Shubnikov–de Haas effect

Колебания ( проводимости материала, возникающие при низких температурах в присутствии очень интенсивных магнитных полей , -де Гааза ШдГ эффект Шубникова ) — макроскопическое проявление собственной квантовомеханической природы материи. Его часто используют для определения эффективной массы носителей заряда ( электронов и электронных дырок ), что позволяет исследователям различать основные и неосновные популяции носителей. Эффект назван в честь Вандера Йоханнеса де Гааса и Льва Шубникова .

Физический процесс

При достаточно низких температурах и сильных магнитных полях свободные электроны в зоне проводимости металла , полуметалла или полупроводника с узкой зоной запрещенной будут вести себя как простые гармонические осцилляторы . При изменении напряженности магнитного поля период колебаний простых гармонических осцилляторов изменяется пропорционально. Результирующий энергетический спектр состоит из уровней Ландау, разделенных циклотронной энергией. Эти уровни Ландау далее расщепляются энергией Зеемана . На каждом уровне Ландау циклотронная и зеемановская энергии, а также число электронных состояний ( eB / h ) линейно увеличиваются с увеличением магнитного поля. Таким образом, с увеличением магнитного поля спин-расщепленные уровни Ландау переходят к более высоким энергиям. Когда каждый энергетический уровень проходит через энергию Ферми , он опустошается, поскольку электроны начинают свободно течь в виде тока. свойств материала Это приводит к периодическим колебаниям транспортных и термодинамических , вызывая измеримые колебания проводимости материала. Поскольку переход через «край» Ферми охватывает небольшой диапазон энергий, форма сигнала имеет квадратную, а не квадратную форму. синусоидальная , причем форма становится все более квадратной по мере понижения температуры. ^{[ нужна ссылка ]}

Теория

Рассмотрим двумерный квантовый газ электронов, заключенных в образце заданной ширины и с краями. При наличии плотности магнитного потока B собственные значения энергии этой системы описываются уровнями Ландау . Как показано на рис. 1, эти уровни равноудалены вдоль вертикальной оси. Каждый энергетический уровень внутри образца практически плоский (см. рис. 1). На краях образца работа выхода изгибается вверх.

На рис. 1 показана энергия Ферми E _F, расположенная между ^{[ 1 ]} два уровня Ландау . когда их энергетические уровни пересекают энергию Ферми EF _{Электроны становятся подвижными ,} . Поскольку энергия Ферми EF _{, рассеяние электронов будет происходить только} находится между двумя уровнями Ландау на краях образца, где уровни изогнуты. Соответствующие электронные состояния обычно называют краевыми каналами.

Для описания транспорта электронов в этом конкретном образце используется подход Ландауэра – Бюттикера. Подход Ландауэра-Бюттикера позволяет рассчитать чистые токи I _m, протекающие между несколькими контактами 1 ≤ m ≤ n . В упрощенной форме чистый ток I _m контакта m с химическим потенциалом мкм _как читается

I_{m}=2{\frac {e\cdot i}{h}}\left(\mu _{m}-\sum _{l\neq m}T_{ml}\mu _{l}\right),\,

( 1 )

где e обозначает заряд электрона , h обозначает постоянную Планка , а i обозначает количество краевых каналов. ^{[ 2 ]} Матрица T _ml обозначает вероятность перехода отрицательно заряженной частицы (т.е. электрона) от контакта $l \neq m$ к другому контакту m . Чистый ток I _m в соотношении ( 1 ) состоит из токов к контакту m и тока, передаваемого от контакта m ко всем остальным контактам $l \neq m$ . Этот ток равен напряжению $μ m / e$ контакта m, умноженному на холловскую проводимость 2 $e . 2 / ч$ на крайний канал.

На рис. 2 показан образец с четырьмя контактами. Для пропускания тока через образец между контактами 1 и 4 подается напряжение. Напряжение измеряется между контактами 2 и 3. Пусть электроны покидают 1-й контакт, затем передаются от контакта 1 к контакту 2, затем от контакта 2 к контакту 3, затем от контакта 3 к контакту 4 и, наконец, от контакта 4 обратно к контакту 1. Отрицательный заряд (т. е. электрон), передаваемый от контакта 1 к контакту 2, приведет к возникновению тока от контакта 2 к контакту. 1. Электрон, переданный от контакта 2 к контакту 3, приведет к возникновению тока от контакта 3 к контакту 2 и т. д. Предположим также, что никакие электроны не передаются по каким-либо дальнейшим путям. Вероятности передачи идеальных контактов тогда будут равны

T_{21}=T_{32}=T_{43}=T_{14}=1,

и

T_{ml}=0

в противном случае. С учетом этих вероятностей токов I ₁ ... I ₄ через четыре контакта и их химических потенциалов µ ₁ ... µ ₄ уравнение ( 1 ) можно переписать

\left({\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\\I_{4}\end{matrix}}\right)={\frac {2e\cdot i}{h}}\left({\begin{matrix}1&0&0&-1\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\mu _{3}\\\mu _{4}\end{matrix}}\right).

Между контактами 2 и 3 измеряется напряжение. В идеале измерение напряжения не должно включать протекание тока через счетчик, поэтому I ₂ = I ₃ = 0. Отсюда следует, что

I_{3}=0={\frac {2e\cdot i}{h}}\left(-\mu _{2}+\mu _{3}\right),

\mu _{2}=\mu _{3}.

Другими словами, химические потенциалы µ ₂ и µ ₃ и их соответствующие напряжения $µ 2 / e$ и $µ 3 / e$ одинаковы. Вследствие отсутствия падения напряжения между контактами 2 и 3 ток I ₁ испытывает нулевое сопротивление R _SdH между контактами 2 и 3.

R_{\mathrm {SdH} }={\frac {\mu _{2}-\mu _{3}}{e\cdot I_{1}}}=0.

Результат нулевого сопротивления между контактами 2 и 3 является следствием подвижности электронов только в краевых каналах образца. Ситуация была бы иной, если бы Ландау приблизился к энергии Ферми EF _{уровень} . Любые электроны на этом уровне станут подвижными, когда их энергия приблизится к Ферми EF _{энергии} . Следовательно, разброс приведет к R _SdH Другими словами, описанный выше подход дает нулевое удельное сопротивление всякий раз, когда уровни Ландау расположены так, что энергия Ферми EF _{> 0.} находится между двумя уровнями.

Приложения

Осцилляции Шубникова – Де Гааза можно использовать для определения двумерной электронной плотности образца. Для заданного магнитного потока $\Phi$ максимальное число D электронов со спином S = 1/2 на уровне Ландау равно

D=\left(2S+1\right){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}=2{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}.\,

( 2 )

После подстановки выражений для кванта потока $Φ 0 = h / e$ и для магнитного потока $Φ = BA$ соотношение ( 2 ) будет иметь вид

D=2{\frac {eBA}{h}}

Пусть N обозначает максимальное количество состояний на единицу площади, поэтому $D = NA$ и

N=2{\frac {eB}{h}}.

Пусть теперь каждый уровень Ландау соответствует краевому каналу приведенного выше образца. Для данного количества i краевых каналов, каждый из которых заполнен N электронами на единицу площади, общее количество n электронов на единицу площади будет равно

n=iN=2i{\frac {eB}{h}}.

Общее количество n электронов на единицу площади обычно называют электронной плотностью образца. Никакие электроны не исчезают из образца в неизвестное, поэтому плотность электронов n постоянна. Отсюда следует, что

B_{i}={\frac {nh}{2ei}},

{\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2ei}{nh}},

\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {1}{B_{i+1}}}-{\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2e}{nh}}.\,

( 3 )

Рис. 3: Обратная плотность магнитного потока 1/ B _i в зависимости от минимумов Шубникова–Де Хааса, наблюдаемых в сильнолегированном Bi ₂ Se ₃

Для данного образца все факторы, включая электронную плотность n в правой части соотношения ( 3 ), являются постоянными. При построении графика индекса i краевого канала в зависимости от обратной величины его плотности магнитного потока 1/ B _i получается прямая линия с наклоном 2 e /( nh ). Поскольку заряд электрона e известен , а также постоянная Планка h , из этого графика можно определить плотность электронов n образца. ^{[ 3 ]} Осцилляции Шубникова–Де Гааза наблюдаются в сильнолегированном Bi ₂ Se ₃ . ^{[ 4 ]} На рис. 3 показана обратная плотность магнитного потока 1/ B _i минимумов с 10 по 14 образца Bi ₂ Se ₃ . Наклон 0,00618/T, полученный в результате линейной аппроксимации, дает плотность электронов n

n={\frac {2e}{0.00618/\mathrm {T} \cdot h}}\approx 7.82\times 10^{14}/\mathrm {m} ^{2}.

Осцилляции Шубникова – де Гааса можно использовать для картирования поверхности Ферми электронов в образце путем определения периодов колебаний для различных направлений приложенного поля.

Связанный физический процесс

Эффект связан с эффектом Де Хааса – Ван Альфена , которым называют соответствующие колебания намагниченности. Сигнатурой каждого эффекта является периодическая форма волны , построенная как функция обратного магнитного поля. « Частота » магнитосопротивления колебаний указывает на области экстремальных орбит вокруг поверхности Ферми . Площадь поверхности Ферми выражается в теслах . Точнее, период в обратных Теслах обратно пропорционален площади экстремальной орбиты поверхности Ферми в обратных м/см.

Ссылки

^ Поскольку дефекты в образце будут влиять на положение энергии Ферми EF _{, это, строго говоря ,} приближение. Влияние дефектов и температур выше 0 К здесь пока не учитывается.
^ Количество краевых каналов i тесно связано с коэффициентом заполнения $ν = i$ . Множитель 2 обусловлен спиновым вырождением .
^ Отношение ( 3 ) выражается в единицах СИ . В единицах СГС то же соотношение выглядит следующим образом: $\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {2\cdot e}{n\cdot h\cdot c}}.$
^ Цао, Хелин; Тиан, Джифа; Миотковский, Иренеуш; Шен, Тянь; Ху, Цзюнин; Цяо, Шан; Чен, Юн П. (2012). «Квантованный эффект Холла и колебания Шубникова – Де Гааса в сильнолегированном Bi2Se3: свидетельства многослойного транспорта наливных авианосцев» . Письма о физических отзывах . 108 (21): 216803. Бибкод : 2012PhRvL.108u6803C . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.216803 . ПМИД 23003290 .

Шубников Л.; Де Хаас, WJ (1930). магнитного сопротивления « Повышение монокристаллов висмута при низких температурах» (PDF) . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук (на немецком языке). 33 :130-133.
Шубников Л.; Де Хаас, WJ (1930). «Новые явления в изменении сопротивления кристаллов висмута в магнитном поле при температуре жидкого водорода (I)» ( PDF) . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 33 :363-378.
Шубников Л.; Де Хаас, WJ (1930). «Новые явления в изменении сопротивления кристаллов висмута в магнитном поле при температуре жидкого водорода (II)» (PDF) . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 33 : 418-432.
Шубников Л.; Де Хаас, WJ (1930). «Изменение сопротивления кристаллов висмута в магнитном поле при температуре жидкого азота» ( PDF) . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 33 : 433–439.

Внешние ссылки

В статье используется текст из «Эффекта Шубникова» на Lang.gov. Архивировано 22 сентября 2017 г. на Wayback Machine , который является общественным достоянием как работа правительственного агентства США.
Поведение материала в сильных магнитных полях. Архивировано 3 сентября 2006 г. в Wayback Machine.

[1] Поскольку дефекты в образце будут влиять на положение энергии Ферми EF _{, это, строго говоря ,} приближение. Влияние дефектов и температур выше 0 К здесь пока не учитывается.

[2] Количество краевых каналов i тесно связано с коэффициентом заполнения $ν = i$ . Множитель 2 обусловлен спиновым вырождением .

[3] Отношение ( 3 ) выражается в единицах СИ . В единицах СГС то же соотношение выглядит следующим образом: $\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {2\cdot e}{n\cdot h\cdot c}}.$

[cao2012-4] Цао, Хелин; Тиан, Джифа; Миотковский, Иренеуш; Шен, Тянь; Ху, Цзюнин; Цяо, Шан; Чен, Юн П. (2012). «Квантованный эффект Холла и колебания Шубникова – Де Гааса в сильнолегированном Bi2Se3: свидетельства многослойного транспорта наливных авианосцев» . Письма о физических отзывах . 108 (21): 216803. Бибкод : 2012PhRvL.108u6803C . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.216803 . ПМИД 23003290 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]