Степень многочлена

В математике степень — многочлена это высшая из степеней мономов многочлена (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина представляет собой сумму показателей степени входящих в него переменных и, следовательно, является неотрицательным целым числом . Для одномерного многочлена степень многочлена — это просто наивысший показатель степени, встречающийся в многочлене. Термин порядок использовался как синоним степени , но в настоящее время может относиться к нескольким другим понятиям (см. Порядок полинома (значения) ).

Например, полином $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ что также можно записать как $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ имеет три срока. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, многочлен имеет степень 5, что соответствует высшая степень любого термина.

Чтобы определить степень многочлена, который не имеет стандартной формы, например: $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$, можно привести его к стандартной форме, разложив произведения (по дистрибутивности ) и объединив подобные члены; например, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ имеет степень 1, хотя каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, если многочлен записан как произведение многочленов в стандартной форме, поскольку степень произведения представляет собой сумму степеней множителей.

Названия многочленов по степени

Полиномам в зависимости от их степени присваиваются следующие названия:

• Особый случай – ноль (см. § Степень нулевого многочлена ниже)
• Степень 0 – ненулевая константа
• Степень 1 – линейная
• Степень 2 – квадратичная
• Степень 3 – кубическая
• Степень 4 – четвертая (или, если все члены имеют четную степень, биквадратичная ).
• 5 степень – квинтическая
• 6 степень – секстик (или реже гексик).
• 7 степень – септическая (или реже гептическая)
• 8 степень – октическая
• Степень 9 – ноник
• 10 степень – детическая

Названия степеней выше трех основаны на латинских порядковых числах и заканчиваются на -ic . Это следует отличать от названий, используемых для числа переменных, арности , которые основаны на латинских дистрибутивных числах и заканчиваются на -ary . Например, полином второй степени от двух переменных, например $x^{2}+xy+y^{2}$, называется «двоичным квадратичным»: двоичным по двум переменным, квадратичным по второй степени. Существуют также названия числа терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -nomial ; распространенными являются одночленный , биномиальный и (реже) трехчленный ; таким образом $x^{2}+y^{2}$ является «двоичным квадратичным биномом».

Примеры

Полином $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ является кубическим многочленом: после умножения и сбора членов одной степени он становится $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$, с наивысшим показателем 3.

Полином $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ является полиномом пятой степени: при объединении подобных членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$, с наивысшим показателем 5.

Поведение

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов.

Дополнение

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; то есть,

$\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$ и $\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$.

Например, степень $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ равно 2, и 2 ≤ max{3, 3}.

Равенство всегда выполняется, когда степени многочленов различны. Например, степень $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ равно 3, а 3 = max{3, 2}.

Умножение

Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; то есть,

$\deg(cP)=\deg(P)$.

Например, степень $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ равно 2, что соответствует степени $x^{2}+3x-2$.

Таким образом, набор многочленов (с коэффициентами из заданного поля F ), степени которых меньше или равны заданному числу n, образует векторное пространство ; дополнительную информацию см. в разделе «Примеры векторных пространств» .

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов по полю или целой области представляет собой сумму их степеней:

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

Например, степень $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ это 5 = 3 + 2.

Для многочленов над произвольным кольцом приведенные выше правила могут быть недействительны из-за сокращения, которое может произойти при умножении двух ненулевых констант. Например, на ринге $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ целых чисел по модулю 4 , получается, что $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$, но $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$, что не равно сумме степеней факторов.

Состав

Степень композиции двух непостоянных многочленов $P$ и $Q$ по полю или целой области является произведением их степеней:

$$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).$$

Например, если $P=x^{3}+x$ имеет степень 3 и $Q=x^{2}-1$ имеет степень 2, то их состав $P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,$ который имеет степень 6.

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом степень композиции может быть меньше произведения степеней. Например, в $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,$ состав полиномов $2x$ и $1+2x$ (оба степени 1) — постоянный полином $2x\circ (1+2x)=2+4x=2,$ степени 0.

Степень нулевого полинома

Степень нулевого полинома либо остается неопределенной, либо определяется как отрицательная (обычно -1 или $-\infty$).

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) полином, называемый нулевым полиномом . У него нет ненулевых членов, а значит, строго говоря, у него нет и степени. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения о степени сумм и произведений многочленов в приведенном выше разделе не применимы, если какой-либо из задействованных многочленов является нулевым многочленом.

Однако удобно определить степень нулевого многочлена как отрицательную бесконечность , $-\infty ,$ и познакомить с правилами арифметики

$\max(a,-\infty )=a,$

и

$a+(-\infty )=-\infty .$

Эти примеры иллюстрируют, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :

• Степень суммы $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ равно 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $3\leq \max(3,-\infty )$.
• Степень разницы $(x)-(x)=0$ является $-\infty$. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $-\infty \leq \max(1,1)$.
• Степень продукта $(0)(x^{2}+1)=0$ является $-\infty$. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $-\infty =-\infty +2$.

Рассчитывается на основе значений функции

Существует ряд формул, которые позволяют оценить степень полиномиальной функции f . Один, основанный на асимптотическом анализе :

$\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}$;

это точный аналог метода оценки наклона на логарифмическом графике .

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами.Например:

• Степень мультипликативного обратного , $\ 1/x$, равно −1.
• Степень квадратного корня , ${\sqrt {x}}$, составляет 1/2.
• Степень логарифма , $\ \log x$, равно 0.
• Степень показательной функции , $\exp x$, является $\infty .$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степени ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ является $-1/2$.

Другая формула для вычисления степени f по его значениям:

$\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}$;

эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Однако интуитивно понятно, что речь идет скорее о представлении степени d как дополнительного постоянного множителя в производной. $dx^{d-1}$ из $x^{d}$.

Более детальное (чем простая числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя обозначение big O. Например, при анализе алгоритмов часто бывает важно различать темпы роста $x$ и $x\log x$ будут иметь одинаковую , которые в соответствии с приведенными выше формулами степень.

Расширение полиномов с двумя или более переменными

Для полиномов от двух или более переменных степень члена представляет собой сумму показателей степени переменных в этом термине; степень (иногда называемая общей степенью ) многочлена снова является максимальной из степеней всех членов в многочлене. Например, полином x ² и ² + 3x ³ + 4 y имеет степень 4, ту же степень, что и член x ² и ² .

Однако полином от переменных x и y — это полином от x с коэффициентами, которые являются полиномами от y , а также полином от y с коэффициентами, которые являются полиномами от x . Полином

$x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})$

имеет степень 3 по x и степень 2 по y .

степени в

Учитывая кольцо R , кольцо многочленов R [ x ] представляет собой набор всех многочленов от x, имеют коэффициенты из R. которые В частном случае, когда R также является полем , кольцо многочленов R [ x ] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения здесь, евклидовой областью .

Можно показать, что степень многочлена над полем удовлетворяет всем требованиям нормальной функции в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем обе степени f и g по отдельности. На самом деле имеет место нечто более сильное:

$\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))$

В качестве примера того, почему функция степени может завершиться сбоем в кольце, которое не является полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не областью целостности ), поскольку 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Следовательно, пусть f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Тогда f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Таким образом, deg( f ⋅ g ) = 0, что не больше степеней f и g (каждая из которых имеет степень 1).

Поскольку нормальная функция не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что она подчиняется правилам нормы в евклидовой области.

См. также

• Теорема Абеля – Руффини
• Основная теорема алгебры

Ссылки

• Экслер, Шелдон (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN  9780387982595
• Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN  9780387989990
• Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN  9780387745275
• Грилье, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN  9780387715681
• Кинг, Р. Брюс (2009), За пределами уравнения четвертой степени , Springer Science & Business Media, ISBN  9780817648497
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  9780821816462
• Шафаревич, Игорь Р. (2003), Беседы по алгебре , Springer Science & Business Media, ISBN  9783540422532