Обычный премьер

Не путать с обычным номером .

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много правильных простых чисел, и если да, то какова их относительная плотность? $e^{-1/2}$?

(еще нерешенные задачи по математике)

В теории чисел регулярное простое число — это особый вид простого числа , определенный Эрнстом Куммером в 1850 году для доказательства некоторых случаев Великой теоремы Ферма . Правильные простые числа могут быть определены через делимость чисел классов или чисел Бернулли .

Первые несколько обычных нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (последовательность A007703 в OEIS ).

История и мотивация

В 1850 году Куммер доказал, что Великая теорема Ферма верна для простого показателя p, если p регулярен. Это привлекло внимание к нерегулярным простым числам. В 1852 году Дженокки смог доказать, что первый случай Великой теоремы Ферма верен для показателя p , если ( p , p − 3) не является нерегулярной парой. Куммер еще больше улучшил это в 1857 году, показав, что для «первого случая» Великой теоремы Ферма (см. теорему Софи Жермен ) достаточно установить, что либо ( p , p − 3) , либо ( p , p − 5) не может быть выполнено . неправильная пара.

( ( p , 2 k ) является нерегулярной парой, когда p нерегулярно из-за определенного условия, описанного ниже, реализующегося при 2 k .)

Куммер обнаружил неправильные простые числа меньше 165. В 1963 году Лемер сообщил о результатах до 10 000, а Селфридж и Поллак объявили в 1964 году, что завершили таблицу неправильных простых чисел до 25 000. Хотя две последние таблицы не появились в печати, Джонсон обнаружил, что что ( p , p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для p = 16843 и что это первый и единственный раз, когда это происходит для p < 30000 . В 1993 году было обнаружено, что в следующий раз это произойдет при p = 2124679 ; см. Вольстенхолм прайм .

Определение

Критерий номера класса

Нечетное простое число p называется регулярным, если оно не делит номер класса -го p кругового поля Q ( ζ _p ), где ζ _p — примитивный корень p -й степени из единицы.

Простое число 2 также часто считается регулярным.

Номер класса круговогополе — число идеалов кольца целых чисел Z ( ζ _p ) с точностью до эквивалентности. Два идеала I , J считаются эквивалентными, если ) существует ненулевое u, в Q ( ζ _p так что I = uJ . Первые несколько номеров этих классов указаны в OEIS : A000927 .

критерий Куммера

Эрнст Куммер ( Kummer 1850 ) показал, что эквивалентным критерием регулярности является то, что p не делит числитель ни одного из чисел Бернулли B _k для k = 2, 4, 6, ..., p − 3 .

Доказательство Куммера того, что это эквивалентно определению числа классов, усиливается теоремой Эрбрана-Рибе , которая утверждает определенные последствия деления p на числитель одного из этих чисел Бернулли.

Гипотеза Сигела

Было высказано предположение , что существует бесконечно много правильных простых чисел. Точнее, Карл Людвиг Зигель ( 1964 ) предположил, что e ^−1/2 , или около 60,65% всех простых чисел, являются регулярными в асимптотическом смысле естественной плотности .

Если принять критерий Куммера, вероятность того, что один числитель чисел Бернулли $B_{k}$, $k=2,\dots ,p-3$, не делится на простое число $p$ является

${\dfrac {p-1}{p}}$

так что вероятность того, что ни один из числителей этих чисел Бернулли не делится на простое число $p$ является

$\left({\dfrac {p-1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}$.

По E_(mathematical_constant) мы имеем

$\lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}={\dfrac {1}{e}}$

так что мы получаем вероятность

$\lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}=e^{-1/2}\approx 0.606531$.

Отсюда следует, что о $60.6531\%$ простых чисел являются регулярными случайно. Харт и др. указать, что $60.6590\%$ простых чисел меньше $2^{31}=2,147,483,648$ являются регулярными.

Неправильные простые числа

Нечетное простое число, которое не является правильным, является неправильным простым числом (или неправильным по Бернулли или B-неправильным, чтобы отличать его от других типов нерегулярности, обсуждаемых ниже). Первые несколько неправильных простых чисел:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (последовательность A000928 в OEIS )

Бесконечность

К.Л. Йенсен (ученик Нильсена ) доказал в 1915 году, что существует бесконечно много неправильных простых чисел вида 4 n + 3 . В 1954 году Карлитц дал простое доказательство более слабого результата о том, что вообще существует бесконечно много неправильных простых чисел.

Метсянкюля доказал в 1971 году, что для любого целого числа T > 6 существует бесконечно много неправильных простых чисел, не имеющих вида mT + 1 или mT − 1 , и позже обобщил это.

Неправильные пары

Если p — нерегулярное простое число и p делит числитель числа Бернулли B _{2 k} при 0 < 2 k < p − 1 , то ( p , 2 k ) называется нерегулярной парой . Другими словами, нерегулярная пара — это устройство учета, позволяющее записывать для нерегулярного простого числа p конкретные индексы чисел Бернулли, при которых регулярность нарушается. Первые несколько неправильных пар (при заказе по k ):

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797 , 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (последовательность A189683 в OEIS ).

Наименьшее четное k такое, что n- е нерегулярные простые делители B _k равны

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, ​​126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (последовательность A035112 в OEIS )

Для данного простого числа количество таких пар называется индексом иррегулярности p p . Следовательно, простое число является правильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности равен нулю. Аналогично, простое число является неправильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности положителен.

Было обнаружено, что ( p , p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для p = 16843 , а также для p = 2124679 . Больше нет вхождений для p < 10 ⁹ .

Нерегулярный индекс

Нечетное простое число p имеет неправильный индекс n тогда и только тогда, когда существует n значений k, для которых p делит B _{2 k} , и эти k s меньше ( p − 1)/2 . Первое нерегулярное простое число с неправильным индексом больше 1 — это 157 , которое делит B ₆₂ и B ₁₁₀ , поэтому оно имеет неправильный индекс 2. Очевидно, что неправильный индекс обычного простого числа равен 0.

Нерегулярный индекс n- го простого числа равен

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Начните с n = 2 или штрих = 3) (последовательность A091888 в OEIS )

Неправильный индекс n -го неправильного простого числа равен

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (последовательность A091887 в ОЭИС )

Простые числа с нерегулярным индексом 1 — это

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 1, ... (последовательность A073276 в OEIS )

Простые числа с нерегулярным индексом 2 — это

157,353,379,467,547,587,631,673,691,809,929,1291,1297,1307,1663,1669,1733,1789,1933,1997,2003,2087,2 273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (последовательность A073277 в OEIS )

Простые числа с нерегулярным индексом 3:

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 1 4533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (последовательность A060975 в OEIS )

Наименьшими простыми числами, имеющими нерегулярный индекс n, являются

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (последовательность A061576 в OEIS ) (Эта последовательность определяет «нерегулярный индекс 2» как -1, а также начинается с n = - 1 .)

Обобщения

Эйлер нерегулярные простые числа

Аналогично, мы можем определить нерегулярное простое число Эйлера (или E-иррегулярное) как простое число p , которое делит хотя бы одно число Эйлера E _{2 n} на 0 < 2 n ⩽ p − 3 . Первые несколько нерегулярных простых чисел Эйлера равны

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (последовательность A120337 в OEIS )

Нерегулярные пары Эйлера

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Вандивер доказал в 1940 году, что Великая теорема Ферма ( x ^п + и ^п = г ^п ) не имеет решения для целых чисел x , y , z с НОД( xyz , p ) = 1, если p эйлерово-регулярно. Гут доказал, что x ^{2 р} + и ^{2 р} = г ^{2 р} не имеет решения, если p имеет индекс E-нерегулярности меньше 5.

Было доказано, что существует бесконечное количество E-неправильных простых чисел. Был получен более сильный результат: существует бесконечное число E-правильных простых чисел, конгруэнтных 1 по модулю 8. Как и в случае с B-регулярными простыми числами Куммера, пока не существует доказательства того, что существует бесконечно много E-правильных простых чисел, хотя это похоже, что это правда.

Сильные нерегулярные простые числа

Простое число p называется сильно иррегулярным, если оно одновременно B-нерегулярно и E-нерегулярно (индексы чисел Бернулли и Эйлера, делящихся на p, могут быть как одинаковыми, так и разными). Первые несколько сильных нерегулярных простых чисел:

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, , 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (последовательность A128197 в OEIS )

Доказать Великую теорему Ферма для сильного нерегулярного простого числа p сложнее (поскольку Куммер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для B-регулярных простых чисел, Вандивер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для E-правильных простых чисел), наиболее Сложность заключается в том, что p не только сильное нерегулярное простое число, но и 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 также являются составными ( Лежандр доказал первый случай Великой теоремы Ферма для простых чисел p таких, что хотя бы одно из 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 является простым), первые несколько p таких

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Слабые нерегулярные простые числа

Простое число p является слабо нерегулярным , если оно либо B-нерегулярно, либо E-нерегулярно (или и то, и другое). Первые несколько слабых неправильных простых чисел

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 3, 571, 577, 587, 593, ... (последовательность A250216 в OEIS )

Как и нерегулярность Бернулли, слабая регулярность связана с делимостью чисел классов круговых полей . Фактически, простое число p является слабо иррегулярным тогда и только тогда, когда p делит номер класса 4 p -го кругового поля Q ( ζ _{4 p} ).

Слабые нерегулярные пары

В этом разделе « an _» означает числитель n- го числа Бернулли, если n четное, « an _» означает ( n − 1) -е число Эйлера, если n нечетное (последовательность A246006 в OEIS ).

Поскольку для каждого нечетного простого числа p p p делит тогда _p и только тогда, когда p конгруэнтно 1 по модулю 4, и поскольку p делит знаменатель ( p − 1) -го числа Бернулли для каждого нечетного простого числа , поэтому для любого нечетного простого числа p , p может делить p _{не −1} . Кроме того, если и только если нечетное простое число ( а 2 _{p делит n} p не делит n ), то p делит n _{также + k ( p −1)} (если 2 p делит n , то предложение следует изменить на " p также делит a _{n +2 kp} ". Фактически, если 2 p делит n и p ( p − 1) не делит n , то p делит a _n .) для каждого целого числа k (условие - n + k ( p − 1) должно быть > 1). Например, поскольку 19 делит 11 _, а 38 не делит 11, то 19 делит 18 _{2 × 19 = k +11} для всех k . Таким образом, определение нерегулярной пары ( p , n ) , n должно быть не более p − 2 .

В следующей таблице показаны все неправильные пары с нечетным простым числом p ≤ 661 :

п	целые числа 0 ≤ n ≤ p - 2 такой, p делит n что	п	целые числа 0 ≤ n ≤ p - 2 такой, p делит n что	п	целые числа 0 ≤ n ≤ p - 2 такой, p делит n что	п	целые числа 0 ≤ n ≤ p - 2 такой, p делит n что	п	целые числа 0 ≤ n ≤ p - 2 такой, p делит n что	п	целые числа 0 ≤ n ≤ p - 2 такой, p делит n что
3		79	19	181		293	156	421	240	557	222
5		83		191		307	88, 91, 137	431		563	175, 261
7		89		193	75	311	87, 193, 292	433	215, 366	569
11		97		197		313		439		571	389
13		101	63, 68	199		317		443		577	52, 209, 427
17		103	24	211		331		449		587	45, 90, 92
19	11	107		223	133	337		457		593	22
23		109		227		347	280	461	196, 427	599
29		113		229		349	19, 257	463	130, 229	601
31	23	127		233	84	353	71, 186, 300	467	94, 194	607	592
37	32	131	22	239		359	125	479		613	522
41		137	43	241	211, 239	367		487		617	20, 174, 338
43	13	139	129	251	127	373	163	491	292, 336, 338, 429	619	371, 428, 543
47	15	149	130, 147	257	164	379	100, 174, 317	499		631	80, 226
53		151		263	100, 213	383		503		641
59	44	157	62, 110	269		389	200	509	141	643
61	7	163		271	84	397		521		647	236, 242, 554
67	27, 58	167		277	9	401	382	523	400	653	48
71	29	173		281		409	126	541	86, 465	659	224
73		179		283	20	419	159	547	270, 486	661

Единственными простыми числами ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 3 являются 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 и 929. Кроме того, 491 — единственное простое число ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 4. и все остальные нечетные простые числа ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 0, 1 или 2. ( нерегулярный индекс определяется как «количество целых чисел 0 ≤ n ≤ p − 2 таких, что p делит n _Слабый .)

В следующей таблице показаны все неправильные пары с n ≤ 63. (Чтобы получить эти неправильные пары, нам нужно всего лишь факторизовать n _, . Например, a ₃₄ = 17 × 151628697551 но 17 < 34 + 2 , поэтому единственная неправильная пара с n = 34 равно (151628697551, 34) ) (дополнительную информацию (четные n до 300 и нечетные n до 201) см. ).

н	простые числа ≥ n + 2 такие, что p делит n p	н	простые числа ≥ n + 2 такие, что p делит n p
0		32	37, 683, 305065927
1		33	930157, 42737921, 52536026741617
2		34	151628697551
3		35	4153, 8429689, 2305820097576334676593
4		36	26315271553053477373
5		37	9257, 73026287, 25355088490684770871
6		38	154210205991661
7	61	39	23489580527043108252017828576198947741
8		40	137616929, 1897170067619
9	277	41	763601, 52778129, 359513962188687126618793
10		42	1520097643918070802691
11	19, 2659	43	137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12	691	44	59, 8089, 2947939, 1798482437
13	43, 967	45	587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14		46	383799511, 67568238839737
15	47, 4241723	47	285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
16	3617	48	653, 56039, 153289748932447906241
17	228135437	49	5516994249383296071214195242422482492286460673697
18	43867	50	417202699, 47464429777438199
19	79, 349, 87224971	51	5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20	283, 617	52	577, 58741, 401029177, 4534045619429
21	41737, 354957173	53	1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
22	131, 593	54	39409, 660183281, 1120412849144121779
23	31, 1567103, 1427513357	55	2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24	103, 2294797	56	113161, 163979, 19088082706840550550313
25	2137, 111691689741601	57	5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26	657931	58	67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27	67, 61001082228255580483	59	1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28	9349, 362903	60	2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
29	71, 30211, 2717447, 77980901	61	6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30	1721, 1001259881	62	157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31	15669721, 28178159218598921101	63	101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393

В следующей таблице показаны неправильные пары ( p , p − n ) ( n ≥ 2 ). Это гипотеза, что существует бесконечно много неправильных пар ( p , p − n ) для каждого натурального числа n ≥ 2 , но было найдено лишь несколько для фиксированного n . Для некоторых значений n даже не существует известного такого простого числа p .

н	простые числа p такие, что p делит a p − n (эти p проверяются до 20000)	OEIS Последовательность
2	149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...	А198245
3	16843, 2124679, ...	А088164
4	...
5	37, ...
6	...
7	...
8	19, 31, 3701, ...
9	67, 877, ...	А212557
10	139, ...
11	9311, ...
12	...
13	...
14	...
15	59, 607, ...
16	1427, 6473, ...
17	2591, ...
18	...
19	149, 311, 401, 10133, ...
20	9643, ...
21	8369, ...
22	...
23	...
24	17011, ...
25	...
26	...
27	...
28	...
29	4219, 9133, ...
30	43, 241, ...
31	3323, ...
32	47, ...
33	101, 2267, ...
34	461, ...
35	...
36	1663, ...
37	...
38	101, 5147, ...
39	3181, 3529, ...
40	67, 751, 16007, ...
41	773, ...

См. также

• Вольстенхолм прайм

Дальнейшее чтение

• Куммер, EE (1850), «Общее доказательство теоремы Ферма о том, что уравнение x ^л + и ^л = г ^л неразрешима в целых числах для всех тех показателей степени λ, которые являются нечетными простыми числами и в числители первых ( λ не входят в качестве множителей −3)/2 чисел Бернулли» , J. Reine Angew. Math. , 40 : 131. –138
• Сигель, Карл Людвиг (1964), «О двух замечаниях Куммера», Новости Академии наук в Геттингене , 1964 : 51–57, MR   0163899
• Ивасава, К.; Симс, CC (1966), «Вычисление инвариантов в теории круговых полей» , Журнал Математического общества Японии , 18 (1): 86–96, doi : 10.2969/jmsj/01810086
• Вагстафф-младший, СС (1978), «Неправильные простые числа до 125000» , Mathematics of Computation , 32 (142): 583–591, doi : 10.2307/2006167 , JSTOR   2006167
• Гранвиль, А.; Монаган, МБ (1988), «Первый случай Великой теоремы Ферма верен для всех простых показателей до 714 591 416 091 389», Transactions of the American Mathematical Society , 306 (1): 329–359, doi : 10.1090/S0002-9947- 1988-0927694-5 , МР   0927694
• Гардинер, А. (1988), «Четыре проблемы делимости простой степени», American Mathematical Monthly , 95 (10): 926–931, doi : 10.2307/2322386 , JSTOR   2322386
• Эрнвалл, Р.; Мецянкюля, Т. (1991), «Циклотомические инварианты для простых чисел между 125 000 и 150 000» , Mathematics of Computation , 56 (194): 851–858, doi : 10.2307/2008413 , JSTOR   2008413
• Эрнвалл, Р.; Мецянкюля, Т. (1992), «Циклотомические инварианты для простых чисел до миллиона» (PDF) , Mathematics of Computation , 59 (199): 249–250, doi : 10.2307/2152994 , JSTOR   2152994
• Бюлер, JP; Крэндалл, RE; Сомпольски, Р.В. (1992), «Неправильные простые числа до миллиона» , Mathematics of Computing , 59 (200): 717–722, doi : 10.2307/2153086 , JSTOR   2153086
• Бойд, Д.В. (1994), « Ап -адическое исследование частичных сумм гармонического ряда» , Экспериментальная математика , 3 (4): 287–302, doi : 10.1080/10586458.1994.10504298 , Zbl   0838.11015
• Шокроллахи, Массачусетс (1996), Вычисление неправильных простых чисел до восьми миллионов (предварительный отчет) , Технический отчет ICSI, том. ТР-96-002
• Бюлер, Дж.; Крэндалл, Р.; Эрнвалл, Р.; Мецянкюля, Т.; Шокроллахи, Массачусетс (2001), «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты до 12 миллионов», Журнал символических вычислений , 31 (1–2): 89–96, doi : 10.1006/jsco.1999.1011
• Ричард К. Гай (2004), «Раздел D2. Проблема Ферма», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN  0-387-20860-7
• Виллегас, Франция (2007), Экспериментальная теория чисел , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 166–167, ISBN.  978-0-19-852822-7

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неправильное простое число» . Математический мир .
• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​регулярный прайм на The Prime Pages .
• Кейт Конрад, Последняя теорема Ферма для правильных простых чисел .
• Нерегулярное простое число Бернулли
• Эйлер нерегулярное простое число
• Неправильные простые числа Бернулли и Эйлера .
• Факторизация чисел Бернулли и Эйлера
• Факторизация чисел Бернулли и Эйлера