Кривая пересечения

В геометрии кривая пересечения — это кривая , общая для двух геометрических объектов. В простейшем случае пересечением двух непараллельных плоскостей в евклидовом 3-мерном пространстве является прямая . В общем, кривая пересечения состоит из общих точек двух трансверсально пересекающихся поверхностей , а это означает, что в любой общей точке нормали к поверхностям не параллельны. Данное ограничение исключает случаи, когда поверхности соприкасаются или имеют общие части поверхностей.

Аналитическое определение кривой пересечения двух поверхностей легко лишь в простых случаях; например: а) пересечение двух плоскостей, б) плоское сечение квадрики ( сферы, цилиндра, конуса и т. д.), в) пересечение двух квадрик в частных случаях. В общем случае в литературе представлены алгоритмы расчета точек кривой пересечения двух поверхностей. ^[1]

Линия пересечения двух плоскостей

Дано: два самолета $\varepsilon _{i}:\quad {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\quad i=1,2,\quad {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}$ линейно независимы , т.е. плоскости не параллельны.

Требуется: параметрическое представление ${\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {r}}$ линии пересечения.

Направление линии получается из векторного произведения нормальных векторов: ${\vec {r}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}$ .

точка $P:{\vec {p}}$ линии пересечения можно определить, пересекая заданные плоскости $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$ с самолетом $\varepsilon _{3}:{\vec {x}}=s_{1}{\vec {n}}_{1}+s_{2}{\vec {n}}_{2}$ , который перпендикулярен $\varepsilon _{1}$ и $\varepsilon _{2}$ . Вставка параметрического представления $\varepsilon _{3}$ в уравнения $\varepsilon _{1}$ и $\varepsilon _{2}$ дает параметры $s_{1}$ и $s_{2}$ .

$P:{\vec {p}}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{1}+{\frac {d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})-d_{1}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{2}\ .$

Пример: $\varepsilon _{1}:\ x+2y+z=1,\quad \varepsilon _{2}:\ 2x-3y+2z=2\ .$

Нормальные векторы ${\vec {n}}_{1}=(1,2,1)^{\top },\ {\vec {n}}_{2}=(2,-3,2)^{\top }$ а направление линии пересечения равно ${\vec {r}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}=(7,0,-7)^{\top }$ . Для точки $P:{\vec {p}}$ , получается по формуле выше ${\vec {p}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{\top }\ .$ Следовательно

{\vec {x}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{\top }+t(7,0,-7)^{\top }

является параметрическим представлением линии пересечения.

Примечания:

В особых случаях определение линии пересечения методом исключения Гаусса может быть быстрее.
Если одна (или обе) плоскости заданы параметрически формулой ${\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {v}}+t{\vec {w}}$ , человек получает ${\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}$ как нормальный вектор и уравнение: ${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}={\vec {n}}\cdot {\vec {p}}$ .

Кривая пересечения плоскости и квадрики

В любом случае кривая пересечения плоскости и квадрики (сферы, цилиндра, конуса...) представляет собой коническое сечение . Подробности см. ^[2] Важным применением плоских сечений квадрик являются контурные линии квадрик. В любом случае (параллельная или центральная проекция) контурные линии квадрик представляют собой конические сечения. См. ниже и Umrisskonstruktion .

Кривая пересечения цилиндра или конуса и квадрики

Определить точки пересечения прямой с квадрикой (т. е. линией-сферой ) — несложная задача; достаточно решить квадратное уравнение. Итак, любая кривая пересечения конуса или цилиндра (они порождены прямыми) с квадрикой состоит из точек пересечения прямых и квадрики (см. рисунки).

На рисунках показаны возможности, возникающие при пересечении цилиндра и сферы:

В первом случае существует только одна кривая пересечения.
Во втором случае показан пример, когда кривая пересечения состоит из двух частей.
В третьем случае сфера и цилиндр касаются друг друга в одной особой точке. Кривая пересечения является самопересекающейся.
Если цилиндр и сфера имеют одинаковый радиус и середина сферы расположена на оси цилиндра, то кривая пересечения состоит только из особых точек (окружности).

Пересечение сферы и цилиндра: одна часть
Пересечение сферы и цилиндра: две части

Пересечение сферы и цилиндра: кривая с одной особой точкой.
Пересечение сферы и цилиндра: касание по особой кривой

Общий случай: маршевый способ

Кривая пересечения: принцип маршевого алгоритма

В общем, особых особенностей, которыми можно было бы воспользоваться, нет. Одной из возможностей определения многоугольника точек кривой пересечения двух поверхностей является метод марша (см. раздел Справочная информация ). Он состоит из двух существенных частей:

Первая часть — это алгоритм точки кривой , который определяет начальную точку вблизи двух поверхностей, точку на кривой пересечения. Алгоритм существенно зависит от представления заданных поверхностей. Простейшая ситуация состоит в том, что обе поверхности неявно задаются уравнениями $f_{1}(x,y,z)=0,\ f_{2}(x,y,z)=0$ , потому что функции предоставляют информацию о расстояниях до поверхностей и показывают через градиенты путь к поверхностям. Если одна или обе поверхности заданы параметрически, преимуществ неявного случая не существует. В этом случае алгоритм точки кривой использует трудоемкие процедуры, такие как определение точки основания перпендикуляра на поверхности.
Вторая часть метода марша начинается с первой точки на кривой пересечения, определяет направление кривой пересечения с помощью нормалей поверхности, затем делает шаг с заданной длиной шага в направлении касательной, чтобы получить отправная точка для второй точки кривой... (см. рисунок).

Подробности маршевого алгоритма см. ^[3]

Метод марша создает для любой начальной точки многоугольник на кривой пересечения. Если кривая пересечения состоит из двух частей, алгоритм приходится выполнять, используя вторую удобную отправную точку. Алгоритм достаточно надежный. Обычно особые точки не представляют проблемы, потому что шанс встретить именно особую точку очень мал (см. рисунок: пересечение цилиндра и поверхности $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$ ).

Пересечение $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$ с цилиндром: две части
Пересечение $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$ с цилиндром: одна часть
Пересечение $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$ с цилиндром: одна особая точка

Применение: контурная линия

точка $(x,y,z)$ контурной линии неявной поверхности с уравнением $f(x,y,z)=0$ и параллельная проекция с направлением ${\vec {v}}$ должен выполнить условие $g(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}=0$ , потому что ${\vec {v}}$ должен быть касательным вектором, что означает, что любая точка контура является точкой кривой пересечения двух неявных поверхностей.

f(x,y,z)=0,\ g(x,y,z)=0

.

Для квадрик $g$ всегда является линейной функцией. Следовательно, контур квадрики всегда представляет собой плоское сечение (т. е. коническое сечение).

Контурная линия поверхности $f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0$ (см. рисунок) прослежен маршевым способом.

Примечание: Определение контурного многоугольника параметрической поверхности. ${\vec {x}}={\vec {x}}(s,t)$ необходимо проследить неявную кривую в плоскости параметров. ^[4]

Условие для точек контура:

g(s,t)=({\vec {x}}_{s}(s,t)\times {\vec {x}}_{t}(s,t))\cdot {\vec {v}}=0

.

Кривая пересечения двух многогранников

Кривая пересечения многогранников: три дома

Кривая пересечения двух многогранников представляет собой многоугольник (см. пересечение трёх домов). Отображение параметрически определенной поверхности обычно осуществляется путем отображения прямоугольной сети в трехмерное пространство. Пространственные четырехугольники почти плоские. Итак, для пересечения двух параметрически заданных поверхностей можно использовать алгоритм пересечения двух многогранников. ^[5] См. изображение пересекающихся торов.

См. также

Теория пересечений

Ссылки

Дальнейшее чтение

C:L: Баджадж, К.М. Хоффманн, Р.Э. Линч: Отслеживание пересечений поверхностей , Comp. Помощник Геом. Дизайн 5 (1988), с. 285-307.
Р. Э. Барнхилл, С. Н. Керси: Метод марша для параметрического пересечения поверхностей и поверхностей , Comp. Помощник Геом. Дизайн 7 (1990), с. 257-280.
Р. Барнхилл, Г. Фарин, М. Джордан, Б. Пайпер: Пересечение поверхности/поверхности , Компьютерное геометрическое проектирование 4 (1987), стр. 3-16.

[1] Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования , с. 94

[2] CDKG: Компьютерная начертательная и конструктивная геометрия (ТУ Дармштадта) (PDF; 3,4 МБ), стр. 87-124

[3] Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования , с. 94

[4] Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования , с. 99

[5] Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования с. 76

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]