своей собственной топологии подпространства. Итак, если $A$ непусто, оно не будет нигде плотным как подмножество самого себя. Однако справедливы следующие результаты:

• Если $A$ нигде не плотно $Y,$ затем $A$ нигде не плотно $X.$
• Если $Y$ открыт в $X$, затем $A$ нигде не плотно $Y$ тогда и только тогда, когда $A$ нигде не плотно $X.$
• Если $Y$ плотный в $X$, затем $A$ нигде не плотно $Y$ тогда и только тогда, когда $A$ нигде не плотно $X.$

Множество нигде не является плотным тогда и только тогда, когда его замыкание плотно.

Каждое подмножество нигде неплотного множества является нигде не плотным, а конечное объединение нигде не плотных множеств нигде не плотно. Таким образом, нигде не плотные множества образуют идеал множеств , подходящее понятие пренебрежимо малого множества . В общем случае они не образуют 𝜎-идеал , поскольку тощие множества , являющиеся счетными объединениями нигде не плотных множеств, не обязательно должны быть нигде плотными. Например, набор $\mathbb {Q}$ нигде не густо $\mathbb {R} .$

Граница . всякого открытого множества и всякого замкнутого множества замкнута и нигде не плотна Замкнутое множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно равно своей границе: тогда и только тогда, когда оно равно границе некоторого открытого множества (например, открытое множество можно рассматривать как дополнение к множеству). Произвольный набор $A\subseteq X$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно является подмножеством границы некоторого открытого множества (например, открытое множество можно рассматривать как внешнюю часть $A$).

Примеры

• Набор $S=\{1/n:n=1,2,...\}$ и его закрытие $S\cup \{0\}$ нигде не плотно $\mathbb {R} ,$ поскольку закрытие имеет пустую внутреннюю часть.
• $\mathbb {R}$ рассматриваемая как горизонтальная ось в евклидовой плоскости, нигде не плотна. $\mathbb {R} ^{2}.$
• $\mathbb {Z}$ нигде не плотно $\mathbb {R}$ но рациональное объяснение $\mathbb {Q}$ нет (они везде плотные).
• $\mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]$ не нигде густо $\mathbb {R}$: плотный в открытом интервале $(a,b),$ и, в частности, внутренняя часть его затвора $(a,b).$
• Пустое множество нигде не является плотным. В дискретном пространстве пустое множество — единственное нигде не плотное множество.
• В T1 _нигде пространстве любое одноэлементное множество, не являющееся изолированной точкой, не является плотным.
• Векторное подпространство топологического векторного пространства либо плотно, либо нигде не плотно.

Нигде не плотные множества с положительной мерой

Нигде плотное множество не обязательно является пренебрежимо малым во всех смыслах. Например, если $X$ это единичный интервал $[0,1],$ Мало того, что возможно иметь плотное множество с нулевой мерой Лебега (например, множество рациональных чисел), но также возможно иметь нигде не плотное множество с положительной мерой. Одним из таких примеров является множество Смита-Вольтерры-Кантора .

Для другого примера (вариант множества Кантора ) удалите из $[0,1]$ все двоичные дроби , т.е. дроби вида $a/2^{n}$ в самых простых терминах для положительных целых чисел $a,n\in \mathbb {N} ,$ и интервалы вокруг них: $\left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).$ Поскольку для каждого $n$ это удаляет интервалы, составляющие не более $1/2^{n+1},$ нигде не плотное множество, оставшееся после удаления всех таких интервалов, имеет меру не менее $1/2$ (на самом деле чуть больше $0.535\ldots$ из-за совпадений ) и поэтому в некотором смысле представляет собой большую часть окружающего пространства. $[0,1].$ Это множество нигде не плотно, так как оно замкнуто и имеет пустую внутреннюю часть: любой интервал $(a,b)$ не содержится в множестве, так как двоичные дроби в $(a,b)$ были удалены.

Обобщая этот метод, можно построить в единичном интервале нигде не плотные множества любой меры меньше $1,$ хотя мера не может быть в точности 1 (потому что в противном случае дополнением к его замыканию было бы непустое открытое множество с нулевой мерой, что невозможно).

Другой более простой пример, если $U$ любое плотное открытое подмножество $\mathbb {R}$ имея конечную меру Лебега , то $\mathbb {R} \setminus U$ обязательно является замкнутым подмножеством $\mathbb {R}$ имеющая бесконечную меру Лебега, которая к тому же нигде не плотна в $\mathbb {R}$ (поскольку его топологическая внутренность пуста). Такое плотное открытое подмножество $U$ конечной меры Лебега обычно строят при доказательстве того, что мера Лебега рациональных чисел $\mathbb {Q}$ является $0.$ Это можно сделать, выбрав любую биекцию $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ (на самом деле этого достаточно $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ быть просто сюръекцией ) и для каждого $r>0,$ сдача в аренду $$U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)$$(здесь суммы Минковского обозначение $f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)$ использовался для упрощения описания интервалов). Открытое подмножество $U_{r}$ плотный в $\mathbb {R}$ потому что это верно для его подмножества $\mathbb {Q}$ и его мера Лебега не превосходит $\sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.$ Объединение закрытых, а не открытых интервалов дает F _𝜎 -подмножество. $$S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]$$это удовлетворяет $S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.$ Потому что $\mathbb {R} \setminus S_{r}$ является подмножеством нигде не плотного множества $\mathbb {R} \setminus U_{r},$ это также нигде не плотно $\mathbb {R} .$ Потому что $\mathbb {R}$ является пространством Бэра , множество $$D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}$$представляет собой плотное подмножество $\mathbb {R}$ (что означает, что, как и его подмножество $\mathbb {Q} ,$ $D$ не может быть нигде плотным $\mathbb {R}$) с $0$ мера Лебега, которая также является нетощим подмножеством $\mathbb {R}$ (то есть, $D$ ко второй категории относится $\mathbb {R}$), что делает $\mathbb {R} \setminus D$ комическое подмножество ​ $\mathbb {R}$ чей интерьер в $\mathbb {R}$ также пуст; однако, $\mathbb {R} \setminus D$ нигде не плотно $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда его замыкание в $\mathbb {R}$ имеет пустой салон. Подмножество $\mathbb {Q}$ в этом примере можно заменить любым счетным плотным подмножеством $\mathbb {R}$ и более того, даже набор $\mathbb {R}$ можно заменить на $\mathbb {R} ^{n}$ для любого целого числа $n>0.$

См. также

• Пространство Бэра - Понятие в топологии
• Набор Смита-Вольтерры-Кантора - набор, который нигде не является плотным (в частности, он не содержит интервалов), но имеет положительную меру. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Скудное множество - «маленькое» подмножество топологического пространства.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Фремлин, Д.Х. (2002). Теория меры . Лулу.com. ISBN  978-0-9566071-1-9 .
• Хаворт, RC; Маккой, Р.А. (1977), Пространства Бэра , Варшава: Институт математики Польской академии наук.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .

Внешние ссылки

• Некоторые нигде не плотные множества с положительной мерой