Теорема Юнга

В геометрии теорема Юнга представляет собой неравенство между диаметром набора точек в любом евклидовом пространстве и радиусом минимального охватывающего шара этого набора. Оно названо в честь Генриха Юнга , который впервые изучил это неравенство в 1901 году. Также существуют алгоритмы для явного решения задачи наименьшего круга .

Заявление

Рассмотрим компактный набор

$K\subset \mathbb {R} ^{n}$

и пусть

$d=\max _{p,q\,\in \,K}\|p-q\|_{2}$

быть диаметром K евклидовым , то есть наибольшим расстоянием между любыми двумя его точками. Теорема Юнга утверждает, что существует замкнутый шар радиусом

$r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}$

содержит К. который Краевой случай равенства достигается регулярным n - симплексом .

Теорема Юнга на плоскости

Наиболее распространенный случай теоремы Юнга - на плоскости , то есть когда n = 2. В этом случае теорема утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

$r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},$

и эта граница настолько точна, насколько это возможно, поскольку, когда K — равносторонний треугольник (или три его вершины), $r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества $S$ в любом метрическом пространстве , $d/2\leq r\leq d$. Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек, а второе неравенство следует из того, что шар радиуса $d$ с центром в любой точке $S$ будет содержать все $S$. Оба эти неравенства точны:

• В однородном метрическом пространстве , то есть пространстве, в котором все расстояния равны, $r=d$.
• На другом конце спектра, в инъективном метрическом пространстве, таком как манхэттенское расстояние на плоскости, $r=d/2$: любые два замкнутых шара радиуса $d/2$ с центром в точках $S$ имеют непустое пересечение , поэтому все такие шары имеют общее пересечение, а радиус $d/2$ шар с центром в точке этого пересечения содержит все $S$.

версии теоремы Юнга для различных неевклидовых геометрий Известны также (см., например, Dekster 1995, 1997).

Ссылки

• Кац, М. (1985). «Теорема Юнга в сложной проективной геометрии». Кварта. Дж. Математика. Оксфорд . 36 (4): 451–466. дои : 10.1093/qmath/36.4.451 .
• Декстер, Б.В. (1995). «Теорема Юнга для сферических и гиперболических пространств». Acta Mathematica Hungarica . 67 (4): 315–331. дои : 10.1007/BF01874495 .
• Декстер, Б.В. (1997). «Теорема Юнга в метрических пространствах ограниченной сверху кривизны» . Труды Американского математического общества . 125 (8): 2425–2433. дои : 10.1090/S0002-9939-97-03842-2 .
• Юнг, Генрих (1901). «О наименьшей сфере, заключающей в себе пространственную фигуру» . Дж. Рейн Анжью. Математика (на немецком языке). 123 : 241–257.
• Юнг, Генрих (1910). «На наименьшем круге, заключающем в себе плоскую фигуру» . Дж. Рейн Анжью. Математика (на немецком языке). 137 : 310-313.
• Радемахер, Ганс; Тёплиц, Отто (1990). Удовольствие от математики . Дувр. глава 16. ISBN  978-0-486-26242-0 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Юнга» . Математический мир .