Выпуклое метрическое пространство

Иллюстрация выпуклого метрического пространства.

В математике . выпуклые метрические пространства интуитивно представляют собой метрические пространства со свойством любого «сегмента», соединяющего две точки в этом пространстве, помимо конечных точек, в нем есть и другие точки

Формально, рассмотрим метрическое пространство ( X , d и пусть x и y — две точки в X. ) , точка z в X Говорят, что находится между x и y, если все три точки различны, и

$d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),\,$

то есть неравенство треугольника становится равенством. Выпуклое метрическое пространство — это метрическое пространство ( X , d ) такое, что для любых двух различных точек x и y в X существует третья точка z в X, лежащая между x и y .

Метрическая выпуклость:

• не подразумевает выпуклость в обычном смысле для подмножеств евклидова пространства (см. пример рациональных чисел)
• и при этом это не подразумевает связность путей (см. пример рациональных чисел)
• оно также не означает геодезической выпуклости римановых многообразий (рассмотрим, например, евклидову плоскость с удаленным замкнутым диском).

Примеры

• Евклидовы пространства, то есть обычное трехмерное пространство и его аналоги для других измерений, являются выпуклыми метрическими пространствами. Учитывая любые две различные точки $x$ и $y$ в таком пространстве множество всех точек $z$ удовлетворяющее вышеуказанному «равенству треугольника», образует отрезок между $x$ и $y,$ который всегда имеет другие точки, кроме $x$ и $y,$ на самом деле, он имеет континуум точек.

Окружность как выпуклое метрическое пространство.

• Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве является выпуклым метрическим пространством с индуцированной евклидовой нормой. Для замкнутых множеств : верно и обратное если замкнутое подмножество евклидова пространства вместе с индуцированным расстоянием является выпуклым метрическим пространством, то оно является выпуклым множеством (это частный случай более общего утверждения, которое будет обсуждаться ниже). .
• Окружность . является выпуклым метрическим пространством, если расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшей дуги на окружности, соединяющей их

Метрические сегменты

Позволять $(X,d)$ — метрическое пространство (которое не обязательно выпуклое). Подмножество $S$ из $X$ называется метрическим отрезком между двумя различными точками $x$ и $y$ в $X,$ если существует замкнутый интервал $[a,b]$ на реальной линии и изометрии

$\gamma :[a,b]\to X,\,$

такой, что $\gamma ([a,b])=S,$ $\gamma (a)=x$ и $\gamma (b)=y.$

Ясно, что любая точка такого метрического отрезка $S$ кроме "конечных точек" $x$ и $y$ находится между $x$ и $y.$ Таким образом, если метрическое пространство $(X,d)$ допускает метрические отрезки между любыми двумя различными точками пространства, то это выпуклое метрическое пространство.

Обратное , вообще говоря , неверно. Рациональные числа образуют выпуклое метрическое пространство с обычным расстоянием, однако не существует отрезка, соединяющего два рациональных числа, состоящего только из рациональных чисел. Если однако, $(X,d)$ — выпуклое метрическое пространство, и, кроме того, оно полно , можно доказать, что для любых двух точек $x\neq y$ в $X$ существует соединяющий их метрический отрезок (не обязательно единственный).

Выпуклые метрические пространства и выпуклые множества

Как упоминалось в разделе примеров, замкнутые подмножества евклидовых пространств являются выпуклыми метрическими пространствами тогда и только тогда, когда они являются выпуклыми множествами. Тогда естественно думать о выпуклых метрических пространствах как об обобщающем понятии выпуклости за пределы евклидовых пространств, с заменой обычных линейных сегментов метрическими сегментами.

Однако важно отметить, что метрическая выпуклость, определенная таким образом, не обладает одним из наиболее важных свойств евклидовых выпуклых множеств, а именно того, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым. Действительно, как упоминалось в разделе примеров, круг с расстоянием между двумя точками, измеренным по кратчайшей дуге, соединяющей их, представляет собой ( полное ) выпуклое метрическое пространство. И все же, если $x$ и $y$ — две точки окружности, диаметрально противоположные друг другу, существуют два соединяющих их метрических отрезка (две дуги, на которые эти точки разбивают окружность), и эти две дуги метрически выпуклы, но их пересечение есть множество $\{x,y\}$ которая не является метрически выпуклой.

См. также

• Внутренняя метрика

Ссылки

• Хамси, Мохамед А.; Кирк, Уильям А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки . Вайли-IEEE. ISBN  0-471-41825-0 .

• Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2694-8 .