Дирак имеет значение

Термин «материя Дирака» относится к классу систем конденсированного вещества , которые могут быть эффективно описаны уравнением Дирака . Хотя само уравнение Дирака было сформулировано для фермионов , квазичастицы, присутствующие в веществе Дирака, могут иметь любую статистику. Как следствие, дираковскую материю можно разделить на фермионную, бозонную или анионную дираковскую материю. Яркие примеры материи Дирака являются графен и другие полуметаллы Дирака , топологические изоляторы , полуметаллы Вейля , различные высокотемпературные сверхпроводники с $d$-волновое спаривание и жидкий гелий-3 . Эффективная теория таких систем классифицируется конкретным выбором массы Дирака, скорости Дирака, гамма-матриц и кривизны пространства-времени . Универсальная трактовка класса материи Дирака в терминах эффективной теории приводит к общим особенностям в отношении плотности состояний , теплоемкости и рассеяния на примесях.

Определение

Члены класса материи Дирака существенно различаются по своей природе. Однако все примеры материи Дирака объединены сходством в алгебраической структуре описывающей их эффективной теории.

Общий

Общее определение материи Дирака — это система конденсированной материи, в которой квазичастичные возбуждения могут быть описаны в искривленном пространстве-времени обобщенным уравнением Дирака:

$\left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }d_{\mu }(p)-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.$

В приведенном выше определении $d_{\mu }$ обозначает ковариантный вектор, зависящий от $(d+1)$-мерный импульс $p$ ( $d$ космос $+1$ измерение времени), $e_{a}^{\mu }$ это вирбейн, описывающий кривизну пространства, $m$ квазичастицы масса и $v_{\rm {D}}$ скорость Дирака. Обратите внимание, что, поскольку в веществе Дирака уравнение Дирака дает эффективную теорию квазичастиц, энергия из массового члена равна $mv_{\rm {D}}^{2}$, а не остальная масса $mc^{2}$ массивной частицы. $\gamma ^{\mu }$ относится к набору матриц Дирака , где определение конструкции задается антикоммутационным соотношением,

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }I_{d}.$

$\eta ^{\mu \nu }$ - метрика Минковского с сигнатурой (+ - - -) и $I_{d}$ это $d\times d$-мерная единичная матрица. Во всех уравнениях неявное суммирование по $a$ и $\mu$ используется ( конвенция Эйнштейна ). Более того, $\Psi$ это волновая функция . Объединяющей чертой всей дираковской материи является матричная структура уравнения, описывающего квазичастичные возбуждения.

В пределе, где $d_{\mu }(p)=D_{\mu }$, т.е. ковариантная производная получается , традиционная материя Дирака. Однако это общее определение позволяет описывать материю с дисперсионными соотношениями более высокого порядка и в искривленном пространстве-времени, пока эффективный гамильтониан демонстрирует матричную структуру, специфичную для уравнения Дирака .

Общий (обычный)

Большинство экспериментальных реализаций материи Дирака на сегодняшний день находятся в пределе $d_{\mu }(p)=D_{\mu }$ что, следовательно, определяет традиционную материю Дирака, в которой квазичастицы описываются уравнением Дирака в искривленном пространстве-времени ,

$\left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }D_{\mu }-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.$

Здесь, $D_{\mu }$ обозначает ковариантную производную . Например, для плоской метрики энергия свободной дираковской частицы существенно отличается от классической кинетической энергии, где энергия пропорциональна квадрату импульса:

${\begin{aligned}\mathrm {Free~Dirac~particle:\;} E&=\pm {\sqrt {\hbar ^{2}v_{\rm {D}}^{2}\mathbf {k} ^{2}+m^{2}c^{4}}}\\\mathrm {Kinetic\;energy:\;} E&={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2}}={\frac {|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}.\end{aligned}}$

Скорость Дирака $v_{\rm {D}}$ дает градиент $E-k$ дисперсия при больших импульсах $k$, $m$ это масса частицы или объекта. В случае безмассовой материи Дирака, такой как фермионные квазичастицы в графене или полуметаллы Вейля , соотношение энергии и импульса линейное:

$E(\mathbf {k} )=\hbar v_{\rm {D}}|\mathbf {k} |$

Следовательно, традиционная материя Дирака включает в себя все системы, которые имеют линейное пересечение или линейное поведение в некоторой области соотношения энергия-импульс. Для них характерны черты, напоминающие букву «X», иногда наклоненные или перекошенные, а иногда с зазором между верхними концами. $\vee$ и ниже $\wedge$ частей (точки поворота которых становятся закругленными, если источником разрыва является массовый член).

Общие особенности и некоторые конкретные примеры обычной материи Дирака обсуждаются в следующих разделах.

Общие свойства материи Дирака

Технологическая значимость и настройка материи Дирака

Настройка материи Дирака: поскольку плотность состояний четко определена, ее можно хорошо настроить на уровне Ферми (для фермионной материи Дирака), сдвигая химический потенциал. $\mu$. Введение массового термина $m$ приводит к зазору между двумя конусами и дисперсия становится квадратичной вблизи $k=0$.

Материя Дирака, особенно фермионная материя Дирака, имеет большой потенциал для технологических приложений. Например, Нобелевская премия по физике 2010 года была присуждена Андре Гейму и Константину Новоселову «за новаторские эксперименты с материалом графен». В официальном пресс-релизе Шведской королевской академии наук говорится, что

[...] теперь становится возможным широкое разнообразие практических применений, включая создание новых материалов и производство инновационной электроники. По прогнозам, графеновые транзисторы будут значительно быстрее современных кремниевых транзисторов и приведут к созданию более эффективных компьютеров.

— Шведская королевская академия наук

В общем, свойствами безмассовой фермионной материи Дирака можно управлять путем смещения химического потенциала с помощью легирования или с помощью установки с эффектом поля . Настраивая химический потенциал , можно точно контролировать количество присутствующих состояний, поскольку плотность состояний четко изменяется в зависимости от энергии.

Дополнительно, в зависимости от конкретной реализации материала Дирака, возможно введение массового члена $m$ это открывает щель в спектре — запрещенную зону . В общем, массовый член является результатом нарушения определенной симметрии системы. Размером запрещенной зоны можно точно управлять, контролируя силу массового члена.

Плотность штатов

Плотность состояний ​ $d$-мерная материя Дирака вблизи точки Дирака масштабируется как $N(\epsilon )\propto |\epsilon |^{d-1}$ где $\epsilon$ — энергия частицы. Исчезающая плотность состояний квазичастиц в материи Дирака имитирует полуметаллов в физическом измерении. физику $d>1$. В двумерных системах, таких как графен и топологические изоляторы, плотность состояний имеет V-образную форму по сравнению с постоянным значением для массивных частиц с дисперсией $E=\hbar ^{2}k^{2}/2m$.

Экспериментальные измерения плотности состояний вблизи точки Дирака стандартными методами, такими как сканирующая туннельная микроскопия, часто отличаются от теоретической формы из-за эффектов беспорядка и взаимодействий.

Удельная теплоемкость

Удельная теплоемкость, теплоемкость единицы массы, описывает энергию, необходимую для изменения температуры образца. Низкотемпературная электронная теплоемкость вещества Дирака равна $C(T\to 0)\sim T^{d}$ который отличается от $C(T\to 0)\sim T$ Встречается для обычных металлов. Следовательно, для систем, физический размер которых больше 1, теплоемкость может служить четким признаком дираковской природы квазичастиц.

квантование Ландау

Квантование Ландау относится к квантованию циклотронных орбит заряженных частиц в магнитных полях. В результате заряженные частицы могут занимать только орбиты с дискретными значениями энергии, называемые уровнями Ландау. Для двумерных систем с перпендикулярным магнитным полем энергия уровней Ландау для обычной материи, описываемой уравнением Шредингера, и материи Дирака равна

${\begin{aligned}\mathrm {Ordinary\;matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\\\mathrm {Dirac\;Matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}{\sqrt {|n|}}.\end{aligned}}$

Здесь, $\omega _{c}$ — циклотронная частота , линейно зависящая от приложенного магнитного поля и заряда частицы. Между квантованием уровня Ландау для двумерных фермионов Шредингера (обычная материя) и двумерных фермионов Дирака есть две отличительные особенности. Во-первых, энергия фермионов Шрёдингера линейно зависит от целого квантового числа $n$, тогда как для фермионов Дирака он демонстрирует зависимость от квадратного корня. Это ключевое различие играет важную роль в экспериментальной проверке материи Дирака. Кроме того, для $n=0$ для фермионов Дирака существует нулевой уровень энергии, который не зависит от циклотронной частоты. $\omega _{c}$ и с действием приложенного магнитного поля. Например, существование нулевого уровня Ландау приводит к квантовому эффекту Холла , при котором проводимость Холла квантуется до полуцелых значений.

Фермионная материя Дирака

В контексте фермионных квазичастиц скорость Дирака идентична скорости Ферми; в бозонных системах скорости Ферми не существует, поэтому скорость Дирака является более общим свойством таких систем.

Графен

Графен — это двумерный кристаллический , в аллотроп углерода котором атомы углерода расположены в сотовой решетке . Каждый атом углерода образует $\sigma$-связывается с тремя соседними атомами, лежащими в плоскости графена под углами 120 $^{\circ }$. Эти связи опосредуются тремя из четырех электронов углерода , а четвертый электрон, занимающий $\mathrm {p} _{z}$ орбитальный , обеспечивает внеплоскую π -связь , которая ведет к электронным зонам на уровне Ферми . Уникальные транспортные свойства и полуметаллическое состояние графена являются результатом того, что делокализованные электроны занимают эти p _z- орбитали.

Полуметаллическое состояние соответствует линейному пересечению энергетических зон при $K$ и $K'$ графена точки гексагональной зоны Бриллюэна . В этих двух точках электронная структура может быть эффективно описана гамильтонианом

${\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}\right).$

Здесь, $\sigma _{x}$ и $\sigma _{y}$ две из трёх матриц Паули . Фактор $\tau =+/-$ указывает, центрирован ли описываемый гамильтониан на $K$ или $K'$ долина в углу шестиугольной зоны Бриллюэна . Для графена скорость Дирака составляет около $\hbar v_{\rm {D}}\approx 5.8$ эВ $\mathrm {\AA}$. Энергетическая щель в дисперсии графена может быть получена из низкоэнергетического гамильтониана вида

${\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+M\sigma _{z},\end{aligned}}$

который теперь содержит массовый термин $M$. Существует несколько различных способов введения массового термина, и результаты имеют разные характеристики. Самый практичный подход к созданию разрыва (введение массового члена) - это нарушение подрешеточной симметрии решетки, в которой каждый атом углерода немного отличается от своего ближайшего, но идентичен своим следующим ближайшим соседям; эффект, который может быть результатом воздействия субстрата.

Топологические изоляторы

Топологический изолятор — это материал, который ведет себя как изолятор внутри (в объеме), но поверхность которого содержит проводящие состояния. Это свойство представляет собой нетривиальный топологический порядок , защищенный симметрией . Как следствие, электроны в топологических изоляторах могут двигаться только по поверхности материала. В объеме невзаимодействующего топологического изолятора уровень Ферми расположен внутри зазора между зоной проводимости и валентной зоной . На поверхности внутри объемной энергетической щели существуют особые состояния , которые можно эффективно описать гамильтонианом Дирака:

${\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\mathbf {k} \times {\boldsymbol {\sigma }})\cdot {\hat {\mathbf {z} }}\end{aligned}}$

где ${\hat {\mathbf {z} }}$ нормально к поверхности и ${\mathbf {\sigma } }$ находится в реальном спиновом базисе. Однако, если мы вращаем спин с помощью унитарного оператора , $U={\rm {diag}}[1,i]$, мы получим стандартное обозначение гамильтониана Дирака: ${\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {k} }$. Такие конусы Дирака, возникающие на поверхности трехмерных кристаллов, наблюдались в эксперименте, например: селенид висмута (Bi $_{2}$Се $_{3}$), теллурид олова (SnTe) и многие другие материалы.

Дихалькогениды переходных металлов (TMDC)

Пока они разведены, рядом с $K$ и $K^{\prime }$ В точках их гексагональной зоны Бриллюэна дисперсии дихалькогенидов переходных металлов могут быть описаны массивным уравнением Дирака с дополнительными членами спин-орбитального взаимодействия, которые приводят к спиновому расщеплению в валентной зоне.

Низкоэнергетические свойства некоторых полупроводниковых монослоев дихалькогенидов переходных металлов могут быть описаны двумерным массивным (щелевым) гамильтонианом Дирака с дополнительным членом, описывающим сильную спин-орбитальную связь :

${\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+\Delta \sigma _{z}+\lambda (1-\sigma _{z})\tau s+(\alpha +\beta \sigma _{z})(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}).\end{aligned}}$

Спин-орбитальная связь $\lambda$ обеспечивает большое спиновое расщепление в валентной зоне и $s$ указывает вращения степень свободы . Что касается графена, $\tau$ дает долине степень свободы – будь то вблизи $K$ или $K^{\prime }$ точка гексагональной зоны Бриллюэна. Монослои дихалькогенидов переходных металлов часто обсуждаются в связи с потенциальными применениями в Valleytronics .

Полуметаллы Вейля

Полуметаллы Вейля , например арсенид тантала (TaAs) и родственные материалы, силицид стронция (SrSi $_{2}$) имеют гамильтониан, который очень похож на гамильтониан графена, но теперь включает все три матрицы Паули, а линейные пересечения происходят в 3D:

${\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}+k_{z}\sigma _{z}).$

Поскольку присутствуют все три матрицы Паули , не существует дополнительной матрицы Паули, которая могла бы открыть пробел в спектре, и поэтому точки Вейля топологически защищены . Наклон линейных конусов для изменения скорости Дирака приводит к образованию полуметаллов Вейля типа II. Одной отличительной, экспериментально наблюдаемой особенностью полуметаллов Вейля является то, что поверхностные состояния образуют дуги Ферми, поскольку поверхность Ферми не образует замкнутого контура.

Хотя уравнение Вейля изначально было выведено для нечетных пространственных измерений, обобщение трехмерного состояния фермиона Вейля в двумерном случае приводит к отдельному топологическому состоянию материи, обозначенному как двумерные полуметаллы Вейля. 2D-полуметаллы Вейля — это спин-поляризованные аналоги графена, которые обещают доступ к топологическим свойствам фермионов Вейля в (2+1)-тусклом пространстве-времени. В 2024 году в эпитаксиальном монослое висмутена был обнаружен собственный двумерный полуметалл Вейля со спин-поляризованными конусами Вейля и топологическими струнами Ферми (одномерный аналог дуг Ферми).

Полуметаллы Дирака

В кристаллах, симметричных относительно инверсии и обращения времени , электронные энергетические зоны вырождены в два раза. Это вырождение называется вырождением Крамерса . Поэтому полуметаллы с линейными пересечениями двух энергетических зон (двукратное вырождение) при энергии Ферми обнаруживают четырехкратное вырождение в точке пересечения. Эффективный гамильтониан для этих состояний можно записать как

${\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left({\begin{array}{cc}\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&-\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\end{array}}\right).$

Это в точности матричная структура материи Дирака. Примерами экспериментально реализованных полуметаллов Дирака являются висмутид натрия (Na $_{3}$С а) и арсенид кадмия (Cd $_{3}$Как $_{2}$)

Бозонная материя Дирака

Дисперсии для бозонных (слева) и фермионных (справа) материалов Дирака. В отличие от фермионного случая, когда исключение Паули ограничивает возбуждения, близкие к энергии Ферми, для описания бозона требуется вся зона Бриллиуна.

Хотя исторический интерес был сосредоточен на фермионных квазичастицах, которые имеют потенциал для технологических приложений, особенно в электронике, математическая структура уравнения Дирака не ограничивается статистикой частиц . Это привело к недавнему развитию концепции бозонной материи Дирака.

В случае бозонов не существует принципа Паули, ограничивающего возбуждения, близкие к химическому потенциалу вся зона Бриллюэна (энергии Ферми для фермионов), поэтому должна быть включена . При низких температурах бозоны будут собираться в точке с самой низкой энергией, $\Gamma$-точка нижней полосы. Необходимо добавить энергию, чтобы возбудить квазичастицы вблизи точки линейного пересечения.

Несколько примеров материи Дирака с фермионными квазичастицами встречаются в системах с гексагональной кристаллической решеткой; поэтому бозонные квазичастицы на гексагональной решетке являются естественными кандидатами на бозонную материю Дирака. Фактически, основная симметрия кристаллической структуры сильно ограничивает и защищает появление линейных пересечений зон. Типичными бозонными квазичастицами в конденсированном состоянии являются магноны , фононы , поляритоны и плазмоны .

Существующие примеры бозонной материи Дирака включают галогениды переходных металлов , такие как CrX. $_{3}$ (X= Cl, Br, I), где в спектре магнонов наблюдаются линейные пересечения, гранулированные сверхпроводники в сотовой решетке и гексагональные массивы полупроводниковых микрорезонаторов, в которых находятся поляритоны микрорезонаторов с линейными пересечениями. Как и графен, все эти системы имеют гексагональную решетчатую структуру.

Материалы Anyonic Dirac

Любая материя Дирака — это гипотетическая область, которая на сегодняшний день довольно неисследована. Анион — это тип квазичастицы , который может встречаться только в двумерных системах. Учитывая бозоны и фермионы , обмен двумя частицами вносит вклад в волновую функцию в 1 или -1 раз. Напротив, операция обмена двух идентичных анионов вызывает глобальный фазовый сдвиг. Анионы обычно классифицируются как абелевы или неабелевы в зависимости от того, преобразуются ли элементарные возбуждения теории под абелевым представлением группы кос или под неабелевым. Абелевы анионы были обнаружены в связи с дробным квантовым эффектом Холла . Возможная конструкция анионной материи Дирака основана на защите симметрии пересечений анионных энергетических зон. По сравнению с бозонами и фермионами ситуация усложняется, поскольку перемещения в пространстве не обязательно коммутируют. Кроме того, для заданных пространственных симметрий групповая структура, описывающая анион, сильно зависит от конкретной фазы анионного обмена. Например, для бозонов вращение частицы примерно на 2 π, т. е. на 360°. $^{\circ }$, не изменит свою волновую функцию. Для фермионов вращение частицы примерно на 2 π будет способствовать фактору $-1$ к его волновой функции, тогда как вращение на 4 π , т. е. вращение примерно на 720 $^{\circ }$, даст ту же волновую функцию, что и раньше. Для анионов может потребоваться еще более высокая степень вращения, например, 6 π , 8 π и т. д., чтобы оставить волновую функцию инвариантной.

См. также

• Конус Дирака

Дальнейшее чтение

• Новоселов К.С.; Гейм, АК (2007). «Возрождение графена». Природные материалы . 6 (3): 183–191. Бибкод : 2007NatMa...6..183G . дои : 10.1038/nmat1849 . ПМИД   17330084 . S2CID   14647602 .
• Хасан, МЗ; Сюй, С.-Ю.; Неупан, М (2015). «Топологические изоляторы, топологические полуметаллы Дирака, топологические кристаллические изоляторы и топологические изоляторы Кондо». В Ортманне, Ф.; Рош, С.; Валенсуэла, СО (ред.). Топологические изоляторы . Джон Уайли и сыновья. стр. 55–100. дои : 10.1002/9783527681594.ch4 . ISBN  9783527681594 .
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Наконец-то обнаружены фермионы Вейля» . Мир физики . Проверено 22 ноября 2018 г.
• Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный» . Природные материалы . 14 (9): 863. дои : 10.1038/nmat4411 . ISSN   1476-1122 . ПМИД   26288972 .
• Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где дела Вейля» . Физика . 8 : 84. Бибкод : 2015PhyOJ...8...84V . дои : 10.1103/Физика.8.84 . Проверено 22 ноября 2018 г.
• Цзя, Шуан; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия» . Природные материалы . 15 (11): 1140–1144. arXiv : 1612.00416 . Бибкод : 2016NatMa..15.1140J . дои : 10.1038/nmat4787 . ПМИД   27777402 . S2CID   1115349 .