Эффективная масса (система пружина-масса)

В реальной системе пружина-масса пружина . имеет немаловажную массу $m$ . Поскольку не вся длина пружины движется с одинаковой скоростью $v$ как взвешенная масса $M$ (например, точка, полностью противоположная массе $M$ , на другом конце пружины вообще не движется), ее энергия не равна кинетическая ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ . Как таковой, $m$ нельзя просто добавить к $M$ определить частоту колебаний и эффективную массу пружины, $m_{\mathrm {eff} }$ , определяется как масса, которую необходимо добавить к $M$ правильно предсказать поведение системы.

Равномерная пружина (однородная)

Эффективная масса пружины в системе пружина-масса при использовании тяжелой пружины (неидеальной) равномерной линейной плотности равна ${\frac {1}{3}}$ массы пружины и не зависит от направления системы пружина-масса (т. е. горизонтальная, вертикальная и наклонная системы имеют одинаковую эффективную массу). Это связано с тем, что внешнее ускорение не влияет на период движения вокруг точки равновесия.

Эффективную массу пружины можно определить, найдя ее кинетическую энергию. Для дифференциально-массового элемента пружины $\mathrm {d} m$ на позиции $s$ (фиктивная переменная) движется со скоростью $u(s)$ , его кинетическая энергия равна:

\mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}

Чтобы найти полную кинетическую энергию пружины, необходимо сложить кинетическую энергию всех элементов массы и получить следующий интеграл :

K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m

Если предположить однородное растяжение, то распределение массы пружины будет равномерным. $\mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s$ , где $y$ — длина пружины на момент измерения скорости. Следовательно,

K=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s

={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s

Скорость каждого элемента массы пружины прямо пропорциональна длине от места его крепления (если рядом с блоком, то скорость больше, а если рядом с потолком, то скорость меньше), т.е. $u(s)={\frac {s}{y}}v$ , откуда следует:

K={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s

={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s

={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left[{\frac {s^{3}}{3}}\right]_{0}^{y}

={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}

По сравнению с ожидаемой исходной кинетической энергии формулой ${\frac {1}{2}}mv^{2},$ эффективная масса пружины в этом случае равна ${\frac {m}{3}}$ . Этот результат известен как значение Рэлея , в честь лорда Рэлея .

Чтобы найти гравитационную потенциальную энергию пружины, нужно выполнить аналогичную процедуру:

U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs

=\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s

=mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s

=mg\,{\frac {1}{y}}\left[{\frac {s^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}

={\frac {m}{2}}gy

Используя этот результат, полную энергию системы можно записать через смещение $y$ из нерастянутого положения пружины (считая направление вверх положительным, игнорируя постоянные потенциальные члены и устанавливая начало потенциальной энергии в $y=0$ ):

E={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}+{\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+{\frac {1}{2}}mgy+Mgy

={\frac {1}{2}}\left(M+{\frac {m}{3}}\right)v^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\frac {m}{2}}\right)gy

Обратите внимание, что $g$ вот ускорение силы тяжести вдоль пружины. Дифференцируя уравнение по времени, уравнение движения имеет вид:

\left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g

Точка равновесия $y_{\mathrm {eq} }$ можно найти, приняв ускорение равным нулю:

y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}

Определение ${\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }$ , уравнение движения принимает вид:

\left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })

Это уравнение простого гармонического осциллятора с угловой частотой:

\omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}

Таким образом, она имеет меньшую угловую частоту, чем в идеальной пружине . Кроме того, его период определяется:

T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}

Это больше, чем идеальная весна. Обе формулы сводятся к идеальному случаю в пределе ${\frac {m}{M}}\to 0$ .

Таким образом, эффективная масса пружины, добавленная к массе груза, дает нам «эффективную общую массу» системы, которую необходимо использовать в стандартной формуле. $2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ определить период колебаний.

Наконец, решение проблемы начального значения :

\left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.

Дается:

y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}

Это простое гармоническое движение.

Общий случай

Как видно выше, эффективная масса пружины не зависит от «внешних» факторов, таких как ускорение силы тяжести вдоль нее. Фактически, для неоднородной тяжелой пружины эффективная масса зависит исключительно от ее линейной плотности. $\lambda (s)$ по длине:

K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m

=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s

=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s

={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}

Таким образом, эффективная масса пружины равна:

m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s

Этот результат также показывает, что $m_{\mathrm {eff} }\leqslant m$ , с $m_{\mathrm {eff} }=m$ происходит в случае нефизической пружины, масса которой расположена исключительно на конце, наиболее удаленном от опоры.

Можно рассмотреть три особых случая:

$\lambda (s)=0$ это идеализированный случай, когда пружина не имеет массы, и $m_{\mathrm {eff} }=m=0$ .
$\lambda (s)={\frac {m}{y}}$ - однородный случай (однородная пружина), когда в уравнении появляется значение Рэлея, т. е. $m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}$ .
$\lambda (s)=m\,\delta (s-y)$ , где $\delta (x)$ – дельта-функция Дирака , это крайний случай, когда вся масса расположена в $s=y$ , в результате чего $m_{\mathrm {eff} }=m$ .

Чтобы найти соответствующий лагранжиан, необходимо заранее найти потенциальную гравитационную энергию пружины:

U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s

=\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s

=\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y

Ввиду монотонности интеграла отсюда следует, что: $0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m$

С лагранжианом: ${\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y$

Настоящая весна

Приведенные выше расчеты предполагают, что коэффициент жесткости пружины не зависит от ее длины. Однако для настоящих источников это не так. Для небольших значений ${\frac {M}{m}}$ смещение не настолько велико, чтобы вызвать упругую деформацию . Фактически для ${\frac {M}{m}}\ll 1$ , эффективная масса $m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m$ . Дзюнъити Уэда и Ёсиро Садамото нашли ^[1] это как ${\frac {M}{m}}$ увеличивается за пределы $7$ , эффективная масса пружины в вертикальной системе пружина-масса становится меньше значения Рэлея ${\frac {m}{3}}$ и в конечном итоге достигает отрицательных значений примерно ${\frac {M}{m}}\approx 38$ . Такое неожиданное поведение эффективной массы можно объяснить с точки зрения упругого последействия (то есть пружина не возвращается к своей первоначальной длине после снятия нагрузки).

Сравнение с маятником

Рассмотрим дифференциальное уравнение маятника:

{\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0

Где $\omega _{0}$ – собственная частота колебаний (и угловая частота для малых колебаний). Параметр ${\omega _{0}}^{2}$ означает ${\frac {g}{\ell }}$ в идеальном маятнике и ${\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}$ в сложном маятнике, где $\ell$ длина маятника, $m$ - полная масса системы, $r_{\mathrm {CM} }$ это расстояние от точки поворота $O$ (точка, в которой подвешен маятник) до центра масс маятника, и $I_{O}$ — момент инерции системы относительно оси, проходящей через шарнир.

Рассмотрим систему, состоящую из однородного стержня, качающегося с одного конца и прикрепленного к другому концу. Позволять $\ell$ быть длиной стержня, $m_{\mathrm {rod} }$ масса стержня и $m_{\mathrm {bob} }$ масса боба, таким образом, линейная плотность определяется выражением $\lambda (s)=m_{\mathrm {bob} }\delta (s-\ell )+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{\ell }}$ , с $\delta (\cdot )$ Дельта-функция Дирака. Полная масса системы $m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }$ . Чтобы узнать $r_{\mathrm {CM} }$ нужно решить $(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}$ по определению центра масс (в общем случае это было бы интегральное уравнение, $\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,{\big (}s-r_{\mathrm {CM} })\;\mathrm {d} s=0$ , но в однородном случае это упрощается), решение которого дает выражение $r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}}\ell$ . Момент инерции системы представляет собой сумму двух моментов инерции: $I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}$ (еще раз в общем случае интегральное уравнение будет иметь вид $I_{O}=\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,s^{2}\;\mathrm {d} s$ ). Таким образом, выражение можно упростить:

${\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}$

Обратите внимание, что окончательное выражение не является функцией массы боба, $m_{\mathrm {bob} }$ , а масса стержня $m_{\mathrm {rod} }$ , но только от их соотношения, ${\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}$ . Также обратите внимание, что изначально она имеет ту же структуру, что и система пружина-масса: произведение идеального случая и поправки (со значением Рэлея). Обратите внимание, что для ${\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1$ , последний корректирующий член можно аппроксимировать следующим образом:

{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}-{\frac {1}{18}}\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}+\cdots

Давайте сравним оба результата:

Для пружинно-массовой системы:

{\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}

Для маятника:

{\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)} _{\text{Rest of the correction}}

См. также

Ссылки

^ Уэда, Дзюн-Ичи; Садамото, Ёсиро (1997). «Измерение эффективной массы винтовых пружин». Журнал Физического общества Японии . 66 (2): 367–368. Бибкод : 1997JPSJ...66..367U . дои : 10.1143/JPSJ.66.367 .

Внешние ссылки

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180. Архивировано 16 февраля 2012 г. в Wayback Machine.
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350 Архивировано 16 февраля 2012 г. в Wayback Machine.
https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-effective-mass-of-spring-40942.htm
http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
«Эффективная масса колеблющейся пружины» Ам. J. Phys., 38, 98 (1970)
«Эффективная масса колеблющейся пружины» Учитель физики, 45, 100 (2007)

[1] Уэда, Дзюн-Ичи; Садамото, Ёсиро (1997). «Измерение эффективной массы винтовых пружин». Журнал Физического общества Японии . 66 (2): 367–368. Бибкод : 1997JPSJ...66..367U . дои : 10.1143/JPSJ.66.367 .

[1]