Преобразование Адамара

«Преобразование Уолша» перенаправляется сюда. Не путать с матрицей Уолша .

Произведением спектр и булевой функции матрицы Адамара является ее Уолша :
(1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0) × H(8) = (4, 2, 0, −2, 0, 2, 0, 2)

Быстрое преобразование Уолша–Адамара — более быстрый способ вычисления спектра Уолша (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0).

Исходную функцию можно выразить через ее спектр Уолша в виде арифметического многочлена.

Преобразование Адамара (также известное как преобразование Уолша-Адамара , преобразование Адамара-Радемахера-Уолша , преобразование Уолша или преобразование Уолша-Фурье ) является примером обобщенного класса преобразований Фурье . Он выполняет ортогональную , симметричную , инволютивную , линейную операцию над 2 ^м действительные числа (или комплексные , или гиперкомплексные числа , хотя сами матрицы Адамара чисто вещественные).

Преобразование Адамара можно рассматривать как построенное на основе дискретных преобразований Фурье (ДПФ) размера 2 и фактически эквивалентно многомерному ДПФ размера 2 × 2 × ⋯ × 2 × 2 . Он разлагает произвольный входной вектор в суперпозицию функций Уолша .

Преобразование названо в честь французского математика Жака Адамара ( Французский: [adamaʁ] ), немецко-американский математик Ганс Радемахер и американский математик Джозеф Л. Уолш .

Определение

Преобразование Адамара H _m представляет собой 2 ^м  × 2 ^м матрица Адамара (масштабированная с помощью коэффициента нормализации), которая преобразует 2 ^м действительные числа x _n в 2 ^м действительные числа X _k . Преобразование Адамара можно определить двумя способами: рекурсивно или с помощью двоичного ( по основанию -2) представления индексов n и k .

Рекурсивно мы определяем преобразование Адамара H ₀ 1 × 1 тождеством = 1 H ₀ , а затем определяем H _m для m > 0 следующим образом: $$H_{m}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}H_{m-1}&H_{m-1}\\H_{m-1}&-H_{m-1}\end{pmatrix}}$$ где 1/ √ 2 — нормализация, которую иногда опускают.

Для m > 1 мы также можем определить H _m следующим образом: $$H_{m}=H_{1}\otimes H_{m-1}$$ где $\otimes$ представляет продукт Кронекера . Таким образом, за исключением этого коэффициента нормализации, матрицы Адамара полностью состоят из 1 и -1.

Эквивалентно, мы можем определить матрицу Адамара по ее ( k , n )-й записи, написав $${\begin{aligned}k&=\sum _{i=0}^{m-1}{k_{i}2^{i}}=k_{m-1}2^{m-1}+k_{m-2}2^{m-2}+\dots +k_{1}2+k_{0}\\n&=\sum _{i=0}^{m-1}{n_{i}2^{i}}=n_{m-1}2^{m-1}+n_{m-2}2^{m-2}+\dots +n_{1}2+n_{0}\end{aligned}}$$

где k _j и n _j — битовые элементы (0 или 1) k и n соответственно. Обратите внимание, что для элемента в верхнем левом углу мы определяем: $k=n=0$. В этом случае мы имеем: $$(H_{m})_{k,n}={\frac {1}{2^{m/2}}}(-1)^{\sum _{j}k_{j}n_{j}}$$

Это именно многомерность ${\textstyle 2\times 2\times \cdots \times 2\times 2}$ ДПФ, нормализованный до унитарного , если входные и выходные данные рассматриваются как многомерные массивы, индексированные n _j и k _j соответственно.

Ниже приведены некоторые примеры матриц Адамара. $${\begin{aligned}H_{0}&=+{\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\\[5pt]H_{1}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right)\\[5pt]H_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\right)\\[5pt]H_{3}&={\frac {1}{2^{3/2}}}\left({\begin{array}{rrrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{array}}\right)\\[5pt](H_{n})_{i,j}&={\frac {1}{2^{n/2}}}(-1)^{i\cdot j}\end{aligned}}$$ где $i\cdot j$ — это побитовое скалярное произведение двоичных представлений чисел i и j. Например, если ${\textstyle n\;\geq \;2}$, затем $$(H_{n})_{3,2}\;=\;(-1)^{3\cdot 2}\;=\;(-1)^{(1,1)\cdot (1,0)}\;=\;(-1)^{1+0}\;=\;(-1)^{1}\;=\;-1$$согласившись с вышеизложенным (игнорируя общую константу). Обратите внимание, что первая строка и первый столбец матрицы обозначаются как ${\textstyle (H_{n})_{0,0}}$.

H ₁ — это именно ДПФ размера 2. Его также можно рассматривать как преобразование Фурье на двухэлементной аддитивной группе Z /(2).

Строки матриц Адамара являются функциями Уолша .

Преимущества преобразования Уолша – Адамара

Настоящий

Согласно приведенному выше определению матрицы H , здесь мы полагаем H = H [ m , n ] $$H[m,n]={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$$

При преобразовании Уолша в матрице появятся только 1 и -1. Числа 1 и -1 являются действительными числами, поэтому нет необходимости выполнять вычисление комплексных чисел .

Умножение не требуется

ДПФ требует иррационального умножения, а преобразование Адамара — нет. Даже рациональное умножение не требуется, поскольку достаточно просто поменять знак.

Некоторые свойства аналогичны свойствам ДПФ.

В матрице преобразования Уолша все записи в первой строке (и столбце) равны 1. $$H[m,n]=\left({\begin{array}{rrrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right)$$

Дискретное преобразование Фурье: $$e^{-j2\pi mn/N}$$

В дискретном преобразовании Фурье, когда m равно нулю (среднее значение первой строки), результат ДПФ также равен 1. Во второй строке, хотя она и отличается от первой строки, мы можем наблюдать характеристику матрицы, заключающуюся в том, что сигнал в первой необработанной матрице является низкочастотным, и он будет увеличивать частоту во второй строке, увеличивая частоту до последней строки.

Если мы вычислим пересечение нуля:

First row  = 0 zero crossing
Second row = 1 zero crossing
Third row  = 2 zero crossings
           ⋮
Eight row  = 7 zero crossings

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Адамара фактически эквивалентно многомерному ДПФ размером 2 × 2 × ⋯ × 2 × 2 .

Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать преобразование Адамара как преобразование Фурье булевой группы. $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$. Используя преобразование Фурье на конечных (абелевых) группах , преобразование Фурье функции $f\colon (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}\to \mathbb {C}$ это функция ${\widehat {f}}$ определяется $${\widehat {f}}(\chi )=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}f(a){\bar {\chi }}(a)$$ где $\chi$ является персонажем ​ $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$. Каждый персонаж имеет форму $\chi _{r}(a)=(-1)^{a\cdot r}$ для некоторых $r\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$, где умножение — это логическое скалярное произведение битовых строк, поэтому мы можем идентифицировать входные данные для ${\widehat {f}}$ с $r\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ ( двойственность Понтрягина ) и определим ${\widehat {f}}\colon (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}\to \mathbb {C}$ к $${\widehat {f}}(r)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}f(a)(-1)^{r\cdot a}$$

Это преобразование Адамара $f$, учитывая ввод в $f$ и ${\widehat {f}}$ как логические строки.

С точки зрения приведенной выше формулировки, где преобразование Адамара умножает вектор $2^{n}$ комплексные числа $v$ слева матрицей Адамара $H_{n}$ эквивалентность можно увидеть, взяв $f$ принять в качестве входных данных битовую строку, соответствующую индексу элемента $v$, и имея $f$ выведите соответствующий элемент $v$.

Сравните это с обычным дискретным преобразованием Фурье , которое при применении к вектору $v$ из $2^{n}$ вместо комплексных чисел используются символы циклической группы $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$.

Вычислительная сложность

В классической области преобразование Адамара можно вычислить за $n\log n$ операции ( $n=2^{m}$), используя алгоритм быстрого преобразования Адамара .

В квантовой области преобразование Адамара можно вычислить в $O(1)$ время, поскольку это квантовый логический элемент , который можно распараллелить .

Приложения квантовых вычислений

Преобразование Адамара широко используется в квантовых вычислениях . Преобразование Адамара 2 × 2 $H_{1}$ — это квантовый логический вентиль, известный как вентиль Адамара, и применение вентиля Адамара к каждому кубиту $n$Регистр -кубита параллельно эквивалентен преобразованию Адамара $H_{n}$.

Ворота Адамара

Дополнительная информация: Квантовые ворота § ворота Адамара.

В квантовых вычислениях вентиль Адамара представляет собой одного кубита вращение , отображающее состояния базиса кубита. $|0\rangle$ и $|1\rangle$ к двум состояниям суперпозиции с одинаковым весом вычислительного базиса состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Обычно фазы выбираются так, чтобы $$H={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 0|+{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 1|$$

в обозначениях Дирака . Это соответствует матрице преобразования $$H_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$$ в $|0\rangle ,|1\rangle$ базис, также известный как вычислительный базис . Штаты ${\textstyle {\frac {\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle }{\sqrt {2}}}}$ и ${\textstyle {\frac {\left|0\right\rangle -\left|1\right\rangle }{\sqrt {2}}}}$ известны как $\left|{\boldsymbol {+}}\right\rangle$ и $\left|{\boldsymbol {-}}\right\rangle$ соответственно, и вместе они составляют полярную основу квантовых вычислений .

Операции с воротами Адамара

$${\begin{aligned}H(|0\rangle )&={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =:|+\rangle \\H(|1\rangle )&={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =:|-\rangle \\H(|+\rangle )&=H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}+{\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|0\rangle \\H(|-\rangle )&=H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}-{\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|1\rangle \end{aligned}}$$

Одно применение вентиля Адамара к кубиту 0 или 1 создаст квантовое состояние, которое, если его наблюдать, будет 0 или 1 с равной вероятностью (как видно из первых двух операций). Это в точности похоже на подбрасывание честной монеты в стандартной вероятностной модели вычислений . Однако если вентиль Адамара применяется дважды подряд (что фактически и делается в последних двух операциях), то конечное состояние всегда будет таким же, как и начальное.

Преобразование Адамара в квантовых алгоритмах

Вычисление квантового преобразования Адамара — это просто применение вентиля Адамара к каждому кубиту индивидуально из-за тензорной структуры произведения преобразования Адамара. Этот простой результат означает, что квантовое преобразование Адамара требует $\log _{2}N$ операций по сравнению с классическим случаем $N\log _{2}N$ операции.

Для $n$-кубитная система, ворота Адамара, действующие на каждый из $n$ кубиты (каждый инициализируется $|0\rangle$) можно использовать для приготовления однородных состояний квантовой суперпозиции когда $N$ имеет форму $N=2^{n}$. В этом случае случай с $n$ кубиты, комбинированный вентиль Адамара $H_{n}$ выражается как тензорное произведение $n$ Ворота Адамара: $H_{n}=\underbrace {H\otimes H\otimes \ldots \otimes H} _{n{\text{ times}}}$

В результате получается однородное состояние квантовой суперпозиции: $H_{n}|0\rangle ^{\otimes n}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{j=0}^{2^{n}-1}|j\rangle$ Это обобщает приготовление однородных квантовых состояний с использованием вентилей Адамара для любых $N=2^{n}$.

Измерение этого однородного квантового состояния приводит к случайному состоянию между $|0\rangle$ и $|N-1\rangle$.

Многие квантовые алгоритмы используют преобразование Адамара в качестве начального шага, поскольку, как объяснялось ранее, оно отображает n кубитов, инициализированных с помощью $|0\rangle$ к суперпозиции всех 2 ^н ортогональные состояния в $|0\rangle ,|1\rangle$ основе с одинаковым весом. Например, это используется в алгоритме Дойча-Йожсы , алгоритме Саймона , алгоритме Бернштейна-Вазирани и в алгоритме Гровера . Обратите внимание, что алгоритм Шора использует как исходное преобразование Адамара, так и квантовое преобразование Фурье , которые оба являются типами преобразований Фурье на конечных группах ; первый на $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ и второй на $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$.

Получение однородных состояний квантовой суперпозиции в общем случае, когда $N$ ≠ $2^{n}$ нетривиален и требует дополнительной работы. Эффективный и детерминированный подход к подготовке состояния суперпозиции. $$|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}|j\rangle$$ со сложностью вентиля и глубиной схемы всего $O(\log _{2}N)$ для всех $N$ был представлен недавно. Этот подход требует всего лишь $n=\lceil \log _{2}N\rceil$ кубиты. Важно отметить, что в этом подходе для создания однородного состояния суперпозиции не нужны ни вспомогательные кубиты, ни какие-либо квантовые вентили с несколькими элементами управления. $|\Psi \rangle$.

Приложения молекулярной филогенетики (эволюционной биологии)

Преобразование Адамара можно использовать для оценки филогенетических деревьев на основе молекулярных данных. Филогенетика — это раздел эволюционной биологии, направленный на понимание взаимоотношений между организмами. Преобразование Адамара, примененное к вектору (или матрице) частот шаблонов сайтов, полученному в результате выравнивания множественных последовательностей ДНК , может использоваться для создания другого вектора, несущего информацию о топологии дерева. Обратимая природа филогенетического преобразования Адамара также позволяет рассчитывать вероятности сайтов на основе вектора топологии дерева, что позволяет использовать преобразование Адамара для оценки максимального правдоподобия филогенетических деревьев. Однако последнее применение менее полезно, чем преобразование вектора шаблона сайта в вектор дерева, поскольку существуют другие способы расчета вероятности сайта. это гораздо эффективнее. Однако обратимая природа филогенетического преобразования Адамара действительно предоставляет элегантный инструмент для математической филогенетики.

Механика филогенетического преобразования Адамара предполагает вычисление вектора $\gamma (T)$ который предоставляет информацию о топологии и длине ветвей дерева. $T$ использование вектора или матрицы шаблона сайта $s(T)$.

$$\gamma (T)=H^{-1}(\ln(Hs(T)))$$ где $H$ – матрица Адамара соответствующего размера. Это уравнение можно переписать в виде серии из трех уравнений, чтобы упростить его интерпретацию:

$${\begin{aligned}r&=Hs(T)\\\rho &=\ln r\\\gamma (T)&=H^{-1}\rho \end{aligned}}$$

Обратимый характер этого уравнения позволяет рассчитать ожидаемый вектор (или матрицу) шаблона сайта следующим образом:

$$s(T)=H^{-1}(\exp(H\gamma (T)))$$

Кавендера-Фарриса- Неймана двух состояний Мы можем использовать модель замещения (CFN) для ДНК, кодируя нуклеотиды как бинарные символы ( пурины A и G кодируются как R, а пиримидины C и T кодируются как Y). Это позволяет кодировать множественное выравнивание последовательностей как вектор шаблона сайта. $s(T)$ который можно преобразовать в вектор дерева $\gamma (T)$, как показано в следующем примере:

Пример, показывающий преобразование Адамара для определенного дерева (значения для рабочего примера адаптированы из Waddell et al. 1997). )

Индекс	Бинарный шаблон	Шаблоны выравнивания	$\gamma (T)$	$\rho =H^{-1}\gamma (T)$	$r=\exp(\rho )$	$s(T)=H^{-1}\rho$
0	0000	РРРР и ГГГГ	−0.475	0	1	0.6479
1	0001	РРРР и ГГГР	0.2	−0.5	0.6065	0.1283
2	0010	РРРР и YYRY	0.025	−0.15	0.8607	0.02
3*	0011	РРИЙ и ГГРР	0.025	−0.45	0.6376	0.0226
4	0100	РРРР и ЙРЙГ	0.2	−0.45	0.6376	0.1283
5*	0101	РЮР и ЮРР	0	−0.85	0.4274	0.0258
6*	0110	РЮР и ЙРРИ	0	−0.5	0.6065	0.0070
7	0111	РГЙЙ и ЙРРР	0.025	−0.9	0.4066	0.02

В примере, показанном в этой таблице, используется упрощенная схема из трех уравнений, и это дерево из четырех таксонов, которое можно записать как ((A,B),(C,D)); в формате Ньюика . Шаблоны сайтов записываются в порядке ABCD. Это конкретное дерево имеет две длинные концевые ветви (0,2 трансверсионных замен на сайт), две короткие концевые ветви (0,025 трансверсионных замен на сайт) и короткую внутреннюю ветвь (0,025 трансверсионных замен на сайт); таким образом, это будет записано как ((A:0.025,B:0.2):0.025,(C:0.025,D:0.2)); в формате Ньюика. Это дерево будет демонстрировать привлекательность длинных ветвей , если данные анализируются с использованием критерия максимальной экономии (при условии, что анализируемая последовательность достаточно длинна, чтобы наблюдаемые частоты шаблонов сайтов были близки к ожидаемым частотам, показанным на рисунке). $s(T)=H^{-1}\rho$ столбец). Привлекательность длинных ветвей отражает тот факт, что ожидаемое количество шаблонов сайтов с индексом 6 -- которые поддерживают дерево ((A,C),(B,D)); -- превысить ожидаемое количество шаблонов сайтов, поддерживающих истинное дерево (индекс 4). Очевидно, что обратимая природа филогенетического преобразования Адамара означает, что вектор-дерево означает, что вектор-дерево $\gamma (T)$ соответствует правильному дереву. Таким образом, анализ экономии после преобразования является статистически последовательным . как и стандартный анализ максимального правдоподобия с использованием правильной модели (в данном случае модели CFN).

Обратите внимание, что шаблон сайтов с номером 0 соответствует сайтам, которые не изменились (после кодирования нуклеотидов как пурины или пиримидины). Индексы со звездочками (3, 5 и 6) являются «экономно-информативными». Остальные индексы представляют собой закономерности сайтов, в которых один таксон отличается от трех других таксонов (поэтому они эквивалентны длинам конечных ветвей в стандартном филогенетическом дереве максимального правдоподобия).

Если кто-то желает использовать нуклеотидные данные без перекодировки как R и Y (и, в конечном итоге, как 0 и 1), можно закодировать шаблоны сайтов в виде матрицы. Если мы рассмотрим дерево из четырех таксонов, то всего будет 256 шаблонов сайтов (четыре нуклеотида в 4-й степени). Однако симметрия трехпараметрической модели Кимуры (или K81) позволяет нам сократить 256 возможных шаблонов сайтов для ДНК до 64 шаблонов, что позволяет кодировать нуклеотидные данные для дерева с четырьмя таксонами в виде матрицы 8 × 8. аналогично вектору из 8 элементов, использованному выше для шаблонов сайтов трансверсии (RY). Это достигается путем перекодирования данных с использованием четырехгруппы Клейна :

Четыре группы Клейна, кодирующие филогенетическое преобразование Адамара

Нуклеотид 1	Нуклеотид 2	Нуклеотид 3	Нуклеотид 4
А (0,0)	Г (1,0)	С (0,1)	Т (1,1)
С (0,0)	Т (1,0)	А (0,1)	Г (1,1)
Г (0,0)	А (1,0)	Т (0,1)	С (1,1)
Т (0,0)	С (1,0)	Г (0,1)	А (1,1)

Как и в случае с данными RY, шаблоны сайтов индексируются относительно основы в произвольно выбранном первом таксоне, а основания в последующих таксонах кодируются относительно этой первой базы. Таким образом, первый таксон получает битовую пару (0,0). Используя эти пары бит, можно создать два вектора, аналогичные векторам RY, а затем заполнить матрицу, используя эти векторы. Это можно проиллюстрировать на примере Hendy et al. (1994), который основан на множественном выравнивании последовательностей четырех псевдогенов гемоглобина приматов:

Пример выравнивания кодируемой последовательности (из Hendy et al. 1994). ) (значения подсчитаны из 9879 сайтов)

	0	8	16	24	32	40	48	56
0	8988	9	10	12	24			90
1	41	9		**
2	45		13
3	54*			14				3
4	94				20
5			1
6	2				2
7	356		1		1			75

Гораздо большее количество шаблонов сайтов в столбце 0 отражает тот факт, что столбец 0 соответствует различиям перехода , которые накапливаются быстрее, чем различия трансверсии практически во всех сравнениях геномных областей (и определенно накапливаются быстрее в псевдогенах гемоглобина, использованных для этого рабочего примера). ). Если мы рассмотрим шаблон сайта AAGG, это будет двоичный шаблон 0000 для второго элемента битовой пары группы Клейна и 0011 для первого элемента. в этом случае двоичный шаблон на основе первого элемента соответствует индексу 3 (то есть строка 3 в столбце 0; обозначена в таблице одной звездочкой). Шаблоны сайтов GGAA, CCTT и TTCC будут закодированы точно таким же образом. Шаблон сайта AACT будет закодирован двоичным шаблоном 0011 на основе второго элемента и 0001 на основе первого элемента; это дает индекс 1 для первого элемента и индекс 3 для второго. Индекс, основанный на второй паре битов группы Клейна, умножается на 8, чтобы получить индекс столбца (в данном случае это будет столбец 24). Ячейка, которая будет включать в себя количество шаблонов сайтов AACT, обозначена двумя звездочками; однако отсутствие числа в примере указывает на то, что выравнивание последовательностей не включает шаблоны сайтов AACT (аналогично отсутствуют шаблоны сайтов CCAG, GGTC и TTGA, которые кодировались бы таким же образом).

Другие приложения

Преобразование Адамара также используется при шифровании данных , а также во многих обработки сигналов и сжатия данных алгоритмах , таких как JPEG XR и MPEG-4 AVC . В приложениях сжатия видео он обычно используется в виде суммы абсолютных преобразованных разностей . Это также важная часть значительного количества алгоритмов квантовых вычислений. Преобразование Адамара также применяется в экспериментальных методах, таких как ЯМР , масс-спектрометрия и кристаллография . Он дополнительно используется в некоторых версиях локально-зависимого хеширования для получения псевдослучайных поворотов матрицы.

См. также

• Быстрое преобразование Уолша – Адамара
• Псевдоадамарово преобразование
• Преображение волос
• Обобщенный распределительный закон

Внешние ссылки

• Риттер, Терри (август 1996 г.). «Преобразования Уолша – Адамара: обзор литературы» .
• Акансу , Али Н.; Полури, Р. (июль 2007 г.). «Нелинейные фазовые ортогональные коды типа Уолша для связи CDMA с прямой последовательностью» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 55 (7): 3800–6. Бибкод : 2007ITSP...55.3800A . дои : 10.1109/TSP.2007.894229 . S2CID   6830633 .
• Дженг-шян Пан, Метод шифрования данных с использованием дискретного дробного преобразования Адамара (28 мая 2009 г.)
• Лахович, доктор Павел. Преобразование Уолша – Адамара и тесты на случайность рядов финансовой доходности (7 апреля 2015 г.)
• Беддард, Годфри; Йорк, Брайони А. (январь 2011 г.). «Спектроскопия насос-зонд с использованием преобразований Адамара» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 октября 2014 г. Проверено 28 апреля 2012 г.
• Йорк, Брайони А.; Беддард, Годфри; Оуэн, Робин Л.; Пирсон, Арвен Р. (сентябрь 2014 г.). «Кристаллография с временным разрешением с использованием преобразования Адамара» . Природные методы . 11 (11): 1131–1134. дои : 10.1038/nmeth.3139 . ПМК   4216935 . ПМИД   25282611 .