Сумматорная функция делителя

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для $x<10^{4}$

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для $x<10^{7}$

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для $x<10^{7}$, представленный в виде распределения или гистограммы. Вертикальный масштаб не является постоянным слева направо; нажмите на изображение для подробного описания.

В теории чисел функция суммирования делителей представляет собой функцию, которая является суммой по функции делителя . Это часто встречается при изучении асимптотического поведения дзета-функции Римана . Различные исследования поведения функции делителя иногда называют задачами о делителях .

Определение

Сумматорная функция делителя определяется как

$D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1$

где

$d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1$

это функция делителя . Функция делителя подсчитывает количество способов, которыми целое число n можно записать в виде произведения двух целых чисел. В более общем смысле определяют

$D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)$

где d _k ( n ) подсчитывает количество способов, которыми n можно записать в виде произведения k чисел. Эту величину можно представить как количество точек решетки, отгороженных гиперболической поверхностью в k измерениях. Таким образом, для k =2 функция ( x ) = D2 _D ( x ) подсчитывает количество точек на квадратной решетке, ограниченной слева вертикальной осью, снизу горизонтальной осью и сверху. справа от гиперболы jk = x . Грубо говоря, эту форму можно представить как гиперболический симплекс . Это позволяет нам предоставить альтернативное выражение для D ( x ) и простой способ его вычисления в $O({\sqrt {x}})$ время:

$D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}$, где $u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor$

Если гипербола в этом контексте заменяется кругом, то определение значения результирующей функции известно как проблема круга Гаусса .

Последовательность D(n) (последовательность A006218 в OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Задача о делителях Дирихле

Найти замкнутую форму для этого суммированного выражения, кажется, выходит за рамки имеющихся методов, но можно дать приближения. Ведущее поведение ряда определяется выражением

$D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Машерони , а член ошибки —

$\Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).$

Здесь, $O$ обозначает обозначение Big-O . Эту оценку можно доказать с помощью метода гиперболы Дирихле , и он был впервые установлен Дирихле в 1849 году. состоит Точно сформулированная проблема делителя Дирихле в том, чтобы уменьшить эту ошибку, связанную с нахождением наименьшего значения $\theta$ для чего

$\Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)$

справедливо для всех $\epsilon >0$. На сегодняшний день эта проблема остается нерешенной. Прогресс был медленным. Многие из одних и тех же методов работают для этой задачи и для задачи Гаусса о круге , еще одной задачи подсчета точек решетки. Раздел F1 нерешенных задач теории чисел исследует то, что известно и неизвестно об этих проблемах.

• В 1904 г. Г. Вороной доказал, что член ошибки можно улучшить до $O(x^{1/3}\log x).$
• В 1916 году Дж. Харди показал, что $\inf \theta \geq 1/4$. В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной $K$, существуют значения x, для которых $\Delta (x)>Kx^{1/4}$ и значения x, для которых $\Delta (x)<-Kx^{1/4}$.
• В 1922 г. Дж. ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до $\inf \theta \leq 33/100=0.33$.
• В 1928 году Ван дер Корпут доказал, что $\inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}$.
• В 1950 г. Чжи Цзун-тао и независимо в 1953 г. Х.Э. Ричерт доказали, что $\inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...$.
• In 1969, Grigori Kolesnik demonstrated that $\inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}$.
• В 1973 году Колесник продемонстрировал, что $\inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...$.
• В 1982 году Колесник продемонстрировал, что $\inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}$.
• В 1988 году Х. Иванец и Си Джей Моццочи доказали, что $\inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}$.
• В 2003 году М. Н. Хаксли улучшил это, показав, что $\inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...$.

Так, $\inf \theta$ лежит где-то между 1/4 и 131/416 (около 0,3149); широко распространено мнение, что оно составляет 1/4. Теоретические данные подтверждают это предположение, поскольку $\Delta (x)/x^{1/4}$ имеет (негауссово) предельное распределение. Значение 1/4 также следует из гипотезы о парах показателей .

Задача о делителе Пильца

В обобщенном случае

$D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,$

где $P_{k}$ является полиномом степени $k-1$. Используя простые оценки, легко показать, что

$\Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)$

для целого числа $k\geq 2$. Как и в $k=2$ В этом случае нижняя грань границы неизвестна ни при каком значении $k$. Вычисление этих инфим известно как проблема делителей Пильца по имени немецкого математика Адольфа Пильца (см. также его немецкую страницу). Определение заказа $\alpha _{k}$ как наименьшее значение, для которого $\Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)$ имеет место для любого $\varepsilon >0$, имеем следующие результаты (заметим, что $\alpha _{2}$ это $\theta$ предыдущего раздела):

$\alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,$

$\alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,$ и

${\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}$

• ЕС Титчмарш предполагает, что $\alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .$

Преобразование Меллина

Обе части могут быть выражены как преобразования Меллина :

$D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw$

для $c>1$. Здесь, $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана . Аналогично, у человека есть

$\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw$

с $0<c^{\prime }<1$. Ведущий термин $D(x)$ получается путем смещения контура за двойной полюс в точке $w=1$: главный член — это просто остаток по интегральной формуле Коши . В общем, у человека есть

$D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw$

и аналогично для $\Delta _{k}(x)$, для $k\geq 2$.

Ссылки

• HM Эдвардс , Дзета-функция Римана , (1974) Dover Publications, ISBN   0-486-41740-9
• EC Титчмарш, Теория дзета-функции Римана , (1951) Оксфорд в издательстве Clarendon Press, Оксфорд. (Обсуждение проблемы обобщенных делителей см. в главе 12.)
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , MR   0434929 , Zbl   0335.10001 (Вводная формулировка проблемы делителей Дирихле.)
• Он Роуз. Курс теории чисел. , Оксфорд, 1988.
• М. Н. Хаксли (2003) «Экспоненциальные суммы и точки решетки III», Proc. Лондонская математика. Соц. (3)87:591–609