Теория несоответствия

В математике теория несоответствия описывает отклонение ситуации от желаемого состояния. Ее также называют теорией неравномерностей распределения . Это относится к теме классической теории несоответствия, а именно к распределению точек в некотором пространстве таким образом, чтобы они были равномерно распределены относительно некоторых (в основном геометрически определенных) подмножеств. Расхождение (нерегулярность) измеряет, насколько данное распределение отклоняется от идеального.

Теорию несоответствия можно охарактеризовать как исследование неизбежных неравномерностей распределений в теоретико-мерных и комбинаторных условиях. Точно так же, как теория Рэмсея объясняет невозможность полного беспорядка, теория несоответствия изучает отклонения от полной однородности.

Значимым событием в истории теории расхождения стала статья Вейля 1916 г. о равномерном распределении последовательностей в единичном интервале. ^[1]

Теоремы [ править ]

Теория несоответствия основана на следующих классических теоремах:

Теорема ван Аарденна-Эренфеста.
Оси-параллельные прямоугольники на плоскости ( Рот , Шмидт)
Несовпадение полуплоскостей (Александр, Матушек )
Арифметические прогрессии (Рот, Саркози, Бек , Матоусек и Спенсер )
Теорема Бека – Фиалы ^[2]
Шести стандартных отклонений достаточно (Спенсер) ^[3]

Основные открытые проблемы [ править ]

К нерешенным проблемам теории несоответствия относятся:

Оси-параллельные прямоугольники размером три и выше (фольклор)
Хоппи Гипотеза
Задача о треугольнике Гейльбронна о минимальной площади треугольника, определяемой тремя точками из n -точечного множества

Приложения [ править ]

Приложения теории несоответствия включают:

Численное интегрирование: методы Монте-Карло в больших размерностях
Вычислительная геометрия: алгоритм «разделяй и властвуй»
Обработка изображения: полутоновое изображение
Формулировка случайного испытания: ^[4] Рандомизированное контролируемое исследование

См. также [ править ]

Расхождение гиперграфов

Ссылки [ править ]

^ Вейль, Герман (1 сентября 1916 г.). «О равном распределении чисел мод. Эйнс» [О равном распределении чисел]. Математические анналы (на немецком языке). 77 (3): 313–352. дои : 10.1007/BF01475864 . ISSN 1432-1807 . S2CID 123470919 .
^ Йожеф Бек и Тибор Фиала (1981). « Теоремы о «целых числах»» . Дискретная прикладная математика . 3 (1): 1–8. дои : 10.1016/0166-218x(81)90022-6 .
^ Джоэл Спенсер (июнь 1985 г.). «Шести стандартных отклонений достаточно» . Труды Американского математического общества . 289 (2). Труды Американского математического общества, Vol. 289, № 2: 679–706. дои : 10.2307/2000258 . JSTOR 2000258 .
^ Спилман, Дэниел (11 мая 2020 г.). «Использование теории расхождений для улучшения дизайна рандомизированных контролируемых исследований» . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

Дальнейшее чтение [ править ]

Бек, Йожеф; Чен, Уильям В.Л. (1987). Неравномерности распределения . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-30792-9 .
Шазель, Бернар (2000). Метод несоответствия: случайность и сложность . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-77093-9 .
Матоусек, Иржи (1999). Геометрическое несоответствие: иллюстрированное руководство . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 18. Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-65528-Х .

[1] Вейль, Герман (1 сентября 1916 г.). «О равном распределении чисел мод. Эйнс» [О равном распределении чисел]. Математические анналы (на немецком языке). 77 (3): 313–352. дои : 10.1007/BF01475864 . ISSN 1432-1807 . S2CID 123470919 .

[2] Йожеф Бек и Тибор Фиала (1981). « Теоремы о «целых числах»» . Дискретная прикладная математика . 3 (1): 1–8. дои : 10.1016/0166-218x(81)90022-6 .

[3] Джоэл Спенсер (июнь 1985 г.). «Шести стандартных отклонений достаточно» . Труды Американского математического общества . 289 (2). Труды Американского математического общества, Vol. 289, № 2: 679–706. дои : 10.2307/2000258 . JSTOR 2000258 .

[4] Спилман, Дэниел (11 мая 2020 г.). «Использование теории расхождений для улучшения дизайна рандомизированных контролируемых исследований» . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[1]

[2]

[3]

[4]