Теорема Вигнера – Эккарта

Теорема Вигнера -Экарта — теорема теории представлений и квантовой механики . В нем говорится, что матричные элементы сферических тензорных операторов в базисе углового момента собственных состояний могут быть выражены как произведение двух факторов, один из которых не зависит от ориентации углового момента, а другой - коэффициента Клебша – Гордана . Название происходит от физиков Юджина Вигнера и Карла Эккарта , которые разработали формализм как связующее звено между группами преобразований симметрии пространства (применительно к уравнениям Шредингера) и законами сохранения энергии, импульса и углового момента. ^[1]

Математически теорема Вигнера – Эккарта обычно формулируется следующим образом. Учитывая тензорный оператор $T^{(k)}$ и два состояния угловых моментов $j$ и $j'$ , существует константа $\langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle$ такой, что для всех $m$ , $m'$ , и $q$ , выполняется следующее уравнение:

\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle ,

где

$T_{q}^{(k)}$ — $q$ -я компонента оператора сферического тензора $T^{(k)}$ ранга $k$ , ^[2]
$|jm\rangle$ обозначает собственное состояние полного углового момента $J 2$ и его z -компонента $J z$ ,
$\langle j'm'kq|jm\rangle$ — коэффициент Клебша–Гордана для связи $j'$ с $k$ для получения $j$ ,
$\langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle$ обозначает ^[3] некоторое значение, которое не зависит ни от $m$ , $m'$ , ни $q$ и называется приведенным матричным элементом .

Теорема Вигнера-Экарта действительно утверждает, что работа со сферическим тензорным оператором ранга $k$ над собственным состоянием углового момента подобна добавлению состояния с угловым моментом k к состоянию. Матричный элемент, найденный для оператора сферического тензора, пропорционален коэффициенту Клебша – Гордана, который возникает при рассмотрении сложения двух угловых моментов. Другими словами, можно сказать, что теорема Вигнера-Экарта — это теорема, которая показывает, как векторные операторы ведут себя в подпространстве. Внутри данного подпространства компонент векторного оператора будет вести себя пропорционально тому же компоненту оператора углового момента. Это определение дано в книге «Квантовая механика» Коэна-Таннуджи, Диу и Лалоэ .

Предыстория и обзор

Мотивирующий пример: элементы матрицы оператора позиционирования для перехода 4d → 2p

Допустим, мы хотим рассчитать переходные дипольные моменты для перехода электрона с 4d на 2p- орбиталь атома водорода, т.е. матричные элементы вида $\langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle$ , где r _i — это x , y или z компонента оператора положения , а m ₁ , m ₂ — магнитные квантовые числа 2p или 4d , которые различают различные орбитали внутри подоболочки . Если мы сделаем это напрямую, то потребуется вычислить 45 различных интегралов: есть 3 возможности для m ₁ (−1, 0, 1), 5 возможностей для m ₂ (−2, −1, 0, 1, 2) и 3 возможностей для i , поэтому общая сумма равна 3 × 5 × 3 = 45.

Теорема Вигнера-Экарта позволяет получить ту же информацию, вычислив только один из этих 45 интегралов ( можно использовать любой из них, если он не равен нулю). Затем остальные 44 интеграла можно вывести из этого первого — без необходимости записывать какие-либо волновые функции или оценивать какие-либо интегралы — с помощью коэффициентов Клебша-Гордана , которые можно легко найти в таблице или вычислить вручную или на компьютере. .

Качественное резюме доказательств

Теорема Вигнера-Экарта работает, потому что все 45 этих различных вычислений связаны друг с другом вращениями. Если электрон находится на одной из 2p-орбиталей, вращение системы обычно перемещает его на другую 2p-орбиталь (обычно он оказывается в квантовой суперпозиции всех трех базисных состояний, m = +1, 0, -1). Аналогично, если электрон находится на одной из 4d-орбиталей, вращение системы переместит его на другую 4d-орбиталь. Наконец, аналогичное утверждение справедливо и для оператора положения: когда система вращается, три различных компонента оператора положения эффективно меняются местами или смешиваются.

Если мы начнем с знания только одного из 45 значений (скажем, мы знаем, что $\langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle =K$ ), а затем вращаем систему, мы можем сделать вывод, что K также является матричным элементом между повернутой версией $\langle 2p,m_{1}|$ , повернутая версия $r_{i}$ и повернутая версия $|4d,m_{2}\rangle$ . Это дает алгебраическое отношение, включающее K и некоторые или все из 44 неизвестных матричных элементов. Разные повороты системы приводят к разным алгебраическим соотношениям, и оказывается, что информации достаточно, чтобы таким образом вычислить все элементы матрицы.

(На практике, работая над этой математикой, мы обычно применяем к состояниям операторы углового момента , а не вращаем состояния. Но по сути это одно и то же, поскольку между вращениями и операторами углового момента существует тесная математическая связь .)

С точки зрения теории представлений

Чтобы сформулировать эти наблюдения более точно и доказать их, полезно обратиться к математике теории представлений . Например, набор всех возможных 4d-орбиталей (т.е. 5 состояний m = −2, −1, 0, 1, 2 и их квантовые суперпозиции ) образуют 5-мерное абстрактное векторное пространство . Вращение системы преобразует эти состояния друг в друга, поэтому это пример «группового представления», в данном случае 5-мерного неприводимого представления («irrep») группы вращения SU (2) или SO (3). , также называемое «представлением спина 2». Точно так же 2p-квантовые состояния образуют трехмерное искажение (называемое «спин-1»), а компоненты оператора положения также образуют трехмерное искажение «спин-1».

Теперь рассмотрим элементы матрицы $\langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle$ . Оказывается, они преобразуются поворотами в соответствии с тензорным произведением этих трех представлений, то есть представлением спина 1 2p-орбиталей, представлением спина 1 компонентов r и представлением спина 2 4d. орбитали. Это прямое произведение, 45-мерное представление SU(2), не является неприводимым представлением , вместо этого оно представляет собой прямую сумму представления со спином 4, двух представлений со спином 3, трех представлений со спином 2, двух представлений со спином 1. представления и представление со спином 0 (т.е. тривиальное). Ненулевые матричные элементы могут происходить только из подпространства со спином 0. Теорема Вигнера-Экарта работает, потому что разложение прямого произведения содержит одно и только одно подпространство со спином 0, что означает, что все элементы матрицы определяются одним масштабным коэффициентом.

Помимо общего масштабного коэффициента, вычисление матричного элемента $\langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle$ эквивалентно вычислению проекции соответствующего абстрактного вектора (в 45-мерном пространстве) на подпространство со спином 0. Результатом этого расчета являются коэффициенты Клебша–Гордана . Ключевой качественный аспект разложения Клебша – Гордана, который заставляет этот аргумент работать, заключается в том, что при разложении тензорного произведения двух неприводимых представлений каждое неприводимое представление встречается только один раз. Это позволяет лемму Шура . использовать ^[4]

Доказательство

Начиная с определения сферического тензорного оператора , мы имеем

[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)},

который мы используем, чтобы затем вычислить

{\begin{aligned}&\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle =\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}

Если расширить коммутатор на ЛГС, рассчитав действие $J \pm$ на бра и кет, то получим

{\begin{aligned}\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle ={}&\hbar {\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\,\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle \\&-\hbar {\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle .\end{aligned}}

Мы можем объединить эти два результата, чтобы получить

{\begin{aligned}{\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =&{\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle \\&+{\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}

Это рекурсивное соотношение для матричных элементов очень похоже на соотношение коэффициента Клебша-Гордана . Фактически оба имеют вид $Σ c a b, c x c = 0$ . Таким образом, мы имеем две системы линейных однородных уравнений:

{\begin{aligned}\sum _{c}a_{b,c}x_{c}&=0,&\sum _{c}a_{b,c}y_{c}&=0.\end{aligned}}

один для коэффициентов Клебша – Гордана ( $x c$ ) и один для матричных элементов ( $y c$ ). невозможно $Точно определить значение x c$ . Можно лишь сказать, что соотношения равны, т.е.

{\frac {x_{c}}{x_{d}}}={\frac {y_{c}}{y_{d}}}

или что $x c \propto y c$ , где коэффициент пропорциональности не зависит от индексов. Следовательно, сравнивая рекуррентные соотношения, мы можем идентифицировать коэффициент Клебша–Гордана $⟨ j 1 m 1 j 2 (m 2 \pm 1)| jm ⟩$ с матричным элементом $⟨ j' m'| Т (к) д \pm 1 | j m ⟩$ , тогда можно написать

\langle j'\,m'|T_{q\pm 1}^{(k)}|j\,m\rangle \propto \langle j\,m\,k\,(q\pm 1)|j'\,m'\rangle .

Альтернативные конвенции

Существуют разные соглашения для сокращенных матричных элементов. Одно соглашение, используемое Ракой ^[5] и Вигнер, ^[6] включает дополнительную фазу и коэффициент нормализации,

\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {(-1)^{2k}\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }}{\sqrt {2j+1}}}=(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&k&j'\\-m&q&m'\end{pmatrix}}\langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }.

где $массив 2 \times 3$ обозначает символ 3-j . (Поскольку на практике $k$ часто является целым числом, $(-1) 2 тыс.$ в литературе иногда опускается.) При таком выборе нормировки приведенный матричный элемент удовлетворяет соотношению:

\langle j\|T^{\dagger (k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }=(-1)^{k+j'-j}\langle j'\|T^{(k)}\|j\rangle _{\mathrm {R} }^{*},

где эрмитово сопряженное определяется $k - q$ соглашением . Хотя на это соотношение не влияет наличие или отсутствие $(-1) 2 тыс.$ Фазовый коэффициент в определении приведенного матричного элемента, на него влияет соглашение о фазе для эрмитова сопряженного.

Еще одно соглашение о сокращенных матричных элементах - это соглашение Сакураи «Современная квантовая механика» :

\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }{\sqrt {2j'+1}}}.

Пример

Рассмотрим математическое ожидание позиции $⟨ njm | х | нджм ⟩$ . Этот матричный элемент представляет собой математическое ожидание декартова оператора в сферически симметричном базисе собственных состояний атома водорода , что является нетривиальной проблемой. Однако теорема Вигнера–Экарта упрощает проблему. (На самом деле, мы могли бы быстро получить решение, используя паритет , хотя для этого потребуется немного более длинный путь.)

Мы знаем, что $x$ — это один компонент $r$ , который является вектором. Поскольку векторы являются сферическими тензорными операторами ранга 1, отсюда следует, что $x$ должен быть некоторой линейной комбинацией сферического тензора ранга 1 $T (1) q$ с $q \in {-1, 0, 1$ }. Фактически, можно показать, что

x={\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}},

где мы определяем сферические тензоры как ^[7]

T_{q}^{(1)}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}rY_{1}^{q}

и $Y л м$ являются сферическими гармониками , которые сами также являются сферическими тензорами ранга $l$ . Кроме того, $Т (1) 0 = z$ и

T_{\pm 1}^{(1)}=\mp {\frac {x\pm iy}{\sqrt {2}}}.

Поэтому,

{\begin{aligned}\langle n\,j\,m|x|n'\,j'\,m'\rangle &=\left\langle n\,j\,m\left|{\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}}\right|n'\,j'\,m'\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle n\,j\|T^{(1)}\|n'\,j'\rangle \,{\big (}\langle j'\,m'\,1\,(-1)|j\,m\rangle -\langle j'\,m'\,1\,1|j\,m\rangle {\big )}.\end{aligned}}

Приведенное выше выражение дает нам матричный элемент для $x$ в $| нджм ⟩$ основа. Чтобы найти математическое ожидание, мы устанавливаем $n' = n$ , $j' = j$ и $m' = m$ . Правило выбора для $m'$ и $m$ таково: $m \pm 1 = m'$ для $T (1) \pm1$ сферические тензоры. Поскольку у нас есть $m' = m$ , это делает коэффициенты Клебша – Гордана нулевыми, что приводит к тому, что математическое ожидание становится равным нулю.

См. также

Ссылки

^ Биография Эккарта - Издательство национальных академий.
^ Верхний индекс в скобках $(k)$ напоминает о его ранге. Однако, в отличие от $q$ , это не обязательно должен быть фактический индекс.
^ Это специальное обозначение, характерное для теоремы Вигнера – Эккарта.
^ Холл, 2015 г., Приложение C.
^ Рака, Г. (1942). «Теория комплексных спектров II». Физический обзор . 62 (9–10): 438–462. Бибкод : 1942PhRv...62..438R . дои : 10.1103/PhysRev.62.438 .
^ Вигнер, EP (1951). «О матрицах, сокращающих кронекеровские произведения представлений групп SR». В Вайтмане, Артур С. (ред.). Собрание сочинений Юджина Пауля Вигнера . Том. 3. п. 614. дои : 10.1007/978-3-662-02781-3_42 . ISBN 978-3-642-08154-5 .
^ Дж. Дж. Сакураи: «Современная квантовая механика» (Массачусетс, 1994, Аддисон-Уэсли).

Общий

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666

Внешние ссылки

Джей Джей Сакурай (1994). «Современная квантовая механика», Эддисон Уэсли, ISBN 0-201-53929-2 .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Вигнера – Эккарта» . Математический мир .
Теорема Вигнера – Эккарта
Тензорные операторы

[Eckart_Biography-1] Биография Эккарта - Издательство национальных академий.

[2] Верхний индекс в скобках $(k)$ напоминает о его ранге. Однако, в отличие от $q$ , это не обязательно должен быть фактический индекс.

[3] Это специальное обозначение, характерное для теоремы Вигнера – Эккарта.

[4] Холл, 2015 г., Приложение C.

[5] Рака, Г. (1942). «Теория комплексных спектров II». Физический обзор . 62 (9–10): 438–462. Бибкод : 1942PhRv...62..438R . дои : 10.1103/PhysRev.62.438 .

[6] Вигнер, EP (1951). «О матрицах, сокращающих кронекеровские произведения представлений групп SR». В Вайтмане, Артур С. (ред.). Собрание сочинений Юджина Пауля Вигнера . Том. 3. п. 614. дои : 10.1007/978-3-662-02781-3_42 . ISBN 978-3-642-08154-5 .

[J._Sakurai_1994-7] Дж. Дж. Сакураи: «Современная квантовая механика» (Массачусетс, 1994, Аддисон-Уэсли).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]