Jump to content

Расширенная категория

(Перенаправлено из расширенных категорий )

В теории категорий , разделе математики , обогащенная категория обобщает идею категории путем замены hom-множеств объектами из общей моноидальной категории . Это мотивировано наблюдением, что во многих практических приложениях hom-множество часто имеет дополнительную структуру, которую следует учитывать, например, структуру векторного пространства морфизмов морфизмов или топологического пространства . В обогащенной категории набор морфизмов (гом-множество), связанный с каждой парой объектов, заменяется объектом из некоторой фиксированной моноидальной категории «гом-объектов». Чтобы эмулировать (ассоциативную) композицию морфизмов в обычной категории, hom-категория должна иметь средства составления hom-объектов ассоциативным образом: то есть должна быть бинарная операция над объектами, дающая нам по крайней мере структура моноидальной категории , хотя в некоторых контекстах операция может также нуждаться в коммутативности и, возможно, также иметь правое сопряжение (т. е. сделать категорию симметричной моноидальной или даже симметричный замкнутый моноид соответственно). [ нужна ссылка ]

Таким образом, расширенная теория категорий охватывает в рамках одной и той же структуры широкий спектр структур, включая

  • обычные категории, в которых hom-множество несет в себе дополнительную структуру, выходящую за рамки набора. То есть существуют операции или свойства морфизмов, которые должны соблюдаться при композиции (например, существование 2-клеток между морфизмами и их горизонтальная композиция в 2-категории или операция сложения морфизмов в абелевой категории). )
  • подобные категориям сущности, которые сами по себе не имеют понятия индивидуального морфизма, но чьи hom-объекты имеют схожие композиционные аспекты (например, предварительные порядки , где правило композиции обеспечивает транзитивность, или метрические пространства Ловера , где hom-объекты представляют собой числовые расстояния, а правило композиции обеспечивает неравенство треугольника).

В случае, когда категория однородных объектов оказывается категорией множеств с обычным декартовым произведением, определения обогащенной категории, обогащенного функтора и т. д. сводятся к исходным определениям из обычной теории категорий.

Обогащенная категория с hom-объектами из моноидальной категории M называется обогащенной категорией над M , или обогащенной категорией в M , или просто M-категорией . Из-за того, что Мак Лейн предпочитал букву V при обозначении моноидальной категории, расширенные категории также иногда обычно называют V-категориями .

Определение [ править ]

Пусть ( M , ⊗, I , α , λ , ρ ) моноидальная категория . Тогда обогащенная категория C (альтернативно, в ситуациях, когда выбор моноидальной категории должен быть явным, категория, обогащенная по M или M - категория ), состоит из

  • класс ob ( C ) объектов C ,
  • объект C ( a , b ) из M для каждой пары объектов a , b в C , используемый для определения стрелки в C как стрелка в М ,
  • стрелка id a : I C ( a , a ) в M, обозначающая идентификатор для каждого объекта a в C , и
  • стрелка ° abc : C ( b , c ) ⊗ C ( a , b ) → C ( a , c ) в M, обозначающая композицию для каждой тройки объектов a , b , c в C , используемая для определения композиции и в C как вместе с тремя диаграммами передвижения, обсуждаемыми ниже.

Первая диаграмма выражает ассоциативность композиции:

То есть требование ассоциативности теперь берет на себя ассоциатор моноидальной категории M .

В случае, когда M категория множеств , а (⊗, I , α , λ , ρ ) — моноидальная структура (×, {•}, ...), заданная декартовым произведением , терминальным одноточечным множеством, и канонические изоморфизмы, которые они вызывают, то каждый C ( a , b ) представляет собой множество, элементы которого можно рассматривать как «индивидуальные морфизмы» C , в то время как °, теперь являющаяся функцией, определяет, как составляются последовательные морфизмы. В этом случае каждый путь, ведущий к C ( a , d ) на первой диаграмме, соответствует одному из двух способов составления трёх последовательных индивидуальных морфизмов a b c d , т.е. элементов из C ( a , b ) , C ( б , в ) и C ( в , d ) . В таком случае коммутативность диаграммы — это просто утверждение, что оба порядка композиции дают один и тот же результат, точно так же, как это требуется для обычных категорий.

Новым здесь является то, что вышеизложенное выражает требование ассоциативности без какой-либо явной ссылки на отдельные морфизмы в обогащенной категории C - опять же, эти диаграммы предназначены для морфизмов в моноидальной категории M , а не в C - таким образом создавая концепцию ассоциативности композиция имеет смысл в общем случае, когда hom-объекты C ( a , b ) абстрактны, а сам C не должен даже иметь никакого понятия индивидуального морфизма.

Представление о том, что обычная категория должна иметь тождественные морфизмы, заменяется второй и третьей диаграммами, которые выражают тождество в терминах левого и правого униторов :

и

Возвращаясь к случаю, когда M — категория множеств с декартовым произведением, морфизмы id a : I C ( a , a ) становятся функциями из одноточечного множества I и должны затем для любого данного объекта a идентифицировать конкретный элемент каждого множества C ( a , a ) , то, что мы можем тогда назвать «тождественным морфизмом для a в C ». Коммутативность последних двух диаграмм — это утверждение о том, что композиции (определённые функциями °), включающие эти выдающиеся отдельные «тождественные морфизмы в C », ведут себя точно так же, как правила тождества для обычных категорий.

Обратите внимание, что здесь упоминаются несколько различных понятий «идентичности»:

  • моноидальный тождественный объект I из M , являющийся тождеством для ⊗ только в теоретико- моноидном смысле, и даже тогда только с точностью до канонического изоморфизма ( λ , ρ ) .
  • тождественный морфизм 1 C ( a , b ) : C ( a , b ) → C ( a , b ), который M имеет для каждого из своих объектов в силу того, что он является (по крайней мере) обычной категорией.
  • расширенная идентичность категории id a : I C ( a , a ) для каждого объекта a в C , которая снова является морфизмом M , который, даже в случае, когда , что C считается имеет собственные индивидуальные морфизмы, не обязательно является выявление конкретного.

Примеры расширенных категорий [ править ]

  • Обычные категории — это категории, обогащенные ( Set , ×, {•}), категорией множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции, как отмечалось выше.
  • 2-Категории — это категории, обогащенные Cat , категорией малых категорий , с моноидальной структурой, задаваемой декартовым произведением. В этом случае 2-клетки между морфизмами a b и связывающим их правилом вертикальной композиции соответствуют морфизмам обычной категории C ( a , b ) и ее собственному правилу композиции.
  • Локально малые категории — это категории, обогащенные ( SmSet , ×), категорией малых множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции. (Локально малая категория — это категория, чьи hom-объекты представляют собой небольшие множества.)
  • Локально конечные категории , по аналогии, — это категории, обогащенные ( FinSet , ×), категорией конечных множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции.
  • Если C замкнутая моноидальная категория , то C обогащена сама в себе.
  • Предварительно упорядоченные множества — это категории, обогащенные определенной моноидальной категорией 2 , состоящей из двух объектов и одной стрелки нетождественности между ними, которую мы можем записать как FALSE TRUE , соединение как моноидальную операцию и TRUE как ее моноидальную идентичность. Тогда hom-объекты 2 ( a , b ) просто отрицают или подтверждают определенное бинарное отношение к данной паре объектов ( a , b ); ради более привычных обозначений мы можем записать это соотношение как a b . Существование композиций и идентичности, необходимых для категории, обогащенной более чем на 2, немедленно переводится соответственно в следующие аксиомы:
b c и a b a c (транзитивность)
ИСТИНА a a (рефлексивность)
которые являются не чем иным, как аксиомами того, что ≤ является предварительным порядком. А поскольку все диаграммы в 2 коммутируют, это единственное содержание аксиом обогащенной категории для категорий, обогащенных более чем 2 .
  • Уильяма Лоувера Обобщенные метрические пространства , также известные как псевдоквазиметрические пространства , представляют собой категории, обогащенные неотрицательными расширенными действительными числами R. +∞ , где последней задается обычная структура категорий посредством обратного ее обычного порядка (т. е. существует морфизм r s тогда и только тогда, когда r s ) и моноидальная структура посредством сложения (+) и нуля (0). Хом-объекты R +∞ ( a , b ) по существу являются расстояниями d( a , b ), а существование композиции и идентичности переводится как
d( b , c ) + d( a , b ) ≥ d( a , c ) (неравенство треугольника)
0 ≥ d( а , а )

с моноидальными функторами Связь

Если существует моноидальный функтор из моноидальной категории M в моноидальную категорию N , то любую категорию, обогащенную над , можно переинтерпретировать как категорию, обогащенную над N. M Каждая моноидальная категория M имеет моноидальный функтор M ( I , –) для категории множеств, поэтому любая обогащенная категория имеет лежащую в основе обычную категорию. Во многих примерах (например, приведенных выше) этот функтор является точным , поэтому категорию, обогащенную по M, можно описать как обычную категорию с определенной дополнительной структурой или свойствами.

Расширенные функторы [ править ]

Обогащенный функтор — это подходящее обобщение понятия функтора на обогащенные категории. В таком случае обогащенные функторы представляют собой отображения между обогащенными категориями, которые соответствуют расширенной структуре.

Если C и D являются M -категориями (то есть категориями, обогащенными моноидальной категорией M ), M -обогащенный функтор T : C D является отображением, которое присваивает каждому объекту из C объект из D и для каждой пары объектов a и b в C обеспечивает морфизм в MT ab ( : C ( a , b ) → D ( T и a ), T ( b )) между гомо-объектами C D ( которые являются объектами в M ), удовлетворяющий обогащенные версии аксиом функтора, а именно сохранение идентичности и композиции.

Поскольку hom-объекты не обязательно должны быть множествами в обогащенной категории, нельзя говорить о конкретном морфизме. Больше не существует понятия тождественного морфизма или конкретной композиции двух морфизмов. Вместо этого морфизмы единицы в гомо-объект следует рассматривать как выбор идентичности, а морфизмы из моноидального произведения следует рассматривать как композицию. Обычные функториальные аксиомы заменяются соответствующими коммутативными диаграммами, включающими эти морфизмы.

Подробно, имеется диаграмма

коммутирует, что сводится к уравнению

где I единичный объект M. — Это аналогично правилу F (id a ) = id F ( a ) для обычных функторов. Кроме того, требуется, чтобы диаграмма

коммутируют, что аналогично правилу F ( fg )= F ( f ) F ( g ) для обычных функторов.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Келли, GM (2005) [1982]. Основные понятия расширенной теории категорий . Переиздания по теории и приложениям категорий. Том. 10.
  • Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
  • Ловере, Ф.В. (2002) [1973]. Метрические пространства, обобщенная логика и закрытые категории . Переиздания по теории и приложениям категорий. Том. 1.
  • Расширенная категория в n Lab
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3d1b019f844f2a6b1d2f28105735c241__1709674080
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3d/41/3d1b019f844f2a6b1d2f28105735c241.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Enriched category - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)