Метрическое пространство

Плоскость ( набор точек) может быть оснащена разными метриками. В метрике такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину (12), и все они являются кратчайшими путями. В евклидовой метрике зеленый путь имеет длину $6{\sqrt {2}}\approx 8.49$, и является уникальным кратчайшим путем, тогда как красный, желтый и синий пути по-прежнему имеют длину 12.

В математике метрическое пространство представляет собой множество с понятием расстояния между его элементами , обычно называемыми точками . Расстояние измеряется функцией , называемой метрикой или функцией расстояния . Метрические пространства являются наиболее общей средой для изучения многих концепций математического анализа и геометрии .

Самый знакомый пример метрического пространства — трехмерное евклидово пространство с обычным понятием расстояния. Другими известными примерами являются сфера, снабженная угловым расстоянием , и гиперболическая плоскость . Метрика может соответствовать метафорическому, а не физическому понятию расстояния: например, набор 100-символьных строк Юникода может быть снабжен расстоянием Хэмминга , которое измеряет количество символов, которые необходимо изменить, чтобы получить из одного строка к другому.

Поскольку метрические пространства очень общие, они являются инструментом, используемым во многих различных областях математики. Многие типы математических объектов имеют естественное понятие расстояния и поэтому допускают структуру метрического пространства, включая римановы многообразия , нормированные векторные пространства и графы . В абстрактной алгебре p - адические числа возникают как элементы пополнения метрической структуры рациональных чисел . Метрические пространства также самостоятельно изучаются в метрической геометрии. и анализ в метрических пространствах .

Многие из основных понятий математического анализа , включая шары , полноту , а также равномерную , липшицеву и непрерывность по Гельдеру , могут быть определены в рамках метрических пространств. Другие понятия, такие как непрерывность , компактность , а также открытые и замкнутые множества , могут быть определены для метрических пространств, но также и в еще более общей ситуации топологических пространств .

Определение и иллюстрация

Мотивация

Диаграмма, показывающая расстояние по большому кругу (голубой цвет) и расстояние по прямой (красный цвет) между двумя точками P и Q на сфере.

Чтобы увидеть полезность различных представлений о расстоянии, рассмотрим поверхность Земли как набор точек. Мы можем измерить расстояние между двумя такими точками длиной кратчайшего пути вдоль поверхности , « по прямой »; это особенно полезно для судоходства и авиации. Мы также можем измерить расстояние по прямой между двумя точками внутри Земли; это понятие, например, естественно в сейсмологии , поскольку оно примерно соответствует продолжительности времени, которое требуется сейсмическим волнам для прохождения между этими двумя точками.

К понятию расстояния, закодированному аксиомами метрического пространства, предъявляется относительно мало требований. Эта общность дает метрическим пространствам большую гибкость. В то же время это понятие достаточно сильное, чтобы закодировать множество интуитивных фактов о том, что означает расстояние. Это означает, что общие результаты о метрических пространствах могут применяться во многих различных контекстах.

Как и многие фундаментальные математические концепции, метрику в метрическом пространстве можно интерпретировать по-разному. Конкретную метрику лучше всего рассматривать не как измерение физического расстояния, а как стоимость перехода из одного состояния в другое (как в случае с метрикой Вассерштейна в пространствах мер ) или степень различия между двумя объектами (например, расстояние Хэмминга между двумя строками символов или расстояние Громова–Хаусдорфа между самими метрическими пространствами).

Определение

Формально метрическое пространство — это упорядоченная пара ( M , d ) , где M — множество, а d — метрика на M , т. е. функция

$$d\,\colon M\times M\to \mathbb {R}$$

удовлетворяющие следующим аксиомам для всех точек $x,y,z\in M$:

1. Расстояние от точки до самой себя равно нулю:
   $$d(x,x)=0$$
2. (Положительность) Расстояние между двумя различными точками всегда положительное:
   $${\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0$$
3. ( Симметрия ) Расстояние от x до y всегда такое же, как расстояние от y до x :
   $$d(x,y)=d(y,x)$$
4. имеет Неравенство треугольника место:
   $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$
   Это естественное свойство как физических, так и метафорических представлений о расстоянии: вы можете прийти к z из x , обогнув точку y , но это не сделает ваше путешествие короче, чем прямой путь.

Если метрика d однозначна, то часто, злоупотребляя обозначениями, называют «метрическое пространство М ».

Взяв все аксиомы, кроме второй, можно показать, что расстояние всегда неотрицательно:

$$0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$$

Поэтому вторую аксиому можно ослабить до ${\textstyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)\neq 0}$ и в сочетании с первым, кто сделал ${\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}$.

Простые примеры

Реальные цифры

Действительные числа с функцией расстояния $d(x,y)=|y-x|$ заданные абсолютной разностью, образуют метрическое пространство. Многие свойства метрических пространств и функций между ними являются обобщениями понятий реального анализа и совпадают с этими понятиями применительно к вещественной прямой.

Метрики в евклидовых пространствах

Сравнение чебышевского, евклидова и таксистного расстояний для гипотенузы треугольника 3-4-5 на шахматной доске

Евклидова плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ может быть оснащен множеством различных показателей. Евклидово расстояние, известное из школьной математики, можно определить по формуле

$$d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$$

Расстояние такси или Манхэттена ​ определяется

$$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$$

и его можно рассматривать как расстояние, которое вам нужно пройти по горизонтальным и вертикальным линиям, чтобы добраться из одной точки в другую, как показано в верхней части статьи.

Максимум ​ , $L^{\infty }$, или расстояние Чебышева определяется выражением

$$d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|\}.$$

Это расстояние не имеет простого объяснения с точки зрения путей на плоскости, но оно по-прежнему удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Это можно представить аналогично количеству ходов, которые король должен сделать на шахматной доске, чтобы переместиться из одной точки в другую на заданном пространстве.

Фактически, эти три расстояния, хотя и имеют разные свойства, в некотором смысле схожи. Неформально, точки, близкие в одном, близки и в других. Это наблюдение можно выразить количественно с помощью формулы

$$d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),$$

которое справедливо для каждой пары точек $p,q\in \mathbb {R} ^{2}$.

Совершенно другое расстояние можно определить, установив

$$d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Используя скобки Айверсона ,

$$d(p,q)=[p\neq q]$$

В этой дискретной метрике все различные точки находятся на расстоянии 1 единицы друг от друга: ни одна из них не находится близко друг к другу, и ни одна из них не находится очень далеко друг от друга. Интуитивно, дискретная метрика больше не помнит, что множество является плоскостью, а рассматривает его просто как недифференцированное множество точек.

Все эти показатели имеют смысл $\mathbb {R} ^{n}$ а также $\mathbb {R} ^{2}$.

Подпространства

Учитывая метрическое пространство ( M , d ) и подмножество $A\subseteq M$, мы можем считать A метрическим пространством, измеряя расстояния так же, как и в M . Формально индуцированная метрика на A — это функция $d_{A}:A\times A\to \mathbb {R}$ определяется

$$d_{A}(x,y)=d(x,y).$$

Например, если мы возьмем двумерную сферу S ² как подмножество $\mathbb {R} ^{3}$, евклидова метрика на $\mathbb {R} ^{3}$ индуцирует прямолинейную метрику на S ² описано выше. Еще два полезных примера — это открытый интервал (0, 1) и замкнутый интервал [0, 1], рассматриваемые как подпространства вещественной прямой.

История

В 1906 году Рене Морис Фреше представил метрические пространства в своей работе «О некоторых моментах функционального вычисления». в контексте функционального анализа : его основной интерес заключался в изучении вещественнозначных функций из метрического пространства, обобщении теории функций нескольких или даже бесконечного числа переменных, впервые разработанной такими математиками, как Чезаре Арсела . Идея была далее развита и помещена в надлежащий контекст Феликсом Хаусдорфом в его выдающемся труде «Принципы теории множеств » , который также ввел понятие (Хаусдорфа) топологического пространства .

Общие метрические пространства стали фундаментальной частью математической учебной программы. Яркие примеры метрических пространств в математических исследованиях включают римановы многообразия и нормированные векторные пространства, которые являются областью дифференциальной геометрии и функционального анализа соответственно. Фрактальная геометрия является источником некоторых экзотических метрических пространств. Другие возникли как пределы в результате изучения дискретных или гладких объектов, включая масштабно-инвариантные пределы в статистической физике , пространства Александрова, возникающие как пределы Громова – Хаусдорфа последовательностей римановых многообразий, а также границы и асимптотические конусы в геометрической теории групп . появилось множество новых приложений конечных и дискретных метрических пространств Наконец, в информатике .

Основные понятия

Функции расстояния достаточно, чтобы определить понятия близости и конвергенции, которые впервые были разработаны в реальном анализе . Свойства, зависящие от структуры метрического пространства, называются метрическими свойствами . Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством , и некоторые метрические свойства также можно перефразировать без ссылки на расстояние на языке топологии; то есть на самом деле они являются топологическими свойствами .

Топология метрического пространства

Для любой точки x в метрическом пространстве M и любого действительного числа r > 0 открытый шар радиуса r вокруг x определяется как набор точек, которые строго меньше расстояния r от x :

$$B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.$$

Это естественный способ определить набор точек, относительно близких к x . Таким образом, набор $N\subseteq M$ является окрестностью x ), если она содержит (неформально, она содержит все точки, «достаточно близкие» к x открытый шар радиуса r вокруг x для некоторого r > 0 .

— Открытое множество это множество, являющееся окрестностью всех своих точек. Отсюда следует, что открытые шары образуют основу топологии на M . Другими словами, открытые множества M представляют собой в точности объединения открытых шаров. Как и в любой топологии, закрытые множества являются дополнениями к открытым. Множества могут быть как открытыми, так и закрытыми, а также ни открытыми, ни закрытыми.

Эта топология не несет всей информации о метрическом пространстве. Например, определенные выше расстояния d1 _и , d2 _на ту же d∞ _{индуцируют одну и} топологию $\mathbb {R} ^{2}$, хотя во многом они ведут себя по-разному. Сходным образом, $\mathbb {R}$ с евклидовой метрикой и ее подпространством интервал (0, 1) с индуцированной метрикой гомеоморфен , но имеет совершенно разные метрические свойства.

И наоборот, не каждому топологическому пространству можно задать метрику. Топологические пространства, совместимые с метрикой, называются метризуемыми и во многих отношениях особенно хорошо себя ведут: в частности, они паракомпактны. Пространства Хаусдорфа (следовательно, нормальные ) и первичные счетные . Теорема о метризации Нагаты–Смирнова дает характеристику метризуемости в терминах других топологических свойств без ссылки на метрику.

Конвергенция

Сходимость последовательностей в евклидовом пространстве определяется следующим образом:

Последовательность ( xn _{если для} ) сходится к точке x каждого ε > 0 существует целое число N такое, что для всех > N d n ( xn , _x , ) <ε .

Сходимость последовательностей в топологическом пространстве определяется следующим образом:

Последовательность ( xn _, ) сходится к точке x если для каждого открытого множества U, x , существует целое число N такое, что для всех n > N содержащего $x_{n}\in U$.

В метрических пространствах оба эти определения имеют смысл и эквивалентны. Это общая закономерность топологических свойств метрических пространств: хотя их можно определить чисто топологическим способом, часто существует способ, использующий метрику, которую легче сформулировать или которая более знакома из реального анализа.

Полнота

Основная статья: Полное метрическое пространство

Неформально, метрическое пространство является полным, если в нем нет «недостающих точек»: каждая последовательность, которая выглядит так, будто должна к чему-то сходиться, на самом деле сходится.

Чтобы быть точным: последовательность ( x _n ) в метрическом пространстве M является Коши , если для каждого ε > 0 существует целое число N такое, что для всех m , n > N , d ( x _m , x _n ) < ε . Согласно неравенству треугольника, любая сходящаяся последовательность является Коши: если x _m и x _n находятся на расстоянии менее ε от предела, то они находятся на расстоянии менее 2ε друг от друга. Если верно обратное — каждая последовательность Коши в M сходится — то M полно.

Евклидовы пространства полны, как и $\mathbb {R} ^{2}$ с другими показателями, описанными выше. Двумя примерами неполных пространств являются (0, 1) и рациональные числа, каждое из которых имеет метрику, индуцированную из $\mathbb {R}$. Можно думать о (0, 1) как о «отсутствующих» его конечных точках 0 и 1. В рациональных числах отсутствуют все иррациональные числа, поскольку у любого иррационального числа есть последовательность рациональных чисел, сходящаяся к нему в $\mathbb {R}$ (например, его последовательные десятичные приближения). Эти примеры показывают, что полнота не является топологическим свойством, поскольку $\mathbb {R}$ полно, а гомеоморфное пространство (0, 1) — нет.

Это понятие «недостающих точек» можно уточнить. Фактически, каждое метрическое пространство имеет уникальное пополнение , которое представляет собой полное пространство, содержащее данное пространство как плотное подмножество. Например, [0, 1] — это завершение (0, 1) , а действительные числа — это завершение рациональных чисел.

Поскольку с полными пространствами обычно легче работать, пополнения важны в математике. Например, в абстрактной алгебре p -адические числа определяются как пополнение рациональных чисел при другой метрике. Завершение особенно распространено как инструмент функционального анализа . Часто у нас есть набор хороших функций и способ измерения расстояний между ними. Пополнение этого метрического пространства дает новый набор функций, который может быть менее приятным, но, тем не менее, полезным, поскольку во многих отношениях они ведут себя аналогично исходным хорошим функциям. Например, слабые решения дифференциальных уравнений обычно существуют в пополнении ( пространстве Соболева ), а не в исходном пространстве хороших функций, для которых дифференциальное уравнение действительно имеет смысл.

Ограниченные и вполне ограниченные пространства

Диаметр набора.

См. также: Ограниченное множество

Метрическое пространство M является ограниченным , если существует r такое, что ни одна пара точек в M не находится на расстоянии более чем r друг от друга. Наименьшее такое r называется диаметр ​ М. ​

Пространство M называется предкомпактным или вполне ограниченным если для любого r > 0 существует конечное покрытие M r открытыми шарами радиуса , . Всякое вполне ограниченное пространство ограничено. Чтобы убедиться в этом, начнём с конечного покрытия r -шарами для некоторого произвольного r . Поскольку подмножество M, состоящее из центров этих шаров, конечно, оно имеет конечный диаметр, скажем D . По неравенству треугольника диаметр всего пространства не превосходит D + 2 r . Обратное неверно: примером метрического пространства, которое ограничено, но не полностью ограничено, является $\mathbb {R} ^{2}$ (или любое другое бесконечное множество) с дискретной метрикой.

Компактность

Основная статья: Компактное пространство

Компактность — топологическое свойство, обобщающее свойства замкнутого и ограниченного подмножества евклидова пространства. Существует несколько эквивалентных определений компактности в метрических пространствах:

1. Метрическое пространство M называется компактным, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (обычное топологическое определение).
2. Метрическое пространство M называется компактным, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. (Для общих топологических пространств это называется секвенциальной компактностью и не эквивалентно компактности.)
3. Метрическое пространство M называется компактным, если оно полное и вполне ограниченное. (Это определение записано в терминах метрических свойств и не имеет смысла для общего топологического пространства, но тем не менее оно топологически инвариантно, поскольку эквивалентно компактности.)

Одним из примеров компакта является замкнутый интервал [0, 1] .

Компактность важна по тем же причинам, что и полнота: она позволяет легко находить пределы. Другим важным инструментом является лемма Лебега о числах , которая показывает, что для любого открытого покрытия компакта каждая точка находится относительно глубоко внутри одного из множеств покрытия.

Функции между метрическими пространствами

Диаграмма Эйлера типов функций между метрическими пространствами.

В отличие от топологических пространств или алгебраических структур, таких как группы или кольца не существует единственного «правильного» типа функции, сохраняющей структуру , между метрическими пространствами . Вместо этого человек работает с различными типами функций в зависимости от своих целей. Предположим, что на протяжении всего этого раздела $(M_{1},d_{1})$ и $(M_{2},d_{2})$ два метрических пространства. Слова «функция» и «карта» используются как взаимозаменяемые.

Изометрии

Основная статья: Изометрия

Одна из интерпретаций карты, «сохраняющей структуру», — это карта, которая полностью сохраняет функцию расстояния:

Функция $f:M_{1}\to M_{2}$ сохраняет дистанцию если для каждой пары точек x и y в M ₁ ,

$$d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).$$

Из аксиом метрического пространства следует, что функция, сохраняющая расстояние, инъективна. Биективная функция, сохраняющая расстояние, называется изометрией . Одним из, возможно, неочевидных примеров изометрии между пространствами, описанными в этой статье, является карта $f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })$ определяется

$$f(x,y)=(x+y,x-y).$$

существует изометрия Если между пространствами M1 _их и M2 _, называют изометрическими . Метрические пространства, которые являются изометрическими, по существу идентичны .

Непрерывные карты

Основная статья: Непрерывная функция (топология)

На другом конце спектра можно полностью забыть о метрической структуре и изучать непрерывные отображения , которые сохраняют только топологическую структуру. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности метрических пространств. Наиболее важными являются:

• Топологическое определение. Функция $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$ непрерывен, если для любого U из M2 _{прообраз} открытого множества $f^{-1}(U)$ открыт.
• Последовательная непрерывность . Функция $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$ является непрерывным, если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) сходится к точке x в M ₁ , последовательность $f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots$ сходится к точке f ( x ) в M ₂ .

(Эти первые два определения не эквивалентны для всех топологических пространств.)

• определение e-d. Функция $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$ если для каждой точки x из M1 _{непрерывным ,} и любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех y из M1 _{является} имеем
  $$d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .$$

Гомеоморфизм — это непрерывная биекция , обратная которой также непрерывна; существует гомеоморфизм между M1 _если и M2 _, они называются гомеоморфными . Гомеоморфные пространства одинаковы с точки зрения топологии, но могут иметь совершенно разные метрические свойства. Например, $\mathbb {R}$ неограниченно и полно, а (0, 1) ограничено, но не полно.

Равномерно непрерывные карты

Основная статья: Равномерная преемственность

Функция $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$ является равномерно непрерывным если для любого вещественного числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек x и y в M1 _, таких, что $d(x,y)<\delta$, у нас есть

$$d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .$$

Единственная разница между этим определением и определением непрерывности ε–δ — это порядок кванторов: выбор δ должен зависеть только от ε, а не от точки x . Однако это тонкое изменение имеет большое значение. Например, равномерно непрерывные отображения переводят последовательности Коши из M ₁ в последовательности Коши из M ₂ . Другими словами, равномерная непрерывность сохраняет некоторые метрические свойства, которые не являются чисто топологическими.

С другой стороны, теорема Гейне-Кантора утверждает, что если компактно _M1 , то любое непрерывное отображение равномерно непрерывно. Другими словами, равномерная непрерывность не может отличать какие-либо нетопологические особенности компактных метрических пространств.

Карты

Основная статья: непрерывность Липшица

Карта Липшица — это карта, которая растягивает расстояния не более чем в ограниченный раз. Формально, учитывая действительное число K > 0 , отображение $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$ является K - липшицевым, если

$$d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.$$

Карты Липшица особенно важны в метрической геометрии, поскольку они обеспечивают большую гибкость, чем карты, сохраняющие расстояние, но при этом существенно используют метрику. Например, кривая в метрическом пространстве спрямляема ( имеет конечную длину) тогда и только тогда, когда она имеет липшицеву перепараметризацию.

1-липшицево отображение иногда называют нерасширяющим или метрическим отображением . Метрические отображения обычно считаются морфизмами категории метрических пространств .

-липшицево отображение K для K < 1 называется сжатием . Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что если M — полное метрическое пространство, то каждое сжатие $f:M\to M$ допускает единственную неподвижную точку . Если метрическое пространство M компактно, результат верен для несколько более слабого условия на f : отображения $f:M\to M$ допускает единственную неподвижную точку, если

$$d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.$$

Квази-изометрии

Основная статья: Квазиизометрия

Квазиизометрия — это карта , сохраняющая «крупномасштабную структуру» метрического пространства. Квазиизометрии не обязательно должны быть непрерывными. Например, $\mathbb {R} ^{2}$ и его подпространство $\mathbb {Z} ^{2}$ квазиизометричны, хотя один из них связен, а другой дискретен. Отношение эквивалентности квазиизометрии важно в геометрической теории групп : лемма Шварца – Милнора утверждает, что все пространства, на которых группа действует геометрически, квазиизометричны.

Формально карта $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$ является квазиизометрическим вложением , если существуют константы A ≥ 1 и B ≥ 0 такие, что

$${\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.$$

Это квазиизометрия, если, кроме того, она квазисюръективна , т. е. существует константа C ≥ 0 такая, что каждая точка в $M_{2}$ находится на расстоянии не более C от некоторой точки изображения $f(M_{1})$.

пространства

См. также: Эквивалентность метрик.

Даны два метрических пространства $(M_{1},d_{1})$ и $(M_{2},d_{2})$:

• Они называются гомеоморфными (топологически изоморфными), если между ними существует гомеоморфизм (т. е. непрерывная биекция с непрерывным обратным). Если $M_{1}=M_{2}$ и тождественное отображение является гомеоморфизмом, то $d_{1}$ и $d_{2}$ называются топологически эквивалентными .
• Они называются униформическими (равномерно изоморфными), если между ними существует равномерный изоморфизм (т. е. равномерно непрерывная биекция с равномерно непрерывной обратной).
• Они называются билипшицевыми гомеоморфными, если между ними существует билипшицева биекция (т. е. липшицева биекция с липшицевой обратной).
• Они называются изометрическими , если между ними существует (биективная) изометрия . В этом случае два метрических пространства по существу идентичны.
• Они называются квазиизометрическими, если между ними существует квазиизометрия .

Метрические пространства с дополнительной структурой

Нормированные векторные пространства

Основная статья: Нормированное векторное пространство

Нормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженное нормой , которая представляет собой функцию, измеряющую длину векторов. Норму вектора v обычно обозначают через $\lVert v\rVert$. Любое нормированное векторное пространство можно снабдить метрикой, в которой расстояние между двумя векторами x и y определяется выражением

$$d(x,y)=\lVert x-y\rVert .$$

метрика d Говорят, что индуцирована нормой $\lVert {\cdot }\rVert$. Наоборот, метрика d в ​​векторном пространстве X если

• инвариант перевода: $d(x,y)=d(x+a,y+a)$ для каждого x , y и a в X ; и
• абсолютно однородный : $d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$ для каждого x и y в X и действительного числа α ;

то это метрика, индуцированная нормой

$$\lVert x\rVert =d(x,0).$$

Аналогичные отношения существуют между полунормами и псевдометриками .

индуцированных нормой, можно d1 _{назвать} , d2 _{метрики} и d∞ _{Среди примеров метрик ,} на $\mathbb {R} ^{2}$, которые индуцированы манхэттенской нормой , евклидовой нормой и максимальной нормой соответственно. В более общем смысле вложение Куратовского позволяет рассматривать любое метрическое пространство как подпространство нормированного векторного пространства.

Бесконечномерные нормированные векторные пространства, в частности пространства функций, изучаются в функциональном анализе . Полнота особенно важна в этом контексте: полное нормированное векторное пространство известно как банахово пространство . Необычным свойством нормированных векторных пространств является то, что линейные преобразования между ними непрерывны тогда и только тогда, когда они липшицевы. Такие преобразования известны как ограниченные операторы .

Длина пробелов

Одно из возможных приближений длины дуги кривой. Аппроксимация никогда не превышает длину дуги, что оправдывает определение длины дуги как супремума .

Основная статья: Внутренняя метрика

Кривая в метрическом пространстве ( M , d ) — непрерывная функция $\gamma :[0,T]\to M$. Длина ​ γ ​ измеряется

$$L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.$$

Вообще говоря, эта супремум может быть бесконечной; кривая конечной длины называется спрямляемой . Предположим, что длина кривой γ равна расстоянию между ее концами, то есть это кратчайший возможный путь между ее концами. После перепараметризации по длине дуги γ становится геодезической : кривой, которая является функцией, сохраняющей расстояние. Геодезическая – это кратчайший путь между любыми двумя ее точками.

Геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, допускающее геодезическую между любыми двумя своими точками. Пространства $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$ и $(\mathbb {R} ^{2},d_{2})$ оба являются геодезическими метрическими пространствами. В $(\mathbb {R} ^{2},d_{2})$, геодезические уникальны, но в $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$, между двумя точками часто бывает бесконечно много геодезических, как показано на рисунке вверху статьи.

Пространство M является пространством длин (или метрика d является внутренней ), если расстояние между любыми двумя точками x и y является нижней границей длин путей между ними. В отличие от геодезического метрического пространства, нижняя нижняя грань не обязательно должна достигаться. Примером пространства длины, которое не является геодезическим, является евклидова плоскость минус начало координат: точки (1, 0) и (-1, 0) могут быть соединены путями длины, сколь угодно близкой к 2, но не путем длина 2. Примером метрического пространства, которое не является пространством длины, является метрика прямой на сфере: прямая линия между двумя точками, проходящая через центр Земли, короче любого пути вдоль поверхности.

Для любого метрического пространства ( M , d ) можно определить новую внутреннюю функцию расстояния d, _{внутреннюю} на M, установив расстояние между точками x и y равным минимальной d -длине путей между ними. Например, если d — расстояние по прямой на сфере, то d _{внутреннее} — это расстояние по большому кругу. Однако в некоторых случаях d _{внутреннее значение} может иметь бесконечные значения. Например, если M — снежинка Коха с метрикой подпространства d, индуцированной из $\mathbb {R} ^{2}$, то результирующее внутреннее расстояние бесконечно для любой пары различных точек.

Римановы многообразия

Основная статья: Риманово многообразие

Риманово многообразие — это пространство, снабженное римановым метрическим тензором , который определяет длины касательных векторов в каждой точке. Это можно рассматривать как бесконечно малое определение понятия расстояния. В частности, дифференцируемый путь $\gamma :[0,T]\to M$ в римановом многообразии M имеет длину, определяемую как интеграл длины касательного вектора к пути:

$$L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.$$

На связном римановом многообразии расстояние между двумя точками определяется как нижняя грань длин гладких путей между ними. Эта конструкция обобщается на другие виды инфинитезимальных метрик на многообразиях, такие как субримановы и финслеровые метрики .

Риманова метрика однозначно определяется функцией расстояния; это означает, что в принципе вся информация о римановом многообразии может быть восстановлена ​​по его функции расстояния. Одним из направлений метрической геометрии является поиск чисто метрических ( «синтетических» ) формулировок свойств римановых многообразий. Например, риманово многообразие является CAT( k ) пространством (синтетическое условие, которое зависит исключительно от метрики) тогда и только тогда, когда его секционная кривизна ограничена сверху величиной k . Таким образом, пространства CAT( k ) обобщают верхние границы кривизны на общие метрические пространства.

Метрические пространства мер

В реальном анализе используются как метрика, так и $\mathbb {R} ^{n}$ и мера Лебега . Следовательно, обобщения многих идей анализа естественным образом находятся в метрических пространствах с мерой : пространствах, которые имеют как меру , так и метрику, совместимые друг с другом. Формально метрическое пространство с мерой — это метрическое пространство, снабженное борелевской регулярной мерой, такой, что каждый шар имеет положительную меру. Например, евклидовы пространства размерности n и, в более общем смысле, n -мерные римановы многообразия естественно имеют структуру метрического пространства с мерой, снабженного мерой Лебега . Некоторые фрактальные метрические пространства, такие как прокладка Серпинского, могут быть оснащены α-мерной мерой Хаусдорфа , где α — размерность Хаусдорфа . Однако в целом метрическое пространство может не иметь «очевидного» выбора меры.

Одним из применений метрических пространств с мерой является обобщение понятия кривизны Риччи за пределы римановых многообразий. Подобно тому, как пространства CAT( k ) и Александрова обобщают границы секционной кривизны, пространства RCD представляют собой класс пространств с метрической мерой, которые обобщают нижние границы кривизны Риччи.

Дальнейшие примеры и приложения

Графы и конечные метрические пространства

А Метрическое пространство дискретно , если его индуцированная топология является дискретной топологией . Хотя многие понятия, например полнота и компактность, для таких пространств не представляют интереса, тем не менее они являются объектом изучения в ряде разделов математики. В частности, конечные метрические пространства (имеющие конечное число точек) изучаются в комбинаторике и теоретической информатике . Особенно хорошо изучены вложения в другие метрические пространства. Например, не каждое конечное метрическое пространство может быть изометрически вложено в евклидово или гильбертово пространство . С другой стороны, в худшем случае требуемое искажение (константа билипшица) является лишь логарифмическим по числу точек.

Для любого неориентированного связного графа G множество V вершин G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние между вершинами x и y как длину кратчайшего реберного пути, соединяющего их. Это также называется расстоянием кратчайшего пути или геодезическим расстоянием . В геометрической теории групп эта конструкция применяется к графу Кэли (обычно бесконечной) конечно порожденной группы , давая слово метрику . С точностью до билипшицевого гомеоморфизма словесная метрика зависит только от группы, а не от выбранного конечного порождающего множества.

Расстояния между математическими объектами

В современной математике часто изучаются пространства, точки которых сами являются математическими объектами. Функция расстояния в таком пространстве обычно направлена ​​на измерение несходства между двумя объектами. Вот несколько примеров:

• Функции метрического пространства. Если X — любое множество, а M — метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций $f\colon X\to M$ (т.е. те функции, образ которых является ограниченным подмножеством $M$) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние между двумя ограниченными функциями f и g как
  $$d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).$$
  Эта метрика называется равномерной метрикой или супремум-метрикой. Если M полно, то и это функциональное пространство полно; при этом, если X также является топологическим пространством, то подпространство, состоящее из всех ограниченных непрерывных функций из X в M, также является полным. Когда X является подпространством $\mathbb {R} ^{n}$это функциональное пространство известно как классическое пространство Винера .
• Строковые метрики и редактирование расстояний . Существует множество способов измерения расстояний между строками символов , которые могут представлять собой предложения в компьютерной лингвистике или кодовые слова в теории кодирования . Расстояния редактирования пытаются измерить количество изменений, необходимых для перехода от одной строки к другой. Например, расстояние Хэмминга измеряет минимальное количество необходимых замен, а расстояние Левенштейна измеряет минимальное количество делеций, вставок и замен; оба из них можно рассматривать как расстояния на соответствующем графике.
• Расстояние редактирования графа — это мера несходства между двумя графами , определяемая как минимальное количество операций редактирования графа, необходимых для преобразования одного графа в другой.
• Метрики Вассерштейна измеряют расстояние между двумя мерами в одном и том же метрическом пространстве. Расстояние Вассерштейна между двумя мерами — это, грубо говоря, стоимость переноса одной в другую.
• Множество всех m размером на n матриц над некоторым полем является метрическим пространством относительно рангового расстояния. $d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)$.
• Метрика Хелли в теории игр измеряет разницу между стратегиями в игре.

Хаусдорфа и Громова

Идея пространств математических объектов также может быть применена к подмножествам метрического пространства, а также к самим метрическим пространствам. Расстояние Хаусдорфа и расстояние Громова–Хаусдорфа определяют метрики на множестве компактных подмножеств метрического пространства и множестве компактных метрических пространств соответственно.

Предположим ( M , d ) — метрическое пространство, и пусть S подмножество M. — Расстояние от S до точки x из M , неформально, является расстоянием от x до ближайшей S. точки Однако, поскольку ни одной ближайшей точки может не быть, она определяется через нижнюю границу :

$$d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.$$

В частности, $d(x,S)=0$ тогда и только тогда, x принадлежит замыканию S когда . Более того, расстояния между точками и множествами удовлетворяют версии неравенства треугольника:

$$d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),$$

и поэтому карта $d_{S}:M\to \mathbb {R}$ определяется $d_{S}(x)=d(x,S)$ является непрерывным. Между прочим, это показывает, что метрические пространства вполне регулярны .

Учитывая два подмножества S и T из M , их расстояние Хаусдорфа равно

$$d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.$$

Неформально, два множества S и T близки друг к другу на расстоянии Хаусдорфа, если ни один элемент S не находится слишком далеко от T , и наоборот. Например, если S — открытое множество в евклидовом пространстве, T — ε-сеть внутри S , то $d_{H}(S,T)<\varepsilon$. В общем случае расстояние Хаусдорфа $d_{H}(S,T)$ может быть бесконечным или нулевым. Однако расстояние Хаусдорфа между двумя различными компактами всегда положительно и конечно. Таким образом, расстояние Хаусдорфа определяет метрику на множестве компактных подмножеств M .

Метрика Громова – Хаусдорфа определяет расстояние между (классами изометрии) компактных метрических пространств. Расстояние Громова–Хаусдорфа между компактами X и Y является нижней границей расстояния Хаусдорфа над всеми метрическими пространствами Z , которые содержат X и Y в качестве подпространств. Хотя точное значение расстояния Громова – Хаусдорфа редко бывает полезно знать, полученная топология нашла множество применений.

Разные примеры

• Учитывая метрическое пространство ( X , d ) и возрастающую вогнутую функцию $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$ такой, что f ( t ) = 0 тогда и только тогда, когда t = 0 , тогда $d_{f}(x,y)=f(d(x,y))$ также является метрикой X . Если ж ( т ) = т ^а для некоторого действительного числа α < 1 метрика известна как снежинка d такая .
• Узкая оболочка метрического пространства — это еще одно метрическое пространство, которое можно рассматривать как абстрактную версию выпуклой оболочки .
• — Метрика хода коня минимальное количество ходов коня, необходимое для достижения одной точки в $\mathbb {Z} ^{2}$ от другого, является показателем $\mathbb {Z} ^{2}$.
• Метрика British Rail (также называемая «метрикой почтового отделения» или « метрикой SNCF ») в нормированном векторном пространстве определяется выражением $d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert$ для отдельных точек $x$ и $y$, и $d(x,x)=0$. В более общем плане $\lVert \cdot \rVert$ можно заменить функцией $f$ берём произвольный набор $S$ к неотрицательным действительным числам и приняв значение $0$ не более одного раза: тогда метрика определяется на $S$ к $d(x,y)=f(x)+f(y)$ для отдельных точек $x$ и $y$, и $d(x,x)=0$. Название намекает на тенденцию железнодорожных перевозок проходить через Лондон (или Париж) независимо от конечного пункта назначения.
• Метрика Робинсона-Фулдса, используемая для расчета расстояний между филогенетическими деревьями в филогенетике.

Конструкции

Метрики продукта

Основная статья: Метрика продукта

Если $(M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})$ — метрические пространства, а N — евклидова норма на $\mathbb {R} ^{n}$, затем ${\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}$ представляет собой метрическое пространство, где метрика произведения определяется формулой

$$d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},$$

и индуцированная топология согласуется с топологией произведения . Путем эквивалентности норм в конечных измерениях топологически эквивалентная метрика получается, если N — норма такси , p-норма , максимальная норма или любая другая норма, которая не убывает как координаты положительного n -кратного увеличения. (что приводит к неравенству треугольника).

Аналогично метрика топологического произведения счетного числа метрических пространств может быть получена с помощью метрики

$$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.$$

Топологическое произведение бесчисленного числа метрических пространств не обязательно должно быть метризуемым. Например, несчетное произведение копий $\mathbb {R}$ не является счетным и, следовательно, не метризуемым.

Факторнометрические пространства

Если M — метрическое пространство с метрикой d и $\sim$ является отношением эквивалентности на M , то мы можем наделить фактормножество $M/\!\sim$ с псевдометрикой. Расстояние между двумя классами эквивалентности $[x]$ и $[y]$ определяется как

$$d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},$$

где нижняя грань берется по всем конечным последовательностям $(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ и $(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ с $p_{1}\sim x$, $q_{n}\sim y$, $q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1$. В общем, это будет определять только псевдометрику , т.е. $d'([x],[y])=0$ не обязательно означает, что $[x]=[y]$. Однако для некоторых отношений эквивалентности (например, заданных склейкой многогранников по граням) $d'$ является метрикой.

Факторная метрика $d'$ характеризуется следующим универсальным свойством . Если $f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )$ является метрическим (т.е. 1-липшицевым) отображением между метрическими пространствами, удовлетворяющим f ( x ) = f ( y ), когда бы $x\sim y$, то индуцированная функция ${\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X$, заданный ${\overline {f}}([x])=f(x)$, представляет собой метрическое отображение ${\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta ).$

Фактор-метрика не всегда индуцирует фактор-топологию . Например, топологический фактор метрического пространства $\mathbb {N} \times [0,1]$ определение всех точек формы $(n,0)$ не метризуемо, поскольку не является счетным в первую очередь , но факторметрика является четко определенной метрикой на том же множестве, что приводит к более грубой топологии . Более того, разные метрики исходного топологического пространства (непересекающегося объединения счетного числа интервалов) приводят к разным топологиям фактора.

Топологическое пространство является секвенциальным тогда и только тогда, когда оно является (топологическим) фактором метрического пространства.

Обобщения метрических пространств

Существует несколько понятий пространств, которые имеют меньшую структуру, чем метрическое пространство, но большую, чем топологическое пространство.

• Равномерные пространства — это пространства, в которых не определены расстояния, но определена равномерная непрерывность.
• Пространства подхода — это пространства, в которых определены расстояния между точками вместо расстояний между точками. Они обладают особенно хорошими свойствами с точки зрения теории категорий .
• Пространства непрерывности — это обобщение метрических пространств и частично упорядоченных множеств , которое можно использовать для унификации понятий метрических пространств и областей .

Существует также множество способов ослабить аксиомы метрики, что приводит к возникновению различных понятий обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрики часто происходят от полунорм векторных пространств, поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию этого термина в топологии .

Расширенные показатели

Некоторые авторы определяют метрики так, чтобы позволить функции расстояния d достигать значения ∞, т. е. расстояния представляют собой неотрицательные числа на расширенной прямой вещественных чисел . Такую функцию еще называют расширенной метрикой или «∞-метрикой». Любую расширенную метрику можно заменить вещественной метрикой, топологически эквивалентной. Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, равной нулю в нуле, например $d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ или $d''(x,y)=\min(1,d(x,y))$.

Метрики, оцениваемые в структурах, отличных от действительных чисел

Требование, чтобы метрика принимала значения в $[0,\infty )$ можно упростить, рассматривая метрики со значениями в других структурах, в том числе:

• Упорядоченные поля , дающие понятие обобщенной метрики .
• Более общие направленные множества . В отсутствие операции сложения неравенство треугольника не имеет смысла и заменяется ультраметрическим неравенством . Это приводит к понятию обобщенной ультраметрики .

Эти обобщения по-прежнему приводят к однородной структуре пространства.

Псевдометрия

Основная статья: Псевдометрическое пространство

Псевдометрика ​ на $X$ это функция $d:X\times X\to \mathbb {R}$ удовлетворяющее аксиомам метрики, с той лишь разницей, что вместо второго (тождества неразличимых) только $d(x,x)=0$ для всех $x$ требуется. Другими словами, аксиомы псевдометрики таковы:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,x)=0$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

В некоторых контекстах псевдометрики называются полуметриками. из-за их отношения к полунормам .

Квазиметрика

Иногда квазиметрику определяют как функцию, которая удовлетворяет всем аксиомам метрики, за возможным исключением симметрии. Название этого обобщения не совсем стандартизировано.

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\iff x=y$
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Квазиметрика широко распространена в реальной жизни. Например, для набора X горных деревень типичное время ходьбы между элементами X образует квазиметрику, поскольку путешествие в гору занимает больше времени, чем путешествие вниз. Другой пример — продолжительность поездки на автомобиле в городе с улицами с односторонним движением: здесь кратчайший путь из точки А в точку Б проходит по другому набору улиц, чем кратчайший путь из Б в А , и может иметь разную длину.

Квазиметрика действительных чисел может быть определена, установив

$$d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

1 можно заменить, например, на бесконечность или на $1+{\sqrt {y-x}}$ или любая другая субаддитивная функция от y - x . Эта квазиметрика описывает стоимость модификации металлической палочки: ее размер легко уменьшить, запилив , но вырастить ее сложно или невозможно.

Учитывая квазиметрику на X , можно определить R -шар вокруг x как множество $\{y\in X|d(x,y)\leq R\}$. Как и в случае с метрикой, такие шары образуют основу топологии на X , но эта топология не обязательно должна быть метризуемой. Например, топология, индуцированная квазиметрикой вещественных чисел, описанных выше, представляет собой (перевернутую) линию Соргенфрея .

Метаметрика или частичные метрики

В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики таковы:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\implies x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

Метаметрика возникает при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика такого пространства удовлетворяет $d(x,x)=0$ за баллы $x$ на границе, но иначе $d(x,x)$ это примерно расстояние от $x$ до границы. Метаметрика была впервые определена Юсси Вяйсяля. В других работах функцию, удовлетворяющую этим аксиомам, называют частичной метрикой. или смещенная метрика .

Полуметрика

Полуметрика ​ на $X$ это функция $d:X\times X\to \mathbb {R}$ которое удовлетворяет первым трем аксиомам, но не обязательно неравенству треугольника:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\iff x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

$d(x,z)\leq \rho \,(d(x,y)+d(y,z))$	ρ-расслабленное неравенство треугольника
$d(x,z)\leq \rho \,\max\{d(x,y),d(y,z)\}$	ρ-инфрамметрическое неравенство

Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-ослабленное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-ослабленного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полуметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называют квазиметриками . околометрика или инфраметрика .

ρ-инфрамметрические неравенства были введены для моделирования времени двусторонней задержки в Интернете . Из неравенства треугольника следует 2-инфраметрическое неравенство, а из ультраметрического неравенства — это в точности 1-инфраметрическое неравенство.

Premetrics

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики , то есть функции, удовлетворяющей следующим условиям:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,x)=0$

Это не стандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений метрик, таких как псевдосемиметрика. или псевдометрика; в переводах русских книг оно иногда выступает как «праметрическое». Преметрика, удовлетворяющая симметрии, т. е. псевдосемиметрика, также называется расстоянием.

Любая преметрика порождает следующую топологию. Для позитивного реального $r$, $r$-шар с центром в точке $p$ определяется как

$B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.$

Множество называется открытым, если для любой точки $p$ в наборе есть $r$-шар с центром в $p$ который содержится в наборе. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и фактически секвенциальным пространством .В целом, $r$-шары сами по себе не обязательно должны быть открытыми множествами относительно этой топологии. Что касается метрик, то расстояние между двумя множествами $A$ и $B$, определяется как

$d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).$

Это определяет преметрику на множестве степеней преметрического пространства. Если мы начнем с (псевдополу)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть симметричную преметрику.Любая преметрика порождает оператор предварительного замыкания. $cl$ следующее:

$cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.$

Псевдоквазиметрика

Префиксы псевдо- , квази- и полу- также можно комбинировать, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой ) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытая $r$-шарики составляют основу открытых наборов. Самый простой пример псевдоквазиметрического пространства — это множество $\{0,1\}$ с предварительной метрикой, заданной $d(0,1)=1$ и $d(1,0)=0.$ Соответствующее топологическое пространство — пространство Серпинского .

Множества, оснащенные расширенной псевдоквазиметрикой, изучались Уильямом Лоувером как «обобщенные метрические пространства». С категориальной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями являются лучшими из категорий метрических пространств . Можно взять произвольные продукты и копродукции и сформировать факторобъекты внутри данной категории. Если отбросить «расширенное», можно будет брать только конечные произведения и копроизведения. Если отбросить слово «псевдо», то нельзя брать частное.

Лоувер также дал альтернативное определение таких пространств как обогащенных категорий . Заказанный набор $(\mathbb {R} ,\geq )$ можно рассматривать как категорию с одним морфизмом $a\to b$ если $a\geq b$ и никак иначе. Использование + в качестве тензорного произведения и 0 в качестве тождества превращает эту категорию в моноидальную категорию. $R^{*}$.Каждое (расширенное псевдоквази)метрическое пространство $(M,d)$ теперь можно рассматривать как категорию $M^{*}$ обогатился более чем $R^{*}$:

• Объектами категории являются точки M .
• Для каждой пары точек x и y такой, что $d(x,y)<\infty$, существует единственный морфизм, которому присвоен объект $d(x,y)$ из $R^{*}$.
• Неравенство треугольника и тот факт, что $d(x,x)=0$ для всех точек x вытекают из свойств состава и идентичности в обогащенной категории.
• С $R^{*}$ является частично упорядоченным набором, все диаграммы , необходимые для расширенной категории, коммутируют автоматически.

Метрики на мультимножествах

Понятие метрики можно обобщить от расстояния между двумя элементами до числа, присвоенного мультимножеству элементов. Мультимножество — это обобщение понятия множества , в котором элемент может встречаться более одного раза. Определите объединение мультимножеств $U=XY$ следующим образом: если элемент x встречается m раз в X и n раз в Y, он встречается m + n раз в U. то Функция d на множестве непустых конечных мультимножеств элементов множества M называется метрикой если

1. $d(X)=0$ если все элементы X равны и $d(X)>0$ в противном случае ( положительная определенность )
2. $d(X)$ зависит только от (неупорядоченного) мультимножества X ( симметрия )
3. $d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)$ ( неравенство треугольника )

Рассмотрев случаи аксиом 1 и 2, когда мультимножество X имеет два элемента, и случай аксиомы 3, когда мультимножества X , Y и Z имеют по одному элементу каждое, восстанавливаются обычные аксиомы для метрики. То есть каждая метрика мультимножества дает обычную метрику, если ограничиться наборами из двух элементов.

Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств. $X$ целых чисел с $d(X)=\max(X)-\min(X)$. Более сложные примеры: информационное расстояние в мультимножествах; и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультинаборах.

См. также

• Акустическая метрика - Тензор, характеризующий свойства передачи сигнала в среде.
• Полное метрическое пространство - Метрическая геометрия
• Разнообразие (математика) - Обобщение метрических пространств.
• Глоссарий римановой и метрической геометрии - Математический глоссарий
• Четвертая проблема Гильберта . Постройте все метрические пространства, в которых линии напоминают линии на сфере.
• Метрическое дерево
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Функция расстояния со знаком — расстояние от точки до границы набора.
• Мера сходства - функция с действительным знаком, которая количественно определяет сходство между двумя объектами.
• Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Ультраметрическое пространство - Тип метрического пространства.

Ссылки

• Альдрованди, Рубен; Перейра, Хосе Джеральдо (2017), Введение в геометрическую физику (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 20, ISBN  978-981-3146-81-5 , МР   3561561
• Архангельский, А.В. ; Понтрягин, Л.С. (1990), Общая топология I: основные понятия и конструкции Теория размерности , Энциклопедия математических наук, Springer , ISBN  3-540-18178-4
• Брайант, Виктор (1985). Метрические пространства: Итерация и применение . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31897-1 .
• Булдыгин В.В.; Козаченко, Ю. В. (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов , Переводы математических монографий, вып. 188, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 129, номер домена : 10.1090/mmono/188 , ISBN  0-8218-0533-9 , МР   1743716
• Бураго, Дмитрий ; Бураго, Юрий ; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2129-6 .
• Чех, Эдуард (1969). Наборы точек . Академическая пресса. ISBN  0121648508 .
• Коэн, Эндрю Р.; Витаньи, Пол МБ (2012), «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями», Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту , 37 (8): 1602–1614, arXiv : 1212.5711 , doi : 10.1109/TPAMI.2014.2375175 , PMC   4566858 , PMID   26352998
• Деза, Мишель Мари ; Лоран, Моник (1997), Геометрия разрезов и метрик , Алгоритмы и комбинаторика, том. 15, Шпрингер-Ферлаг, Берлин, стр. 27, номер домена : 10.1007/978-3-642-04295-9 , ISBN  3-540-61611-Х , МР   1460488
• Франьио, П.; Лебхар, Э.; Вьенно, Л. (2008), «Инфреймрическая модель для Интернета», 2008 IEEE INFOCOM — 27-я конференция по компьютерным коммуникациям , стр. 1085–1093, CiteSeerX   10.1.1.113.6748 , doi : 10.1109/INFOCOM.2008.163 , ISBN  978-1-4244-2026-1 , S2CID   5733968
• Громов, Михаил (2007). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-4582-3 .
• Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95104-0 .
• Хейнонен, Юха (24 января 2007 г.). «Негладкое исчисление» . Бюллетень Американского математического общества . 44 (2): 163–232. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01140-8 .
• Хелемский, А.Я. (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу , Переводы математических монографий, вып. 233, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 14, номер домена : 10.1090/mmono/233 , ISBN  978-0-8218-4098-6 , МР   2248303
• Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони (19 апреля 2016 г.). Математические аспекты семантики логического программирования . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4398-2962-2 .
• Ловер, Ф. Уильям (декабрь 1973 г.). «Метрические пространства, обобщенная логика и закрытые категории». Доклады миланского математического и физического семинара . 43 (1): 135–166. дои : 10.1007/BF02924844 . S2CID   1845177 .
• Маргалит, Дэн ; Томас, Энн (2017). «Приемный час 7. Квази-изометрии» . Часы работы с теоретиком геометрической группы . Издательство Принстонского университета. стр. 125–145. ISBN  978-1-4008-8539-8 . JSTOR   j.ctt1vwmg8g.11 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011), Топологические векторные пространства , Чистая и прикладная математика (второе изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN  978-1584888666 , OCLC   144216834
• О Серкоид, Мишель (2006). Метрические пространства . Лондон: Спрингер. ISBN  1-84628-369-8 .
• Пападопулос, Атанас (2014). Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна (Второе изд.). Цюрих, Швейцария: Европейское математическое общество . ISBN  978-3-03719-132-3 .
• Ролевич, Стефан (1987). Функциональный анализ и теория управления: линейные системы . Спрингер . ISBN  90-277-2186-6 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-Х . ОСЛК   1502474 .
• Смит, М. (1988), «Квазиоднородности: согласование областей с метрическими пространствами», в Мэйн, М.; Мелтон, А.; Мислов, М.; Шмидт, Д. (ред.), Математические основы семантики языков программирования , Конспект лекций по информатике, том. 298, Springer-Verlag, стр. 236–253, номер документа : 10.1007/3-540-19020-1_12 , ISBN.  978-3-540-19020-2
• Стин, Линн Артур; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии . Дувр . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .
• Витаньи, Пол МБ (2011). «Информационная дистанция кратна». Транзакции IEEE по теории информации . 57 (4): 2451–2456. arXiv : 0905.3347 . дои : 10.1109/TIT.2011.2110130 . S2CID   6302496 .
• Вяйсяля, Юсси (2005). «Гиперболические пространства Громова» (PDF) . Математические изложения . 23 (3): 187–231. дои : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 . МР   2164775 .
• Викерс, Стивен (2005). «Локальное пополнение обобщенных метрических пространств I» . Теория и приложения категорий . 14 (15): 328–356. МР   2182680 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Метрика продукта» . Математический мир .
• Ся, Цинлань (2008). «Задача геодезии в околометрических пространствах». Журнал геометрического анализа . 19 (2): 452–479. arXiv : 0807.3377 . дои : 10.1007/s12220-008-9065-4 . S2CID   17475581 .
• Ся, К. (2009). «Задача геодезии в квазиметрических пространствах». Журнал геометрического анализа . 19 (2): 452–479. arXiv : 0807.3377 . дои : 10.1007/s12220-008-9065-4 . S2CID   17475581 .

Внешние ссылки

• «Метрическое пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Далеко и близко — несколько примеров функций расстояния при разрезании узла .