Пересечение

В математике пересечение двух или более объектов — это другой объект, состоящий из всего, что содержится во всех объектах одновременно. Например, в евклидовой геометрии , когда две прямые на плоскости не параллельны, их пересечением является точка , в которой они встречаются. В более общем смысле, в теории множеств пересечение множеств определяется как набор элементов , принадлежащих им всем. В отличие от евклидова определения, это не предполагает, что рассматриваемые объекты лежат в общем пространстве .

Пересечение — одно из основных понятий геометрии . Пересечение может иметь различные геометрические формы , но является точка наиболее распространенной в плоской геометрии . Геометрия инцидентности определяет пересечение (обычно плоских ) как объект меньшей размерности , инцидентный каждому из исходных объектов. При таком подходе пересечение иногда может быть неопределенным, например, для параллельных линий . В обоих случаях концепция пересечения опирается на логическое соединение . Алгебраическая геометрия определяет пересечения по-своему, как и теория пересечений .

Уникальность

Может существовать более одного примитивного объекта, например точек (на рисунке выше), образующих пересечение. Пересечение можно рассматривать вместе как все общие объекты (т. е. в результате операции пересечения создается набор , возможно, пустой) или как несколько объектов пересечения ( возможно, нулевой ).

В теории множеств

Пересечение двух множеств $A$ и $B$ — это набор элементов, которые находятся как в $,$ так и $в B.$ A Формально,

A\cap B=\{x:x\in A{\text{  and  }}x\in B\}

. ^[1]

Например, если $A=\{1,3,5,7\}$ и $B=\{1,2,4,6\}$ , затем $A\cap B=\{1\}$ . Более сложный пример (с участием бесконечных множеств):

A=\{x:{\text{ x is an even integer}}\}

B=\{x:{\text{ x is an integer divisible by 3}}\}

{\text{ , then}}

A\cap B=\{6,12,18,\dots \}

Другой пример: число $5$ содержится не в пересечении множества простых чисел ${2, 3, 5, 7, 11,...}$ и множества четных чисел ${2, 4, 6, 8, 10,... }$ , потому что хотя $5$ и является простым числом, оно не четное. Фактически число $2$ — единственное число на пересечении этих двух множеств. В данном случае пересечение имеет математический смысл: число $2$ — единственное четное простое число.

В геометрии

Красная точка обозначает точку пересечения двух линий.

В геометрии пересечение — это точка, линия или кривая, общая для двух или более объектов (таких как линии, кривые, плоскости и поверхности). Простейшим случаем в евклидовой геометрии является пересечение прямой между двумя различными прямыми , которое либо является одной точкой (иногда называемой вершиной ), либо не существует (если линии параллельны ). Другие типы геометрического пересечения включают:

Определение пересечения квартир — линейных геометрических объектов, вложенных в многомерное пространство , — это простая задача линейной алгебры , а именно решение системы линейных уравнений . В общем, определение пересечения приводит к нелинейным уравнениям , которые можно решить численно , например, с помощью итерации Ньютона . Задачи пересечения прямой и конического сечения (округа, эллипса, параболы и т. д.) или квадрики (сферы, цилиндра, гиперболоида и т. д.) приводят к квадратным уравнениям легко решаемым . Пересечения квадрик приводят к уравнениям четвертой степени , которые можно решать алгебраически .

Обозначения

Пересечение обозначается U + 2229 ∩ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ из математических операторов Юникода .

Символ U + 2229 ∩ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ впервые было использовано Германом Грассманом в Die Ausdehnungslehre von 1844 как общий символ операции, не предназначенный для пересечения. Оттуда он был использован Джузеппе Пеано (1858–1932) для пересечения в 1888 году в Calcolo Geometry Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann . ^[2]^[3]

Пеано также создал большие символы для общего пересечения и объединения более чем двух классов в своей книге Formulario mathematico 1908 года . ^[4]^[5]

См. также

Конструктивная твердотельная геометрия , логическое пересечение — один из способов объединения 2D/3D-форм.
Расширенная по размерам модель с 9 пересечениями
Знакомьтесь (теория решеток)
Пересечение (теория множеств)
Союз (теория множеств)

Ссылки

^ Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств . Американское математическое соц. ISBN 9780821827314 .
^ Пеано, Джузеппе (1 января 1888 г.). Геометрический расчет по Ausdehnungslehre Х. Грассмана: предшествуют операции дедуктивной логики (на итальянском языке). Турин: Фрателли Бокка .
^ Каджори, Флориан (1 января 2007 г.). История математических обозначений . Cosimo, Inc. Турин: ISBN 9781602067141 .
^ Пеано, Джузеппе (1 января 1908 г.). Formulario mathematico, том V (на итальянском языке). Турин: кремонское издание (факсимиле-перепечатка в Риме, 1960 г.). п. 82. ОСЛК 23485397 .
^ Самое раннее использование символов теории множеств и логики

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение» . Математический мир .

[:0-1] Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств . Американское математическое соц. ISBN 9780821827314 .

[:1-2] Пеано, Джузеппе (1 января 1888 г.). Геометрический расчет по Ausdehnungslehre Х. Грассмана: предшествуют операции дедуктивной логики (на итальянском языке). Турин: Фрателли Бокка .

[:2-3] Каджори, Флориан (1 января 2007 г.). История математических обозначений . Cosimo, Inc. Турин: ISBN 9781602067141 .

[:3-4] Пеано, Джузеппе (1 января 1908 г.). Formulario mathematico, том V (на итальянском языке). Турин: кремонское издание (факсимиле-перепечатка в Риме, 1960 г.). п. 82. ОСЛК 23485397 .

[5] Самое раннее использование символов теории множеств и логики

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]