Системная эквивалентность

В системных науках эквивалентность системы — это поведение параметра или компонента системы , аналогичное поведению параметра или компонента другой системы. Сходство означает, что математически параметры и компоненты будут неотличимы друг от друга. Эквивалентность может быть очень полезна для понимания того, как работают сложные системы .

Обзор [ править ]

Примерами эквивалентных систем являются первого и второго порядка (по независимой переменной ) поступательные , электрические , крутильные , жидкостные и калорические системы .

Эквивалентные системы можно использовать для замены больших и дорогих механических, тепловых и жидкостных систем на простые и более дешевые электрические системы. Затем можно проанализировать электрическую систему, чтобы убедиться, что динамика системы будет работать так, как задумано. Это предварительный недорогой способ для инженеров проверить, что их сложная система работает так, как они ожидают.

Это тестирование необходимо при проектировании новых сложных систем, состоящих из множества компонентов. Компании не хотят тратить миллионы долларов на систему, которая не работает так, как они ожидали. Используя эквивалентную системную технику, инженеры могут проверить и доказать предприятию, что система будет работать. Это снижает фактор риска, который бизнес берет на себя в проекте.

Ниже приведена таблица эквивалентных переменных для различных типов систем:

Тип системы	Переменная потока	Переменная усилия	Согласие	Индуктивность	Сопротивление
Механический	дх / дт	F = сила	весна ( к )	масса ( м )	демпфер ( в )
Электрический	я = текущий	V = voltage	емкость ( С )	индуктивность ( л )	сопротивление ( Р )
Термальный	q _h = скорость теплового потока	∆ T = изменение температуры	объект ( С )	индуктивность ( л ) ^[1]	проводимость и конвекция ( R )
Жидкость	q _m = массовый расход, q _v = объемный расход	p = давление, h = высота	танк ( С )	масса ( м )	клапан или отверстие ( R )

Переменная потока: перемещается по системе

Переменная усилия: приводит систему в действие

Соответствие: сохраняет энергию как потенциал

Индуктивность: сохраняет энергию в виде кинетической.

Сопротивление: рассеивает или использует энергию.

Эквиваленты, показанные в таблице, — не единственный способ образовать математические аналогии. На самом деле существует множество способов сделать это. Общим требованием для анализа является то, чтобы аналогия правильно моделировала накопление и поток энергии между энергетическими областями. Для этого эквиваленты должны быть совместимыми. Пара переменных, продуктом которых является мощность (или энергия ) в одном домене, должна быть эквивалентна паре переменных в другом домене, продуктом которых также является мощность (или энергия). Они называются степенными сопряженными переменными. Тепловые переменные, показанные на диаграмме, не являются степенными сопряженными и, следовательно, не соответствуют этому критерию. см . в механо-электрических аналогиях Более подробную информацию об этом . Даже указание степенных сопряженных переменных не приводит к уникальной аналогии, и используется как минимум три аналогии такого типа. Для однозначного определения аналогии необходим как минимум еще один критерий, например требование эквивалентности импеданса во всех областях, как это сделано в аналогия импеданса .

Примеры [ править ]

Механические системы: Сила $F=-kx=c{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

Электрические системы: Напряжение $V={\frac {Q}{C}}=R{\frac {dQ}{dt}}=L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}$

Все фундаментальные переменные этих систем имеют одинаковую функциональную форму.

Обсуждение [ править ]

Метод системной эквивалентности можно использовать для описания систем двух типов: «колебательных» систем (которые, таким образом, описываются — приближенно — гармоническими колебаниями) и «поступательных» систем (которые имеют дело с «потоками»). Они не являются взаимоисключающими; система может иметь черты обоих. Сходства также существуют; эти две системы часто можно анализировать методами Эйлера, Лагранжа и Гамильтона, так что в обоих случаях энергия квадратична в соответствующих степенях свободы, при условии, что они линейны.

Колебательные системы часто описываются каким-либо волновым уравнением (в частных производных) или уравнением осциллятора (обыкновенным дифференциальным уравнением). Более того, системы такого типа следуют аналогии с конденсатором или пружиной в том смысле, что доминирующей степенью свободы в энергии является обобщенное положение. Говоря более физическим языком, эти системы преимущественно характеризуются своей потенциальной энергией. Это часто работает для твердых тел или (линеаризованных) волновых систем, близких к равновесию.

С другой стороны, системы потока легче описать с помощью гидравлической аналогии или уравнения диффузии. Например, говорили, что закон Ома был основан на законе Фурье (а также на работах К.-Л. Навье). ^[2]^[3]^[4] Другие законы включают законы диффузии Фика и обобщенные задачи переноса. Самая важная идея — это поток или скорость передачи некоторой рассматриваемой важной физической величины (например, электрического или магнитного потока). В системах такого типа в энергии преобладает производная от обобщенного положения (обобщенной скорости). На языке физики в этих системах, как правило, преобладает кинетическая энергия. Теории поля, в частности электромагнетизма, во многом основаны на гидравлической аналогии.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Босворт, RCL (31 января 1948 г.). «Тепловая взаимная индуктивность». Природа . 161 (4083): 166–167. Бибкод : 1948Natur.161..166B . дои : 10.1038/161166a0 . S2CID 4098892 .
^ Г.С. Ом (1827). ( PDF Гальваническая цепь исследована математически ) ( на немецком языке). Берлин: Т.Х. Риман. Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2009 г.
^ Б. Пурпри, "Г.-С. Ом, теоретик непрерывного действия", Международный архив истории науки 45 (134) (1995), 30-56.
^ Т. Арчибальд, «Напряжение и потенциал от Ома до Кирхгофа», Centaurus 31 (2) (1988), 141–163.

Дальнейшее чтение [ править ]

Панос Дж. Анцаклис, Энтони Н. Мишель (2006), Линейные системы , 670 стр.
М. Ф. Каашук и Дж. Х. Ван Шуппен (1990), Реализация и моделирование в теории систем .
Кацухико Огата (2003), Системная динамика , Прентис Холл; 4 издание (30 июля 2003 г.), 784 стр.

Внешние ссылки [ править ]

Моделирование с использованием гидравлического аналога в качестве мысленной модели динамики системы первого порядка.
Системные аналогии , английский язык 22 — курс систем, Дартмутский колледж .

[1] Босворт, RCL (31 января 1948 г.). «Тепловая взаимная индуктивность». Природа . 161 (4083): 166–167. Бибкод : 1948Natur.161..166B . дои : 10.1038/161166a0 . S2CID 4098892 .

[2] Г.С. Ом (1827). ( PDF Гальваническая цепь исследована математически ) ( на немецком языке). Берлин: Т.Х. Риман. Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2009 г.

[3] Б. Пурпри, "Г.-С. Ом, теоретик непрерывного действия", Международный архив истории науки 45 (134) (1995), 30-56.

[4] Т. Арчибальд, «Напряжение и потенциал от Ома до Кирхгофа», Centaurus 31 (2) (1988), 141–163.

[1]

[2]

[3]

[4]