Инъективная функция

В математике инъективная функция (также известная как инъекция или взаимно-однозначная функция) ^[1]) — функция $f$ , которая отображает разные элементы своей области определения в разные элементы; то есть $x 1 \neq x 2$ подразумевает $f (x 1) \neq f (x 2)$ . (Эквивалентно, $f (x 1) = f (x 2)$ подразумевает $x 1 = x 2$ в эквивалентном контрапозитивном функции утверждении.) Другими словами, каждый элемент кодомена является образом одного не более чем элемента ее области определения . ^[2] Термин «функция один к одному» не следует путать с соответствием «один к одному» , которое относится к биективным функциям , которые представляют собой функции, в которых каждый элемент в кодомене является образом ровно одного элемента в области.

Гомоморфизм — это функция , между алгебраическими структурами совместимая с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. ^[3]Таким образом, это теорема о том, что они эквивалентны для алгебраических структур; см . в разделе Гомоморфизм § Мономорфизм более подробную информацию .

Функция $f$ то, что не является инъективным, иногда называют «многие к одному». ^[2]

Определение [ править ]

Инъективная функция, которая не является также сюръективной .

Позволять $f$ быть функцией, областью определения которой является множество $X.$ Функция $f$ называется инъективным, если для всех $a$ и $b$ в $X,$ если $f(a)=f(b),$ затем $a=b$ ; то есть, $f(a)=f(b)$ подразумевает $a=b.$ Эквивалентно, если $a\neq b,$ затем $f(a)\neq f(b)$ в контрапозитивном высказывании.

Символически,

\forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,

что логически эквивалентно контрапозитиву , ^[4]

\forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).

Примеры [ править ]

За наглядными примерами читатели перенаправляются в раздел галереи.

Для любого набора $X$ и любое подмножество $S\subseteq X,$ включения карта $S\to X$ (который отправляет любой элемент $s\in S$ самому себе) инъективен. В частности, тождественная функция $X\to X$ всегда инъективен (и фактически биективен).
Если областью определения функции является пустое множество , то функция является пустой функцией , которая является инъективной.
Если область определения функции имеет один элемент (то есть это одноэлементное множество ), то функция всегда инъективна.
Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=2x+1$ является инъективным.
Функция $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $g(x)=x^{2}$ является не инъективным, потому что (например) $g(1)=1=g(-1).$ Однако, если $g$ переопределено так, что его областью определения являются неотрицательные действительные числа [0,+∞), тогда $g$ является инъективным.
Показательная функция $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $\exp(x)=e^{x}$ является инъективным (но не сюръективным, поскольку никакое действительное значение не отображается в отрицательное число).
натурального логарифма Функция $\ln :(0,\infty )\to \mathbb {R}$ определяется $x\mapsto \ln x$ является инъективным.
Функция $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $g(x)=x^{n}-x$ не является инъективным, поскольку, например, $g(0)=g(1)=0.$

В более общем плане, когда $X$ и $Y$ обе настоящие линии $\mathbb {R} ,$ тогда инъективная функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это тот, график которого никогда не пересекается какой-либо горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии . ^[2]

Инъекции можно отменить [ править ]

Функции с левыми обратными всегда являются инъекциями. То есть, учитывая $f:X\to Y,$ если есть функция $g:Y\to X$ такой, что для каждого $x\in X$ , $g(f(x))=x$ , затем $f$ является инъективным. В этом случае, $g$ называется отторжением $f.$ Наоборот, $f$ называется частью $g.$

И наоборот, каждая инъекция $f$ с непустой областью определения имеет левую обратную $g$ . Его можно определить, выбрав элемент $a$ в области $f$ и настройка $g(y)$ к уникальному элементу прообраза $f^{-1}[y]$ (если оно не пусто) или $a$ (в противном случае). ^[5]

Левый инверсный $g$ не обязательно инверсией является $f,$ потому что композиция в другом порядке, $f\circ g,$ может отличаться от идентичности на $Y.$ Другими словами, инъективная функция может быть «обратной» левой обратной, но она не обязательно является обратимой , что требует, чтобы функция была биективной.

Инъекции могут быть обратимыми [ править ]

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию $f:X\to Y$ в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее кодомен $Y$ по его фактическому изображению $J=f(X).$ То есть пусть $g:X\to J$ такой, что $g(x)=f(x)$ для всех $x\in X$ ; затем $g$ является биективным. Действительно, $f$ может быть факторизован как $\operatorname {In} _{J,Y}\circ g,$ где $\operatorname {In} _{J,Y}$ – функция включения из $J$ в $Y.$

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Другая недвижимость [ править ]

Если $f$ и $g$ оба инъективны, тогда $f\circ g$ является инъективным.
Если $g\circ f$ инъективен, то $f$ является инъективным (но $g$ не обязательно).
$f:X\to Y$ инъективен тогда и только тогда, когда для любых функций $g,$ $h:W\to X$ в любое время $f\circ g=f\circ h,$ затем $g=h.$ Другими словами, инъективные функции — это в точности мономорфизмы в категории Множество множеств.
Если $f:X\to Y$ является инъективным и $A$ является подмножеством $X,$ затем $f^{-1}(f(A))=A.$ Таким образом, $A$ можно восстановить по его изображению $f(A).$
Если $f:X\to Y$ является инъективным и $A$ и $B$ оба являются подмножествами $X,$ затем $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).$
Каждая функция $h:W\to Y$ можно разложить как $h=f\circ g$ для подходящей инъекции $f$ и сюръекция $g.$ Это разложение единственно с точностью до изоморфизма и $f$ можно рассматривать как функцию включения диапазона $h(W)$ из $h$ как подмножество кодомена $Y$ из $h.$
Если $f:X\to Y$ является инъективной функцией, то $Y$ имеет по крайней мере столько же элементов, сколько $X,$ в смысле кардинальных чисел . В частности, если к тому же имеется инъекция из $Y$ к $X,$ затем $X$ и $Y$ имеют одинаковое кардинальное число. (Это известно как теорема Кантора–Бернштейна–Шредера .)
Если оба $X$ и $Y$ конечны с одинаковым числом элементов, то $f:X\to Y$ инъективен тогда и только тогда, когда $f$ является сюръективным (в этом случае $f$ является биективным).
Инъективная функция, которая является гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами, является вложением .
В отличие от сюръективности, которая представляет собой связь между графиком функции и ее кодоменом, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция $f$ является инъективным, можно определить, рассматривая только граф (а не кодомен) $f.$

Доказательство инъективности функций [ править ]

Доказательство того, что функция $f$ Инъективность зависит от того, как представлена функция и какими свойствами она обладает. Для функций, которые задаются некоторой формулой, существует основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если $f(x)=f(y),$ затем $x=y.$ ^[6]

Вот пример:

f(x)=2x+3

Доказательство: Пусть $f:X\to Y.$ Предполагать $f(x)=f(y).$ Так $2x+3=2y+3$ подразумевает $2x=2y,$ что подразумевает $x=y.$ Следовательно, из определения следует, что $f$ является инъективным.

Существует множество других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если $f$ является дифференцируемой функцией, определенной на некотором интервале, то достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если $f$ является линейным преобразованием, достаточно показать, что ядро $f$ содержит только нулевой вектор. Если $f$ является функцией с конечной областью определения, достаточно просмотреть список изображений каждого элемента области определения и убедиться, что ни одно изображение не встречается в списке дважды.

Графический подход для действительной функции $f$ действительной переменной $x$ это тест горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую $f(x)$ не более чем в одной точке, то $f$ является инъективным или взаимно однозначным.

Галерея [ править ]

Инъективная ) несюръективная функция (инъекция, а не биекция
Инъективная сюръективная функция (биекция)
Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

Не инъективная функция. Здесь $X_{1}$ и $X_{2}$ являются подмножествами $X,Y_{1}$ и $Y_{2}$ являются подмножествами $Y$ : для двух регионов, где функция не является инъективной, поскольку одному элементу диапазона может соответствовать более одного элемента домена. То есть возможно более одного $x$ в $X$ отобразить то же самое $y$ в $Y.$
Делаем функции инъективными. Предыдущая функция $f:X\to Y$ можно свести к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) $f:X_{1}\to Y_{1}$ и $f:X_{2}\to Y_{2},$ показаны сплошными кривыми (части исходной кривой, заштрихованные, больше не отображаются). Обратите внимание, как правило $f$ не изменилось – только домен и диапазон. $X_{1}$ и $X_{2}$ являются подмножествами $X,Y_{1}$ и $Y_{2}$ являются подмножествами $Y$ : для двух регионов, где исходную функцию можно сделать инъективной, чтобы один элемент домена мог сопоставляться с одним элементом диапазона. То есть только один $x$ в $X$ сопоставляется с одним $y$ в $Y.$
Инъективные функции. Схематическая интерпретация в декартовой плоскости , определяемая отображением $f:X\to Y,$ где $y=f(x),$ $X=$ область действия , $Y=$ диапазон функций и $\operatorname {im} (f)$ обозначает изображение $f.$ Каждый $x$ в $X$ соответствует ровно одному уникальному $y$ в $Y.$ Обведенные части осей представляют собой наборы доменов и диапазонов — в соответствии со стандартными диаграммами, приведенными выше.

См. также [ править ]

Биекция, инъекция и сюръекция - Свойства математических функций
Инъективное метрическое пространство - Тип метрического пространства
Монотонная функция - математическая функция, сохраняющая порядок.
Унивалентная функция – математическая концепция.

Примечания [ править ]

^ Иногда функция «один-один» в индийском математическом образовании. «Глава 1: Отношения и функции» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. - через NCERT.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Инъективное, сюръективное и биективное» . Математика — это весело . Проверено 7 декабря 2019 г.
^ «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные отображения предпучков» . Проект Стеки . Проверено 7 декабря 2019 г.
^ Фарлоу, С. Дж. «Раздел 4.2 Инъекции, сюръекции и биекции» (PDF) . Математика и статистика — Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. Проверено 6 декабря 2019 г.
^ В отличие от соответствующего утверждения о том, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, для этого не требуется аксиома выбора , поскольку существование $a$ подразумевается непустота области определения. Однако это утверждение может оказаться ошибочным в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение $\{0,1\}\to \mathbb {R}$ набора из двух элементов в действительных числах не может иметь левую инверсию, так как это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной линии к множеству {0,1}.
^ Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Взаимодоказательство функций» . Страница справочных примечаний факультета математики CSU в Сан-Бернардино . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 года.

Ссылки [ править ]

Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1 , п. 17 и далее .
Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6 , п. 38 и далее .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Иногда функция «один-один» в индийском математическом образовании. «Глава 1: Отношения и функции» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. - через NCERT.

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Инъективное, сюръективное и биективное» . Математика — это весело . Проверено 7 декабря 2019 г.

[3] «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные отображения предпучков» . Проект Стеки . Проверено 7 декабря 2019 г.

[4] Фарлоу, С. Дж. «Раздел 4.2 Инъекции, сюръекции и биекции» (PDF) . Математика и статистика — Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. Проверено 6 декабря 2019 г.

[5] В отличие от соответствующего утверждения о том, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, для этого не требуется аксиома выбора , поскольку существование $a$ подразумевается непустота области определения. Однако это утверждение может оказаться ошибочным в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение $\{0,1\}\to \mathbb {R}$ набора из двух элементов в действительных числах не может иметь левую инверсию, так как это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной линии к множеству {0,1}.

[6] Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Взаимодоказательство функций» . Страница справочных примечаний факультета математики CSU в Сан-Бернардино . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]