Геометрическая алгебра на основе плоскостей

Элементы 3D-планового GA, который включает плоскости, линии и точки. Все элементы построены из отражений в плоскостях. Линии — это частный случай вращения.

Геометрическая алгебра на основе плоскостей — это применение алгебры Клиффорда для моделирования плоскостей, линий, точек и жестких преобразований . Обычно это делается с целью решения прикладных задач, связанных с этими элементами, их пересечениями , проекциями и углом друг к другу в трехмерном пространстве. Первоначально возникшая в результате исследований спиновых групп , он был разработан с учетом применения в робототехнике . С тех пор его стали применять в машинном обучении. динамика твердого тела, и информатика, особенно компьютерная графика . Обычно ее объединяют с операцией двойственности в систему, известную как «Проективная геометрическая алгебра», см. ниже.

Геометрическая алгебра, основанная на плоскостях, принимает плоские отражения в качестве основных элементов и конструирует из них все остальные преобразования и геометрические объекты. Формально: он отождествляет плоские отражения с элементами алгебры Клиффорда первого класса , то есть элементами, которые записаны с одним индексом, например « ${\boldsymbol {e}}_{1}$". За некоторыми редкими исключениями, описанными ниже, алгебра почти всегда Cl _3,0,1 ( R ) , что означает, что она имеет три элемента базового уровня 1, квадрат которых равен $1$ и один базисный элемент, квадрат которого равен $0$.

Плоский ГА включает в себя кватернионные и осевые угловые представления вращения своих роторов и бивекторов соответственно.

ГА на основе плоскостей включает в себя большое количество алгебраических конструкций, применяемых в технике, включая по оси и углу представление вращения , кватернионные и двойственные кватернионные представления вращений и перемещений, плюкеровское представление линий , точечное нормальное представление плоскостей и однородное представление точек. Двойные кватернионы затем позволяют «винт, поворот и гаечный ключ» . построить модель классической механики

Подход к геометрии, основанный на плоскости, можно противопоставить подходу, использующему векторное произведение , в котором точки, перемещения, оси вращения и нормали к плоскости моделируются как «векторы». Однако из-за этого использование векторов в сложных инженерных задачах часто требует тонких различий между различными видами векторов, включая векторы Гиббса , псевдовекторы и контравариантные векторы . Последние из этих двух, в плоскостном ГА, соответствуют понятиям «ось вращения» и «точка», причем различие между ними проясняется обозначениями: оси вращения, такие как ${\boldsymbol {e}}_{13}$ (два нижних индекса) всегда обозначаются иначе, чем такие точки, как ${\boldsymbol {e}}_{123}$ (три нижних индекса).

Все объекты, рассматриваемые ниже, по-прежнему являются «векторами» в том смысле, что они являются элементами векторных пространств ; однако они (как правило) не являются векторами в том смысле, что можно было бы осмысленно взять их векторное произведение, поэтому визуализировать их в виде стрелок неинформативно. Поэтому, чтобы избежать конфликта по поводу различных алгебраических и визуальных коннотаций, исходящих от слова «вектор», в этой статье избегается его использование.

Строительство

В GA на основе плоскостей элементы класса 1 представляют собой плоскости и могут использоваться для выполнения плоских отражений; Элементы класса 2 представляют собой линии и могут использоваться для создания «линейных отражений»; Элементы класса 3 являются точками и могут использоваться для выполнения «точечных отражений». Вращения и перемещения состоят из этих элементов; Линейные отражения, в частности, — это то же самое, что поворот на 180 градусов.

Геометрическая алгебра, основанная на плоскостях, начинается с плоскостей, а затем строит линии и точки, пересекая плоскости . Его каноническим базисом является плоскость такая, что $x=0$, который помечен ${\boldsymbol {e}}_{1}$, $y=0$, который помечен ${\boldsymbol {e}}_{2}$и $z=0$ самолет, ${\boldsymbol {e}}_{3}$.

Другие плоскости могут быть получены как взвешенные суммы базисных плоскостей. например, ${\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3}$ будет плоскостью посередине между плоскостями y и z. В общем, объединение двух геометрических объектов в плоскостном GA всегда будет представлять собой их средневзвешенное значение — объединение точек даст точку между ними, равно как и объединение линий и даже вращений.

Операция, столь же фундаментальная, как и сложение, — это геометрическое произведение . Например:

${\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{23}={\boldsymbol {e}}_{123}$

Здесь мы берем ${\boldsymbol {e}}_{1}$, которое представляет собой плоское отражение в $x=0$ самолет, и ${\boldsymbol {e}}_{23}$, что представляет собой поворот на 180 градусов вокруг оси X. Их геометрическое произведение ${\boldsymbol {e}}_{123}$, которое является точечным отражением в начале координат, поскольку это преобразование, возникающее в результате поворота на 180 градусов, за которым следует плоское отражение в плоскости, ортогональной оси вращения.

Для любой пары элементов ${\textstyle A}$ и $B$, их геометрическое произведение ${\textstyle A}$$B$ это трансформация $B$ с последующим преобразованием ${\textstyle A}$. преобразования Обратите внимание, что композиция является не преобразования применением ; например ${\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{23}$ это не " ${\boldsymbol {e}}_{23}$ преобразованный ${\boldsymbol {e}}_{1}$", вместо этого это преобразование ${\boldsymbol {e}}_{23}$ с последующим преобразованием ${\boldsymbol {e}}_{1}$. Приложение Transform реализовано с помощью сэндвич-продукта , см. ниже.

Эту геометрическую интерпретацию обычно сочетают со следующим утверждением:

${\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}=1\qquad {\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}=1\qquad {\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}=1\qquad {\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$

Геометрическая интерпретация первых трех определяющих уравнений такова: если мы дважды выполним одно и то же плоское отражение, мы вернемся к тому, с чего начали; например, любой элемент класса 1 (плоскость), умноженный сам на себя, дает тождественную функцию : " $1$". Заявление о том, что ${\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$ является более тонким.

Плоский ГА включает в себя элементы «на бесконечности». Звезда на ночном небе — это интуитивный пример «точки бесконечности» в том смысле, что она определяет какое-то направление, но на практике ее невозможно достичь. Млечный путь образует на небе туманную полосу звезд; в некотором смысле он ведет себя как «бесконечная линия». Само небо представляет собой «плоскость в бесконечности».

Элементы на бесконечности

Алгебраический элемент ${\boldsymbol {e}}_{0}$ представляет собой плоскость, находящуюся в бесконечности . Он ведет себя иначе, чем любой другой план: интуитивно к нему можно «приблизиться, но никогда не достичь». В 3-х измерениях, ${\boldsymbol {e}}_{0}$ можно представить как небо. В нем лежат точки, называемые « точками схода », или, альтернативно, «идеальными точками», или «точками на бесконечности». В таких точках встречаются параллельные линии, такие как металлические рельсы на железнодорожной линии.

Линии на бесконечности также существуют; линия горизонта является примером такой линии. Для наблюдателя, стоящего на плоскости, все плоскости, параллельные плоскости, на которой он стоит, встречаются на линии горизонта. Алгебраически, если мы возьмем ${\boldsymbol {e}}_{2}$ быть землей, тогда ${\boldsymbol {e}}_{2}+5{\boldsymbol {e}}_{0}$ будет плоскостью, параллельной земле (смещенной на 5 метров от нее). Эти две параллельные плоскости встречаются на бесконечной линии. ${\boldsymbol {e}}_{02}$.

Большинство строк, например ${\boldsymbol {e}}_{23}$, могут выступать в качестве осей вращения ; на самом деле их можно рассматривать как воображаемые кватернионы . Но линии, лежащие в плоскости на бесконечности ${\boldsymbol {e}}_{0}$, например, линия ${\boldsymbol {e}}_{30}$, не могут выступать в качестве осей для «вращения». Вместо этого это оси для сдвигов, и вместо того, чтобы иметь алгебру, напоминающую комплексные числа или кватернионы, их алгебраическое поведение такое же, как и у двойственных чисел , поскольку они приводят в квадрат 0. Объединение трех базисных линий через начало координат ${\boldsymbol {e}}_{23}$, ${\boldsymbol {e}}_{13}$, ${\boldsymbol {e}}_{12}$, какой квадрат $-1$, с тремя базисными линиями на бесконечности ${\boldsymbol {e}}_{10}$, ${\boldsymbol {e}}_{20}$, ${\boldsymbol {e}}_{30}$ дает необходимые элементы для ( Плюкера ) координат линий.

Вывод других операций из геометрического произведения

Оранжевые объекты здесь проецируются на зеленые объекты, чтобы получить темно-серые объекты, используя единую формулу проецирования (a·b)b⁻¹. Поскольку PGA включает в себя точки, линии и плоскости, сюда входит проецирование плоскостей на точки, точек на плоскости, линий на плоскости и т. д.

Есть несколько полезных продуктов, которые можно извлечь из геометрического произведения, аналогично тому, как скалярное произведение и перекрестное произведение были извлечены из кватернионного произведения . К ним относятся:

1. Преобразование из $A$ к $B$ является $B{\tilde {A}}$, с $A$ и $B$ снова являясь точками, линиями или плоскостями; здесь, ${\tilde {A}}$ является обратным (по сути обратным). Преобразование будет в два раза больше угла или расстояния между $A$ и $B$; если требуется преобразование по точному расстоянию или углу, его можно получить с помощью двойной кватернионной экспоненты и логарифма.
2. Мясо (или « клиновой продукт») $\wedge$, что полезно для получения пересечений объектов; например, пересечение плоскости $P$ с линией $L$ в этом суть $P\wedge L$.
3. Внутренний ​ продукт $\cdot$, что полезно для проекций объектов на другие объекты; проекция $A$ на $B$ является $(A\cdot B){\tilde {B}}$ – эта формула справедлива независимо от того, являются ли объекты точками, линиями или плоскостями.
4. Норма ​ ​ $A$ является ${\sqrt {A{\tilde {A}}}}$ и обозначается $\lVert A\rVert$. Его можно использовать для определения углов между большинством объектов: угол между $A$ и $B$, будь то линии или плоскости, $\arccos(\lVert A\cdot B\rVert )$. Это предполагает, что $A$ и $B$ у обоих норма $1$, например $\lVert A\rVert =\lVert B\rVert =1$. Таким образом, можно видеть, что внутренний продукт является обобщением скалярного произведения .
5. Применение любого жесткого преобразования (двойного кватерниона) или отражения ${\textstyle T}$ к любому объекту, включая точки, линии, плоскости и другие жесткие преобразования, ${\textstyle TA{\tilde {T}}}$, где ${\textstyle A}$ является объектом, подлежащим преобразованию; это «сэндвич-продукт».
6. Коммутаторный продукт $\times$, определяемый как ${\textstyle {\frac {1}{2}}(AB-BA)}$. Это обобщение скобки Лия : если ${\textstyle A}$ представляет собой логарифм преобразования, которому подвергается $B$, мы имеем производную от $B$ относительно времени является ${\textstyle A}$$\times$$B$. Также бывает, что для строк $A$ и $B$ у нас есть это ${\textstyle A}$$\times$$B$ — это единственная линия, ортогональная обоим.

Например, вспомните, что ${\boldsymbol {e}}_{1}$ это самолет, как и ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$. Их геометрический продукт – это «композиция отражений» – отражение в ${\boldsymbol {e}}_{1}$ с последующим отражением в ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$, что приводит к двойственному кватерниону $1+{\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$. Но это может быть больше, чем хотелось бы; если мы хотим взять только линию пересечения двух плоскостей, нам просто нужно посмотреть только на «часть 2-го уровня» этого результата, например, на часть с двумя нижними индексами. ${\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$. Информация, необходимая для указания того, что линия пересечения содержится внутри композиции преобразования двух плоскостей, поскольку отражение в паре плоскостей приведет к вращению вокруг их линии пересечения.

Интерпретация как алгебра отражений

Центром изображения является точка, выполняющая точечное отражение от тетраэдра. В трехмерном ГА на основе плоскостей указываются 3-отражения. Алгебраически это означает, что они относятся к 3-му классу, но их геометрическая интерпретация сильно отличается от обычной геометрической интерпретации «тривектора» как «ориентированного элемента объема».

Алгебра всех сохраняющих расстояние преобразований (по сути, жестких преобразований и отражений) в 3D называется Евклидовой группой , $E(3)$. По теореме Картана–Дьедонне любой ее элемент можно записать как серию отражений в плоскостях.

В ГА на основе плоскостей практически все геометрические объекты можно рассматривать как трансформацию. Самолеты, такие как ${\boldsymbol {e}}_{1}$ являются плоскими отражениями, такими точками, как ${\boldsymbol {e}}_{123}$ являются точечными отражениями , а такие линии, как ${\boldsymbol {e}}_{12}$ представляют собой отражения линий, которые в 3D аналогичны повороту на 180 градусов. Идентификационное преобразование — это уникальный объект, созданный из нулевых отражений. Все это являются элементами $E(3)$.

Некоторые элементы $E(3)$, например, повороты на любой угол, отличный от 180 градусов, не имеют ни одного конкретного геометрического объекта, который используется для их визуализации; тем не менее, их всегда можно рассматривать как состоящие из отражений, и их всегда можно представить как линейную комбинацию некоторых элементов объектов в геометрической алгебре на основе плоскостей. Например, $0.8+0.6{\boldsymbol {e}}_{12}$ представляет собой небольшое вращение вокруг ${\boldsymbol {e}}_{12}$ ось, и ее можно записать как геометрическое произведение (композицию преобразований) ${\boldsymbol {e}}_{1}$ и $0.8{\boldsymbol {e}}_{1}+0.6{\boldsymbol {e}}_{2}$, оба из которых являются плоскими отражениями, пересекающимися на линии ${\boldsymbol {e}}_{12}$.

Фактически любое вращение можно записать как композицию двух плоских отражений, проходящих через его ось; таким образом, его можно назвать 2-отражением . Роторные отражения , скользящие отражения и точечные отражения также всегда могут быть записаны как композиции трех плоских отражений и поэтому называются трех-отражениями. Верхним пределом этого для 3D является винтовое движение , которое представляет собой 4-отражение. По этой причине при рассмотрении винтовых движений необходимо использовать элемент 4-го класса трехмерного ГА на основе плоскости, ${\boldsymbol {e}}_{0123}$, который является элементом высшего качества.

Геометрическая интерпретация геометрического произведения как «нейтрализация» отражений.

Если рассматривать их как комбинацию отражений, вращений и перемещений, оба имеют одну калибровочную степень свободы. Желтый куб — ​​отражение черного куба; зеленый куб является отражением желтого куба. Но в то время как желтый куб меняется по мере изменения плоскостей, окончательный зеленый куб останется неизменным, в то время как плоскости отражения имеют одинаковый угол/расстояние и пересекаются по одной и той же линии (которая может быть линией, находящейся в бесконечности).

Отражение в плоскости, за которым следует отражение в той же плоскости, не приводит к изменению. Алгебраическая интерпретация этой геометрии состоит в том, что элементы первого класса, такие как ${\boldsymbol {e}}_{1}$ квадрат к 1 . Этот простой факт можно использовать, чтобы дать геометрическую интерпретацию общего поведения геометрического продукта как устройства, которое решает геометрические задачи путем «отмены зеркал».

Чтобы привести пример полезности этого, предположим, что мы хотим найти плоскость, ортогональную определенной линии L в 3D и проходящую через определенную точку P . L — 2-отражение и $P$ является 3-отражением, поэтому их геометрическое произведение PL в некотором смысле дает 5-отражение; однако, как на рисунке ниже, два из этих отражений гасятся, оставляя 3-отражение (иногда известное как роторное отражение ). В обозначениях геометрической алгебры, основанной на плоскостях, это роторное отражение можно рассматривать как плоское отражение, «добавленное» к точечному отражению. ортогональная линии L и исходной точке P. Плоская часть этого роторного отражения — это плоскость , Аналогичную процедуру можно использовать для нахождения линии, ортогональной плоскости и проходящей через точку, или пересечения прямой и плоскости, или линии пересечения плоскости с другой плоскостью.

Преобразование в 2D, которое превращает синий треугольник в красный треугольник, упрощенное с помощью «калибровки». Полная трансформация состояла из четырех отражений. Две линии отражения, измеренные так, чтобы они совпадали, можно «отменить».

Вращения и переводы как четная подалгебра

Вращения и перемещения — это преобразования, которые сохраняют расстояния и направленность ( хиральность ), например, когда они применяются к наборам объектов, относительные расстояния между этими объектами не изменяются; не делает этого и их леворукость, то есть перчатка для правой руки не превратится в перчатку для левой руки. Все преобразования в трехмерной евклидовой геометрической алгебре, основанной на плоскости, сохраняют расстояния, но отражения, роторные отражения и трансфлексии не сохраняют направленность.

Вращения и перемещения сохраняют направленность, что в ГА на основе 3D-плоскости означает, что их можно записать как композицию четного числа отражений. Вращение можно рассматривать как отражение в плоскости, за которым следует отражение в другой плоскости, которая не параллельна первой ( кватернионы , которые задаются в контексте PGA выше). Если бы плоскости были параллельны, составление их отражений дало бы перевод.

Вращение и перемещение являются частными случаями винтовых движений , например, вращение вокруг линии в пространстве, за которым следует перемещение, направленное вдоль той же линии. Эту группу обычно называют SE(3) — группой специальных (сохраняющих руку) евклидовых (сохраняющих расстояние) преобразований в трех измерениях. В этой группе есть два часто используемых представления, которые позволяют использовать их в алгебре и вычислениях: одно — это матрицы действительных чисел 4 × 4, а другое — двойные кватернионы . Представление двойного кватерниона (как и обычные кватернионы) на самом деле является двойным покрытием SE(3). Поскольку двойственные кватернионы замкнуты при умножении и сложении и состоят из четного числа базисных элементов, они называются четной подалгеброй трехмерной евклидовой (основанной на плоскости) геометрической алгебры. слово « спинор ». Для описания этой подалгебры иногда используется

Описание жестких преобразований с помощью плоскостей было основной целью работы Камиля Джордана . и Мишель Шасль поскольку это позволяет лечению быть независимым от размерности.

Обобщения

Плоские отражения — это частный случай сферической инверсии , двумерная версия которой представляет собой инверсию круга, изображенную здесь.

Инверсивная геометрия

Инверсивная геометрия — это изучение геометрических объектов и поведения, возникающих в результате инверсии кругов и сфер . Отражения в плоскостях — это частный случай инверсий в сферах, поскольку плоскость — это сфера бесконечного радиуса. Поскольку геометрическая алгебра на основе плоскостей порождается композицией отражений, это частный случай инверсной геометрии. Сама инверсная геометрия может быть выполнена с помощью более крупной системы, известной как конформная геометрическая алгебра которой является GA на основе плоскостей (CGA), подалгеброй .

CGA также обычно применяется к трехмерному пространству и способен моделировать общие сферы, круги и конформные (сохраняющие угол) преобразования, которые включают преобразования, наблюдаемые на диске Пуанкаре . Может быть трудно увидеть связь между PGA и CGA, поскольку CGA часто является «точечным», хотя некоторые авторы придерживаются плоскостного подхода к CGA. что делает обозначения для Plan-based GA и CGA идентичными.

Проективная геометрическая алгебра

Точки P и Q определяют линию g ; это можно записать как P ∨ Q = g , где ∨ является регрессивным произведением проективной геометрической алгебры, системы, которая включает в себя геометрическую алгебру на основе плоскостей.

Геометрическая алгебра, основанная на плоскостях, способна представлять все евклидовы преобразования, но на практике она почти всегда сочетается с двойной операцией для создания более крупной системы, известной как «Проективная геометрическая алгебра», PGA. какой-либо Двойственность, как и в других алгебрах Клиффорда и Грассмана , позволяет определить регрессивное произведение . Это чрезвычайно полезно для инженерных приложений — в ГА на основе плоскостей регрессивное произведение может соединять точку с другой точкой, чтобы получить линию, а также может соединять точку и линию, чтобы получить плоскость. Оно имеет то дополнительное удобство, что если любые два элемента (точки, прямые или плоскости) имеют норму (см. выше), равную $1$, норма их регрессивного произведения равна расстоянию между ними. Соединение нескольких точек также известно как их аффинная оболочка .

Варианты двойственности и терминология

У разных авторов существуют разногласия относительно точного определения двойственности, которое используется для определения регрессивного произведения в PGA. Независимо от того, какое определение дано, регрессивное произведение дает полностью идентичные результаты; по этой причине точное обсуждение дуального обычно не включается во вводный материал по проективной геометрической алгебре. Существуют существенные концептуальные и философские различия:

1. связывает Двойственный Ходжу элементы геометрической алгебры, основанной на плоскостях , с другими элементами геометрической алгебры, основанной на плоскостях (например, другими евклидовыми преобразованиями); например, двойственное Ходжу плоское отражение является точечным отражением. Первоначально PGA был определен с использованием двойника Ходжа.
2. Проективный тот случай , двойник также отображает плоскости в точки, но это не когда обе точки являются отражениями; вместо этого проективный дуализм переключается между пространством, в котором действует геометрическая алгебра на основе плоскостей, и другим, неевклидовым пространством, см. дуальное пространство . Например, плоскости в геометрической алгебре, основанной на плоскостях, которые выполняют плоские отражения, сопоставляются с точками в дуальном пространстве, которые участвуют в коллинеациях . Различные авторы назвали плоскостную часть ГА ПГА «евклидовым пространством». и «Антикосмос». Эта форма двойственности в сочетании с тем фактом, что геометрические объекты представлены однородно (это означает, что умножение на скаляры не меняет их), является причиной того, что система известна как «проективная» геометрическая алгебра (хотя она и не содержит полной проективная группа, в отличие от конформной геометрической алгебры, которая содержит полную конформную группу).
3. В качестве альтернативы можно использовать конформную геометрическую алгебру (поскольку GA на основе плоскости является подалгеброй CGA), но определение регрессивного продукта PGA внутри нее затруднено тем фактом, что CGA имеет свой собственный регрессивный продукт, который является другим продуктом. В общих чертах, потому что соединение трех точек в CGA представляет собой круг , а в PGA — плоскость. Другая проблема заключается в том, что «точки» PGA имеют принципиально иное алгебраическое представление, чем точки CGA; для сравнения двух алгебр точки PGA должны распознаваться как пары точек CGA , где пара имеет одну точку на бесконечности. Чтобы обойти эту проблему, некоторые авторы определяют описанную выше проективную двойственность в CGA как обмен внутри нее двумя разными PGA-изоморфными подалгебрами.

Проективная геометрическая алгебра неевклидовых геометрий и классические группы Ли в трех измерениях

В первом приближении физический мир евклидов, т.е. большинство преобразований являются жесткими ; Поэтому проективная геометрическая алгебра обычно основана на Cl _3,0,1 ( R ) , поскольку в этой алгебре можно моделировать жесткие преобразования. Однако можно моделировать и другие пространства, слегка меняя алгебру.

Геометрическое пространство	Группа трансформации	Видимые квадраты «плоскости на бесконечности»	Имена подгрупп, сохраняющих рукость (даже подалгебр)	Примечания
евклидов	Вывод(3, 0, 1) Cl 3,0,1 ( Р )	0	Двойные кватернионы ; Спин(3, 0, 1) ; двойная оболочка жестких преобразований	Наиболее важно для инженерных приложений, поскольку преобразования являются жесткими; также наиболее «интуитивно понятен» для человека
Эллиптический	Вывод(4, 0, 0) Cl 4,0,0 ( Р )	1	Сплит-бикватернионы ; Спин(4, 0, 0) ; двойное покрытие 4D вращений	Также известна как «сферическая геометрия». Аналог Cl 3,0,0 ( R ) ; предоставляет модель проекции карты мира Gnonomic . Включает двойственность Пуанкаре .
гиперболический	Вывод(3, 1, 0) Cl 3,1,0 ( Р )	−1	Комплексный кватернион ; Спин(3, 1, 0) ; двойная обложка группы Лоренца	Также известна как «геометрия седла». Группа может выполнять вращения и ускорения пространства-времени , иначе говоря, ускорения. (2,1,0) эквивалентно модели диска Клейна двумерной гиперболической геометрии .

GA на основе плоскости обычно обрабатывает (3D-версию) среднего случая. Но вместо этого мы выбираем квадрат базового элемента, равный 1 или -1 вместо 0, евклидову геометрию можно изменить на сферическую или гиперболическую геометрию.

В этих системах точки, плоскости и линии имеют те же координаты, что и в ГА на основе плоскостей. Но такие преобразования, как повороты и отражения, будут иметь совершенно разные эффекты на геометрию. Во всех нижеприведенных случаях алгебра представляет собой двойную оболочку группы отражений, вращений и роторных отражений в пространстве.

Все формулы из евклидового случая переносятся и на эти другие геометрии – точка пересечения по-прежнему функционирует как способ пересечения объектов; геометрическое произведение по-прежнему функционирует как способ составления преобразований; а в гиперболическом случае внутренний продукт может измерять гиперболический угол .

Все три четные подалгебры являются классическими группами Ли (после факторизации по скалярам). Соответствующая алгебра Ли для каждой группы представляет собой элементы 2-го уровня алгебры Клиффорда: не принимая частное по скалярам.