Метрическое пространство, направленное на его подпространство

В математике метрическое пространство, направленное на свое подпространство, представляет собой категориальную конструкцию, имеющую прямой геометрический смысл. Это также полезный шаг на пути к построению метрической оболочки или плотного промежутка , которые являются базовыми (инъективными) объектами категории метрических пространств .

Следуя ( Holsztyński 1966 понятие метрического пространства Y , нацеленного на его подпространство X. ), определяется

Неофициальное знакомство

Неформально, представьте себе местность Y и ее часть X , так что где бы вы ни разместили в Y снайпера и яблоко в другом месте Y , а затем позвольте снайперу выстрелить, пуля пройдет через яблоко и всегда попадет в точку. X Y он пролетит сколь угодно близко к точкам X – тогда мы говорим, что нацелен на X. или, по крайней мере ,

Априори может показаться правдоподобным, что для данного X суперпространства Y , нацеленные на X, могут быть сколь угодно большими или, по крайней мере, огромными. Мы увидим, что это не так. Среди пространств, которые стремятся к подпространству, изометрическому X , существует единственное ( с точностью до изометрии ) универсальное , Aim( X ), которое в смысле канонических изометрических вложений содержит любое другое пространство, нацеленное на (изометрический образ) X . А в частном случае произвольного компактного метрического пространства X каждое ограниченное подпространство произвольного метрического пространства Y, направленное на X ( , вполне ограничено т. е. его метрическое пополнение компактно).

Определения

Позволять $(Y,d)$ быть метрическим пространством. Позволять $X$ быть подмножеством $Y$, так что $(X,d|_{X})$ (набор $X$ с метрикой из $Y$ ограничено $X$) является метрическим подпространством $(Y,d)$. Затем

Определение . Космос $Y$ направлен на $X$ тогда и только тогда, когда для всех точек $y,z$ из $Y$и для каждого реального $\epsilon >0$, существует точка $p$ из $X$ такой, что

$|d(p,y)-d(p,z)|>d(y,z)-\epsilon .$

Позволять ${\text{Met}}(X)$ — пространство всех действительных метрических отображений ( несжимающих ) $X$. Определять

${\text{Aim}}(X):=\{f\in \operatorname {Met} (X):f(p)+f(q)\geq d(p,q){\text{ for all }}p,q\in X\}.$

Затем

$d(f,g):=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|<\infty$

для каждого $f,g\in {\text{Aim}}(X)$ является показателем ${\text{Aim}}(X)$. Более того, $\delta _{X}\colon x\mapsto d_{x}$, где $d_{x}(p):=d(x,p)\,$, представляет собой изометрическое вложение $X$ в $\operatorname {Aim} (X)$; по сути, это обобщение вложения Куратовского-Войдиславского ограниченных метрических пространств. $X$ в $C(X)$, где мы рассматриваем произвольные метрические пространства (ограниченные или неограниченные). Понятно, что пространство $\operatorname {Aim} (X)$ направлен на $\delta _{X}(X)$.

Характеристики

Позволять $i\colon X\to Y$ быть изометрическим вложением. Тогда существует естественное метрическое отображение $j\colon Y\to \operatorname {Aim} (X)$ такой, что $j\circ i=\delta _{X}$:

$(j(y))(x):=d(x,y)\,$

для каждого $x\in X\,$ и $y\in Y\,$.

Теорема. Вышеупомянутое пространство Y нацелено на подпространство X тогда и только тогда, когда естественное отображение $j\colon Y\to \operatorname {Aim} (X)$ является изометрическим вложением.

Отсюда следует, что каждое пространство, нацеленное на X , может быть изометрически отображено в Aim(X) при выполнении некоторых дополнительных (существенных) категоричных требований.

Пространство Aim(X) инъективно ( сверхвыпуклое в смысле Ароншайна -Паничпакди) – для данного метрического пространства M, которое содержит Aim(X) в качестве метрического подпространства, существует каноническая (и явная) метрическая ретракция M на Aim. (X) ( Гольштыньский, 1966 ).

Ссылки

• Холштыньский, В. (1966), "О метрических пространствах, нацеленных на их подпространства", Prace Mat. , 10 : 95–100, МР   0196709