Теорема о ранге – недействительности

«Теорема о ранге» перенаправляется сюда. Для получения информации о ранговой теореме исчисления с несколькими переменными см. Теорему о постоянном ранге .

Теорема о ранге – недействительности

Теорема о ранге-нулевости — это теорема линейной алгебры , которая утверждает:

• матрицы M является суммой ранга M M и нулевого значения количество столбцов ; и
• размерность ( области и линейного преобразования f представляет собой сумму ранга f ( нулевого образа f ) ) значения f размерность ядра f размерность .

Отсюда следует, что для линейных преобразований векторных пространств одинаковой конечной размерности либо инъективность , либо сюръективность влекут за собой биективность .

Формулировка теоремы

Линейные преобразования

Позволять $T:V\to W$ быть линейным преобразованием между двумя векторными пространствами, где $T$домен пользователя $V$ является конечномерным. Затем $$\operatorname {rank} (T)~+~\operatorname {nullity} (T)~=~\dim V,$$где ${\textstyle \operatorname {rank} (T)}$ это ранг ​ $T$ ( размер его изображения ) и $\operatorname {nullity} (T)$ является недействительность ​ $T$ (размерность его ядра ). Другими словами, $$\dim(\operatorname {Im} T)+\dim(\operatorname {Ker} T)=\dim(\operatorname {Domain} (T)).$$Эту теорему можно уточнить с помощью леммы о расщеплении, чтобы она стала утверждением об изоморфизме пространств, а не только измерений. Явно, поскольку $T$ индуцирует изоморфизм из $V/\operatorname {Ker} (T)$ к $\operatorname {Im} (T),$ наличие основы для $V$ который расширяет любую данную основу $\operatorname {Ker} (T)$ из леммы о расщеплении следует, что $\operatorname {Im} (T)\oplus \operatorname {Ker} (T)\cong V.$ Принимая во внимание размерности, следует теорема о ранге-нулевости.

Матрицы

Линейные карты могут быть представлены матрицами . Точнее, $m\times n$ матрица M представляет собой линейную карту $f:F^{n}\to F^{m},$ где $F$ является основным полем . Итак, размерность области $f$ n для , количество столбцов M и теорема о ранге-нулевости $m\times n$ матрица M ​ $$\operatorname {rank} (M)+\operatorname {nullity} (M)=n.$$

Доказательства

Здесь мы приводим два доказательства. Первый работает в общем случае, используя линейные отображения. Второе доказательство смотрит на однородную систему $\mathbf {Ax} =\mathbf {0} ,$ где $\mathbf {A}$ это $m\times n$ со званием $r,$ и явно показывает, что существует множество $n-r$ линейно независимые решения, охватывающие нулевое пространство $\mathbf {A}$.

Хотя теорема требует, чтобы область определения линейного отображения была конечномерной, такого предположения о кодобласти не существует. Это означает, что существуют линейные отображения, не заданные матрицами, к которым применима теорема. Несмотря на это, первое доказательство на самом деле не является более общим, чем второе: поскольку образ линейного отображения конечномерен, мы можем представить карту из ее области определения в ее образ с помощью матрицы, доказать теорему для этой матрицы, затем составить с включением изображения в полный кодомен.

Первое доказательство

Позволять $V,W$ быть векторными пространствами над некоторым полем $F,$ и $T$ определяется как в формулировке теоремы с $\dim V=n$.

Как $\operatorname {Ker} T\subset V$ является подпространством , для него существует основа. Предполагать $\dim \operatorname {Ker} T=k$ и пусть $${\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)$$быть такой основой.

Теперь мы можем, используя лемму об обмене Стейница , расширить ${\mathcal {K}}$ с $n-k$ линейно независимые векторы $w_{1},\ldots ,w_{n-k}$ сформировать полноценную основу $V$.

Позволять $${\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)$$такой, что $${\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V$$является основой для $V$.Отсюда мы знаем, что $$\operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}$$

$=\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}}).$

Теперь мы утверждаем, что $T({\mathcal {S}})$ является основой для $\operatorname {Im} T$.Приведенное выше равенство уже утверждает, что $T({\mathcal {S}})$ представляет собой генераторную установку для $\operatorname {Im} T$; осталось показать, что вывод о том, что это базис, также линейно независим.

Предполагать $T({\mathcal {S}})$ не является линейно независимым, и пусть $$\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}$$для некоторых $\alpha _{j}\in F$.

Таким образом, в силу линейности $T$, отсюда следует, что $$T\left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.$$Это противоречие ${\mathcal {B}}$ быть основой, если только все $\alpha _{j}$ равны нулю. Это показывает, что $T({\mathcal {S}})$ линейно независима, а точнее, является основой для $\operatorname {Im} T$.

Подводя итог, мы имеем ${\mathcal {K}}$, основа для $\operatorname {Ker} T$, и $T({\mathcal {S}})$, основа для $\operatorname {Im} T$.

Наконец, мы можем констатировать, что $$\operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim \operatorname {Im} T+\dim \operatorname {Ker} T$$

$=|T({\mathcal {S}})|+|{\mathcal {K}}|=(n-k)+k=n=\dim V.$

На этом наше доказательство завершается.

Второе доказательство

Позволять $\mathbf {A}$ быть $m\times n$ матрица с $r$ линейно независимые столбцы (т.е. $\operatorname {Rank} (\mathbf {A} )=r$). Мы покажем, что:

1. Существует набор $n-r$ линейно независимые решения однородной системы $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$.
2. Любое другое решение представляет собой линейную комбинацию этих $n-r$ решения.

Для этого мы изготовим $n\times (n-r)$ матрица $\mathbf {X}$ чьи столбцы составляют основу нулевого пространства $\mathbf {A}$.

Без ограничения общности предположим, что первый $r$ столбцы $\mathbf {A}$ линейно независимы. Итак, мы можем написать $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{2}\end{pmatrix}},$$где

• $\mathbf {A} _{1}$ это $m\times r$ матрица с $r$ линейно независимые векторы-столбцы и
• $\mathbf {A} _{2}$ это $m\times (n-r)$ матрица такая, что каждая из ее $n-r$ столбцы — это линейные комбинации столбцов $\mathbf {A} _{1}$.

Это означает, что $\mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B}$ для некоторых $r\times (n-r)$ матрица $\mathbf {B}$ (см. ранговую факторизацию ) и, следовательно, $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.$$

Позволять $$\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},$$где $\mathbf {I} _{n-r}$ это $(n-r)\times (n-r)$ идентификационная матрица . Так, $\mathbf {X}$ это $n\times (n-r)$ матрица такая, что $$\mathbf {A} \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} =\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.$$

Следовательно, каждый из $n-r$ столбцы $\mathbf {X}$ являются частными решениями $\mathbf {Ax} ={0}_{{F}^{m}}$.

Кроме того, $n-r$ столбцы $\mathbf {X}$ , линейно независимы поскольку $\mathbf {Xu} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}$ будет подразумевать $\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}$ для $\mathbf {u} \in {F}^{n-r}$: $$\mathbf {X} \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \mathbf {u} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}\end{pmatrix}}\implies \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}.$$Следовательно, векторы-столбцы $\mathbf {X}$ представляют собой набор $n-r$ линейно независимые решения для $\mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}$.

Далее мы докажем, что любое решение $\mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}$ должна представлять собой линейную комбинацию столбцов $\mathbf {X}$.

Для этого пусть $$\mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}$$

быть любым вектором таким, что $\mathbf {Au} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}$. Поскольку столбцы $\mathbf {A} _{1}$ линейно независимы, $\mathbf {A} _{1}\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}$ подразумевает $\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{r}}$.

Поэтому, $${\begin{array}{rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}$$$$\implies \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {X} \mathbf {u} _{2}.$$

Это доказывает, что любой вектор $\mathbf {u}$ это решение $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$ должна представлять собой линейную комбинацию $n-r$ специальные решения, заданные столбцами $\mathbf {X}$. И мы уже видели, что столбцы $\mathbf {X}$ линейно независимы. Следовательно, столбцы $\mathbf {X}$ составляют основу пространства нулевого $\mathbf {A}$. образом, недействительность Таким $\mathbf {A}$ является $n-r$. С $r$ равен рангу $\mathbf {A}$, отсюда следует, что $\operatorname {Rank} (\mathbf {A} )+\operatorname {Nullity} (\mathbf {A} )=n$. На этом наше доказательство завершается.

Третье фундаментальное подпространство

Когда $T:V\to W$ представляет собой линейное преобразование между двумя конечномерными подпространствами с $n=\dim(V)$ и $m=\dim(W)$ (так что может быть представлено $m\times n$ матрица $M$), теорема о ранге – недействительности утверждает, что если $T$ имеет ранг $r$, затем $n-r$ - это размерность пространства нулевого $M$, который представляет ядро собой $T$. В некоторых текстах третье фундаментальное подпространство, связанное с $T$ рассматривается наряду с его образом и ядром коядром : $T$ это фактор-пространство $W/\operatorname {Im} (T)$, а его размерность $m-r$. Эта формула измерения (которая также может быть отображена $\dim \operatorname {Im} (T)+\dim \operatorname {Coker} (T)=\dim(W)$) вместе с теоремой о ранге-нулевости иногда называют фундаментальной теоремой линейной алгебры .

Реформулировки и обобщения

Эта теорема представляет собой формулировку первой теоремы алгебры об изоморфизме для случая векторных пространств; оно обобщается до леммы о расщеплении .

На более современном языке теорему можно также сформулировать так, что каждая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется. Явно, учитывая, что $$0\rightarrow U\rightarrow V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} R\rightarrow 0$$— короткая точная последовательность векторных пространств, то $U\oplus R\cong V$, следовательно $$\dim(U)+\dim(R)=\dim(V).$$Здесь $R$ играет роль $\operatorname {Im} T$ и $U$ является $\operatorname {Ker} T$, то есть $$0\rightarrow \ker T\mathbin {\hookrightarrow } V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} \operatorname {im} T\rightarrow 0$$

В конечномерном случае эта формулировка допускает обобщение: если $$0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \cdots V_{r}\rightarrow 0$$является точной последовательностью конечномерных векторных пространств, то $$\sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.$$Теорема о ранге-нулевости для конечномерных векторных пространств также может быть сформулирована в терминах индекса линейного отображения. Индекс линейной карты $T\in \operatorname {Hom} (V,W)$, где $V$ и $W$ конечномерны, определяется формулой $$\operatorname {index} T=\dim \operatorname {Ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} T.$$

Интуитивно, $\dim \operatorname {Ker} T$ это количество независимых решений $v$ уравнения $Tv=0$, и $\dim \operatorname {Coker} T$ количество независимых ограничений, которые необходимо наложить на $w$ сделать $Tv=w$ разрешимо. Теорема о ранге-нулевости для конечномерных векторных пространств эквивалентна утверждению $$\operatorname {index} T=\dim V-\dim W.$$

Мы видим, что мы можем легко прочитать индекс линейного отображения $T$ из задействованных пространств, без необходимости анализа $T$ подробно. Этот эффект также проявляется в гораздо более глубоком результате: теорема об индексе Атьи – Зингера утверждает, что индекс некоторых дифференциальных операторов можно считать из геометрии задействованных пространств.

Ссылки

• Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .
• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистическим наукам (1-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, ISBN  978-1420095388
• Фридберг, Стивен Х.; Инсел, Арнольд Дж.; Спенс, Лоуренс Э. (2014). Линейная алгебра (4-е изд.). Образование Пирсона . ISBN  978-0130084514 .
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN  978-0-89871-454-8 .
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4419-9 .
• Валенца, Роберт Дж. (1993) [1951]. Линейная алгебра: введение в абстрактную математику . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN  3-540-94099-5 .

Внешние ссылки

• Гилберт Стрэнг , лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института, посвященная четырем фундаментальным подпространствам , от MIT OpenCourseWare