Инъективное метрическое пространство

В метрической геометрии инъективное метрическое пространство или, что то же самое, гипервыпуклое метрическое пространство — это метрическое пространство с определенными свойствами, обобщающими свойства действительной прямой и L _∞ расстояний в многомерных векторных пространствах . Эти свойства можно определить двумя, казалось бы, разными способами: гипервыпуклость включает в себя свойства пересечения замкнутых шаров в пространстве, а инъективность включает изометрические вложения пространства в более крупные пространства. Однако согласно теореме Ароншайна и Паничпакди (1956) эти два разных типа определений эквивалентны.

Гипервыпуклость

Метрическое пространство $X$называется гипервыпуклым, если оно выпуклое и его замкнутые шары обладают бинарным свойством Хелли . То есть:

1. Любые две точки $x$ и $y$ можно соединить изометрическим изображением отрезка длиной, равной расстоянию между точками (т.е. $X$ является пространством путей).
2. Если $F$ это любое семейство закрытых шаров
   $${\bar {B}}_{r}(p)=\{q\mid d(p,q)\leq r\}$$
   такая, что каждая пара шаров в $F$ встречается, то существует точка $x$ общий для всех шаров в $F$.

Эквивалентно, метрическое пространство $X$ является сверхвыпуклым, если для любого набора точек $p_{i}$ в $X$ и радиусы $r_{i}>0$ удовлетворяющий $r_{i}+r_{j}\geq d(p_{i},p_{j})$ для каждого $i$ и $j$, есть точка $q$ в $X$ это на расстоянии $r_{i}$ каждого $p_{i}$ (то есть, $d(p_{i},q)\leq r_{i}$ для всех $i$).

Инъективность

См. также: Ретракция (топология)

Ретракция пространства метрического $X$ это функция $f$ картографирование $X$ в свое подпространство, такое, что

1. для всех $x\in X$ у нас есть это $f(f(x))=f(x)$; то есть, $f$ является тождественной функцией на своем изображении (т. е. она идемпотентна ), и
2. для всех $x,y\in X$ у нас есть это $d(f(x),f(y))\leq d(x,y)$; то есть, $f$ является неэкспансивным .

Втягивание ​ пространства $X$ является подпространством $X$это образ опровержения. Метрическое пространство $X$ называется инъективным , если когда бы то ни было $X$ изометрично ​ подпространству $Z$ пространства $Y$, это подпространство $Z$ является отказом от $Y$.

Примеры

Примеры гипервыпуклых метрических пространств включают

• Настоящая линия
• $\mathbb {R} ^{d}$ с $\ell$^∞ расстояние
• Манхэттенское расстояние ( L ₁ ) в плоскости (что эквивалентно вращению и масштабированию до L _∞ ), но не в более высоких измерениях.
• Тесный диапазон метрического пространства
• Любое полное настоящее дерево
• $\operatorname {Aim} (X)$ - см. Метрическое пространство, направленное на его подпространство.

Ввиду эквивалентности гипервыпуклости и инъективности все эти пространства также инъективны.

Свойства

В инъективном пространстве радиус минимального шара , содержащего любое множество $S$ равен диаметра половине $S$. Это следует из того, что шары радиусом в половину диаметра с центрами в точках $S$, попарно пересекаются и, следовательно, по сверхвыпуклости имеют общее пересечение; шар радиусом в половину диаметра с центром в точке этого общего пересечения содержит все $S$. Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют особенно сильной форме теоремы Юнга .

Всякое инъективное пространство является полным пространством . и каждое метрическое отображение (или, что то же самое, нерасширяющее отображение или короткое отображение ) в ограниченном инъективном пространстве имеет неподвижную точку . Метрическое пространство инъективно тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и метрических отображений .

Ссылки

• Ароншайн, Н. ; Паничпакди, П. (1956). «Расширения равномерно непрерывных преобразований и гипервыпуклые метрические пространства» . Тихоокеанский математический журнал . 6 : 405–439. дои : 10.2140/pjm.1956.6.405 . МР   0084762 . Исправление (1957), Pacific J. Math. 7 : 1729, МР 0092146 .
• Чепой, Виктор (1997). «Подход A T _X к некоторым результатам о разрезах и метриках» . Достижения прикладной математики . 19 (4): 453–470. дои : 10.1006/aama.1997.0549 . МР   1479014 .
• Эспинола, Р.; Хамси, Массачусетс (2001). «Введение в гипервыпуклые пространства» (PDF) . В Кирке, Вашингтон; Симс Б. (ред.). Справочник по метрической теории фиксированной точки . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. МР   1904284 .
• Исбелл, младший (1964). «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах». математические комментарии Гельветийские 39 : 65–76. дои : 10.1007/BF02566944 . МР   0182949 .
• Синус, RC (1979). «О нелинейных сжимающих полугруппах в пространствах sup-нормы». Нелинейный анализ . 3 (6): 885–890. дои : 10.1016/0362-546X(79)90055-5 . МР   0548959 .
• Соарди, П. (1979). «Существование неподвижных точек нерастягивающих отображений в некоторых банаховых решетках» . Труды Американского математического общества . 73 (1): 25–29. дои : 10.2307/2042874 . JSTOR   2042874 . МР   0512051 .