Теорема Эрбрана – Рибе.

В математике теорема Эрбрана -Рибе является результатом о группе классов некоторых числовых полей . Это усиление теоремы Эрнста Куммера о том, что простое число p делит номер класса кругового поля корней p -й степени из единицы тогда и только тогда, когда p делит числитель n - го числа Бернулли B _n для некоторого n , 0 < n < p − 1. Теорема Эрбрана – Рибе определяет, что, в частности, означает, когда p делит такое B _n .

Заявление

Группа Галуа ∆ кругового поля корней p -й степени из единицы для нечетного простого числа p , Q (ζ) с ζ ^п = 1, состоит из p − 1 элементов группы σ _a , где $\sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}$. Как следствие малой теоремы Ферма , в кольце p -адических целых чисел $\mathbb {Z} _{p}$ у нас есть p - 1 корней из единицы, каждый из которых конгруэнтен по модулю p некоторому числу в диапазоне от 1 до p - 1; поэтому мы можем определить характер Дирихле ω (характер Тейхмюллера) со значениями в $\mathbb {Z} _{p}$ требуя, чтобы для n, относительно простого с p , ω( n по ) было конгруэнтно n модулю p . Часть p группы классов представляет собой $\mathbb {Z} _{p}$-модуль (поскольку он p -примарный), следовательно, модуль над групповым кольцом $\mathbb {Z} _{p}[\Delta ]$. Теперь мы определим идемпотентные элементы группового кольца для каждого n от 1 до p − 1 следующим образом:

$\epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}.$

Это легко увидеть $\sum \epsilon _{n}=1$ и $\epsilon _{i}\epsilon _{j}=\delta _{ij}\epsilon _{i}$ где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера . Это позволяет нам разбить p- часть группы идеальных классов G группы Q (ζ) с помощью идемпотентов; если G — p -примарная часть группы классов идеалов, то, полагая = _Gn εn ₍ G ) , имеем $G=\oplus G_{n}$.

Теорема Эрбрана-Рибе утверждает, что для нечетного G n n _{нетривиален} тогда и только тогда, когда p делит число Бернулли B _{p − n} .

Теорема не делает никаких утверждений о четных значениях n , но не существует известного p , для которого G _n нетривиален для любого четного n : тривиальность для всех p была бы следствием гипотезы Вандивера .

Доказательства

Часть, в которой говорится, что p делит B _{p − n,} если G _n нетривиален, принадлежит Жаку Эрбрану . Обратное утверждение, что если p делит B _{p − n,} то G _n не является тривиальным, принадлежит Кеннету Рибету и является значительно более трудным. По теории полей классов это может быть верно только в том случае, если существует неразветвленное расширение поля корней p- й степени из единицы циклическим расширением степени p , которое ведет себя указанным образом под действием Σ; Рибет доказывает это, фактически строя такое расширение, используя методы теории модулярных форм . Более элементарное доказательство обращения Рибе к теореме Эрбрана, являющегося следствием теории систем Эйлера , можно найти в книге Вашингтона.

Обобщения

Методы Рибета были развиты Барри Мазуром и Эндрю Уайлсом с целью доказать основную гипотезу теории Ивасавы : следствием чего является усиление теоремы Эрбрана-Рибе: степень p, делящая B _{p − n,} в точности равна степени p, делящей порядок G _n .

См. также

• Теория Ивасавы