Вложение Куратовского

В математике вложение Куратовского позволяет рассматривать любое метрическое пространство как подмножество некоторого банахова пространства . Он назван в честь Казимира Куратовского .

Утверждение, очевидно, справедливо и для пустого пространства.Если ( X , d ) — метрическое пространство, x ₀ — точка в X , а C _b ( X ) обозначает банахово пространство всех ограниченных непрерывных вещественных функций на X с супремум-нормой , то отображение

$\Phi :X\rightarrow C_{b}(X)$

определяется

$\Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X$

это изометрия .

Приведенную выше конструкцию можно рассматривать как вложение заостренного метрического пространства в банахово пространство.

Теорема Куратовского–Войдиславского что каждое ограниченное метрическое пространство X изометрично замкнутому подмножеству выпуклого подмножества утверждает , некоторого банахового пространства. (Обратите внимание: образ этого вложения замкнут в выпуклом подмножестве, а не обязательно в банаховом пространстве.) Здесь мы используем изометрию

$\Psi :X\rightarrow C_{b}(X)$

определяется

$\Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X$

Выпуклое множество, упомянутое выше, является выпуклой оболочкой Ψ( X ).

В обеих этих теоремах вложения мы можем заменить C _b ( X ) банаховым пространством ℓ  ^∞ ( X ) всех ограниченных функций X → R , опять же с нормой супремума, поскольку C _b ( X ) является замкнутым линейным подпространством в ℓ  ^∞ ( Х ).

Эти результаты встраивания полезны, поскольку банаховы пространства обладают рядом полезных свойств, присущих не всем метрическим пространствам: они являются векторными пространствами , которые позволяют добавлять точки и выполнять элементарную геометрию, включающую линии и плоскости и т. д.; и они полные . Учитывая функцию с кодоменом X , часто желательно расширить эту функцию до более крупного домена, и это часто требует одновременного расширения кодомена до банахова пространства, X. содержащего

История

Формально говоря, это вложение впервые было введено Куратовским , но очень близкий вариант этого вложения появляется уже в работах Фреше . Эти статьи используют вложение соответственно для демонстрации $\ell ^{\infty }$ как «универсальное» сепарабельное метрическое пространство (оно само по себе не сепарабельно, отсюда и пугающие кавычки) и построить общую метрику на $\mathbb {R}$ возвращая метрику на простой жордановой кривой в $\ell ^{\infty }$.

См. также

• Tight span — вложение любого метрического пространства в инъективное метрическое пространство, определяемое аналогично вложению Куратовского.