Евклидова группа
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
Группы Ли и алгебры Ли |
---|
В математике — евклидова группа это группа (евклидовых) изометрий евклидова пространства. ; то есть преобразования этого пространства, которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками (также называемые евклидовыми преобразованиями ). Группа зависит только от размерности n пространства и обычно обозначается E( n ) или ISO( n ) для неоднородной специальной ортогональной группы.
Евклидова группа E( n ) включает в себя перемещения , вращения и отражения все ; и произвольные конечные их комбинации. Евклидову группу можно рассматривать как группу симметрии самого пространства, и она содержит группу симметрий любой фигуры (подмножества) этого пространства.
Евклидова изометрия может быть прямой или косвенной , в зависимости от того, сохраняет ли она направленность фигур. Прямые евклидовы изометрии образуют подгруппу, специальную евклидову группу , часто обозначаемую SE( n ) и E + ( n ), элементы которого называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они включают в себя произвольные комбинации перемещений и вращений, но не отражения.
Эти группы являются одними из старейших и наиболее изученных, по крайней мере, в случаях измерений 2 и 3 – косвенно, задолго до того, как было изобретено понятие группы.
Обзор
[ редактировать ]Размерность
[ редактировать ]Число степеней свободы для E( n ) равно n ( n + 1)/2 , что дает 3 в случае n = 2 и 6 для n = 3 . Из них n можно отнести к доступной трансляционной симметрии , а остальные n ( n - 1)/2 — к вращательной симметрии .
Прямая и непрямая изометрия
[ редактировать ](т.е. изометрии, сохраняющие направленность киральных Прямые изометрии подмножеств) составляют подгруппу E( n ), называемую специальной евклидовой группой и обычно обозначаемую E + ( n ) или SE( n ). Они включают в себя переводы и вращения, а также их комбинации; включая трансформацию идентичности, но исключая любые отражения.
Изометрии, которые имеют обратную направленность, называются непрямыми , или противоположными . Для любой фиксированной косвенной изометрии R , такой как отражение относительно некоторой гиперплоскости, любая другая косвенная изометрия может быть получена путем композиции R с некоторой прямой изометрией. Следовательно, непрямые изометрии являются смежным классом E + ( n ), который можно обозначить E − ( н ). Отсюда следует, что подгруппа E + ( n ) имеет индекс 2 в E( n ).
Топология группы
[ редактировать ]Естественная топология евклидова пространства. подразумевает топологию евклидовой группы E( n ). А именно, последовательность f i изометрий ( ) сходится тогда и только тогда, когда для любой точки p из , последовательность точек p i сходится.
Из этого определения следует, что функция непрерывно тогда и только тогда, когда для любой точки p из , функция определенный как f p ( t ) = ( f ( t )) ( p ), является непрерывным. Такая функция называется «непрерывной траекторией» в E( n ).
Оказывается, специальная евклидова группа SE( n ) = E + ( n ) связен в этой топологии. То есть, учитывая любые две прямые A и B изометрии , существует непрерывная траектория f в E + ( n ) такой, что f (0) = A и f (1) = B . То же самое справедливо и для непрямых изометрий E − ( н ). С другой стороны, группа E( n ) в целом несвязна: не существует непрерывной траектории, начинающейся в E + ( n ) и заканчивается на E − ( н ).
Непрерывные траектории в E(3) играют важную роль в классической механике , поскольку описывают физически возможные движения твердого тела в трехмерном пространстве во времени. принимается f (0) тождественное преобразование I В качестве , описывающая начальное положение тела. Положение и ориентация тела в любой более поздний момент времени t будет описываться преобразованием f (t). Поскольку f (0) = I находится в E + (3), то же самое должно быть верно и для f ( t ) в любой более поздний момент. По этой причине прямые евклидовы изометрии также называют «жесткими движениями».
Структура лжи
[ редактировать ]Евклидовы группы — это не только топологические группы , они являются группами Ли , так что понятия исчисления могут быть немедленно адаптированы к этой ситуации.
Отношение к аффинной группе
[ редактировать ]Евклидова группа E( n ) является подгруппой аффинной группы для n измерений. Обе группы имеют структуру как полупрямой продукт группы евклидовых переводов с группой преобразований, сохраняющих начало координат, и эта структура продукта соблюдается включением евклидовой группы в аффинную группу. Это дает, тем более , два способа записи элементов в явной записи. Это:
- парой ( A , b ) , где A размера n × n — ортогональная матрица , а b — действительный вектор-столбец размера n ; или
- одной квадратной матрицей размера n +1 , как объяснено для аффинной группы .
Подробности первого представления приведены в следующем разделе.
В терминах Феликса Кляйна мы Эрлангенской программы исходим из этого, что евклидова геометрия , геометрия евклидовой группы симметрий, является, следовательно, специализацией аффинной геометрии . Все аффинные теоремы применимы. Происхождение евклидовой геометрии позволяет определить понятие расстояния , из которого угол затем можно вывести .
Подробное обсуждение
[ редактировать ]Структура подгрупп, матричное и векторное представление
[ редактировать ]Евклидова группа — подгруппа группы аффинных преобразований .
В качестве подгрупп он имеет трансляционную группу T( n ) и ортогональную группу O( n ). Любой элемент E( n ) представляет собой сдвиг, за которым следует ортогональное преобразование (линейная часть изометрии) уникальным образом: где A — ортогональная матрица
или то же ортогональное преобразование с последующим переводом: с c = Ab
T( n ) — нормальная подгруппа E( n перевода t и каждой изометрии u композиция ): для каждого это снова перевод.
В совокупности эти факты подразумевают, что E( n ) является полупрямым произведением O( n ), расширенным на T( n ), которое записывается как . Другими словами, O( n ) (естественным образом) также является факторгруппой E( n ) по T( n ):
Теперь SO( n ), специальная ортогональная группа , является подгруппой O( n ) индекса два. Следовательно, E( n ) имеет подгруппу E + ( n ), также индекса два, состоящий из прямых изометрий. В этих случаях определитель А равен 1.
Они представлены как перемещение с последующим вращением , а не как перемещение с последующим каким-либо отражением (в измерениях 2 и 3 это знакомые отражения в зеркальной линии или плоскости, которые можно принять за начало координат или в 3D — роторное отражение ).
Это соотношение обычно записывается как: или, что то же самое:
Подгруппы
[ редактировать ]Типы подгрупп E( n ):
- Конечные группы .
- У них всегда есть фиксированная точка. В 3D для каждой точки для каждой ориентации существуют две максимальные (относительно включения) среди конечных групп: Oh и I h . Группы I h даже максимальны среди групп, включающих следующую категорию.
- Счётно бесконечные группы без сколь угодно малых сдвигов, вращений или комбинаций.
- т. е. для каждой точки набор изображений под изометриями топологически дискретен (например, для 1 ≤ m ≤ n группа, порожденная m сдвигами в независимых направлениях, и, возможно, конечная точечная группа). Сюда входят решетки . Более общими примерами являются дискретные пространственные группы .
- Счётно бесконечные группы со сколь угодно малыми сдвигами, вращениями или комбинациями.
- В этом случае существуют точки, для которых множество изображений относительно изометрий не замкнуто. Примерами таких групп являются в 1D группа, порожденная сдвигом 1 и одного из √ 2 , а в 2D группа, порожденная вращением вокруг начала координат на 1 радиан.
- Несчетные группы, в которых имеются точки, для которых множество изображений относительно изометрий не замкнуто.
- (например, в 2D все переводы в одном направлении и все переводы на рациональные расстояния в другом направлении).
- Несчетные группы, где для всех точек множество изображений относительно изометрий замкнуто.
- например:
- все прямые изометрии, которые сохраняют начало координат фиксированным или, в более общем смысле, некоторую точку (в 3D называемую группой вращения )
- все изометрии, которые сохраняют начало координат фиксированным или, в более общем смысле, некоторую точку ( ортогональную группу )
- все прямые изометрии E + ( н )
- вся евклидова группа E( n )
- одна из этих групп в m -мерном подпространстве в сочетании с дискретной группой изометрий в ортогональном ( n - m )-мерном пространстве.
- одна из этих групп в m -мерном подпространстве в сочетании с другой в ортогональном ( n - m )-мерном пространстве.
Примеры в 3D комбинаций:
- все вращения вокруг одной фиксированной оси
- то же самое в сочетании с отражением в плоскостях, проходящих через ось и/или плоскость, перпендикулярную оси
- то же самое в сочетании с дискретным перемещением вдоль оси или со всеми изометриями вдоль оси
- дискретная группа точек, группа фризов или группа обоев на плоскости в сочетании с любой группой симметрии в перпендикулярном направлении
- все изометрии, представляющие собой комбинацию вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси; как правило, это сочетается с k -кратными изометриями вращения вокруг одной оси ( k ≥ 1 ); множество изображений точки под изометриями представляет собой k - спираль ; кроме того, может иметь место 2-кратное вращение вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k -кратная спираль таких осей.
- для любой группы точек: группа всех изометрий, которые представляют собой комбинацию изометрии в группе точек и перевода; например, в случае группы, порожденной инверсией в начале координат: группа всех переводов и инверсий во всех точках; это обобщенная группа диэдра R 3 , Дыхание (R 3 ).
Обзор изометрий в трех измерениях
[ редактировать ]E(1), E(2) и E(3) можно разделить на следующие категории со степенями свободы :
Тип изометрии | Степени свободы | Сохраняет ориентацию? |
---|---|---|
Личность | 0 | Да |
Перевод | 1 | Да |
Отражение в точке | 1 | Нет |
Тип изометрии | Степени свободы | Сохраняет ориентацию? |
---|---|---|
Личность | 0 | Да |
Перевод | 2 | Да |
Вращение вокруг точки | 3 | Да |
Отражение в линии | 2 | Нет |
Скольжение отражения | 3 | Нет |
Тип изометрии | Степени свободы | Сохраняет ориентацию? |
---|---|---|
Личность | 0 | Да |
Перевод | 3 | Да |
Вращение вокруг оси | 5 | Да |
Смещение винта | 6 | Да |
Отражение в плоскости | 3 | Нет |
планирующего самолета Операция | 5 | Нет |
Неправильное вращение | 6 | Нет |
Инверсия в точке | 3 | Нет |
Теорема Шаля утверждает, что любой элемент E + (3) – смещение винта .
См. также 3D-изометрии, оставляющие начало координат фиксированным , пространственная группа , инволюция .
Коммутирующие изометрии
[ редактировать ]Для некоторых пар изометрий состав не зависит от порядка:
- два перевода
- два вращения или винта вокруг одной оси
- отражение относительно плоскости и перемещение в этой плоскости, вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, или отражение относительно перпендикулярной плоскости.
- скользящее отражение относительно плоскости и перемещение в этой плоскости
- инверсия в точке и любая изометрия, сохраняющая точку фиксированной
- вращение на 180° вокруг оси и отражение в плоскости, проходящей через эту ось
- вращение на 180° вокруг оси и вращение на 180° вокруг перпендикулярной оси (приводит к повороту на 180° вокруг оси, перпендикулярной обоим)
- два отражения ротора вокруг одной оси и относительно одной плоскости
- два скользящих отражения относительно одной плоскости
Классы сопряженности
[ редактировать ]Сдвиги на заданное расстояние в любом направлении образуют класс сопряженности ; группа перевода представляет собой объединение таковых для всех расстояний.
В 1D все отражения относятся к одному классу.
В 2D повороты на один и тот же угол в любом направлении относятся к одному и тому же классу. К этому же классу относятся скользящие отражения с переносом на то же расстояние.
В 3D:
- Инверсии по всем точкам относятся к одному классу.
- Повороты на один и тот же угол относятся к одному классу.
- Вращение вокруг оси в сочетании с перемещением вдоль этой оси относятся к одному и тому же классу, если угол одинаковый и расстояние перемещения одинаковое.
- Отражения в плоскости относятся к тому же классу
- Отражения в плоскости в сочетании с перемещением в этой плоскости на то же расстояние относятся к одному и тому же классу.
- К этому же классу относятся повороты вокруг оси на один и тот же угол, не равный 180°, в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси.
См. также
[ редактировать ]- Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве
- Изометрия евклидовой плоскости
- Группа Пуанкаре
- Координатные вращения и отражения
- Отражение через начало
- Плоскость вращения
Ссылки
[ редактировать ]- Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . стр. 136–164 . ISBN 978-0-387-98972-3 .
- Уильям Терстон . Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Принстонская математическая серия, 35. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1997. x+311 стр. ISBN 0-691-08304-5