Разнообразие (математика)

В математике разнообразие — это обобщение понятия метрического пространства . Концепция была представлена ​​в 2012 году Брайантом и Таппером. которые называют разнообразие «формой многофакторной метрики». Концепция находит применение в нелинейном анализе.

Учитывая набор $X$, позволять $\wp _{\mbox{fin}}(X)$ — множество конечных подмножеств $X$.Разнообразие – это пара $(X,\delta )$ состоящий из набора $X$ и функция $\delta \colon \wp _{\mbox{fin}}(X)\to \mathbb {R}$ удовлетворяющий

(Д1) $\delta (A)\geq 0$, с $\delta (A)=0$ тогда и только тогда, когда $\left|A\right|\leq 1$

и

(D2) если $B\neq \emptyset$ затем $\delta (A\cup C)\leq \delta (A\cup B)+\delta (B\cup C)$.

Брайант и Таппер отмечают, что эти аксиомы подразумевают монотонность; то есть, если $A\subseteq B$, затем $\delta (A)\leq \delta (B)$. Они утверждают, что термин «разнообразие» возник в результате появления частного случая их определения в работах по филогенетическому и экологическому разнообразию. Они приводят следующие примеры:

Разнообразие диаметров

Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством. Параметр $\delta (A)=\max _{a,b\in A}d(a,b)=\operatorname {diam} (A)$ для всех $A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)$ определяет разнообразие.

$L_{1}$ разнообразие

Для всех конечных $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ если мы определим $\delta (A)=\sum _{i}\max _{a,b}\left\{\left|a_{i}-b_{i}\right|\colon a,b\in A\right\}$ затем $(\mathbb {R} ^{n},\delta )$ это разнообразие.

разнообразие

Если T — филогенетическое дерево с таксонов X. набором Для каждого конечного $A\subseteq X$, определять $\delta (A)$ как длина наименьшего поддерева T , соединяющего таксоны в A . Затем $(X,\delta )$ представляет собой (филогенетическое) разнообразие.

Разнообразие Штайнера

Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством. Для каждого конечного $A\subseteq X$, позволять $\delta (A)$ обозначатьминимальная длина дерева Штейнера в пределах X, соединяющих элементы в A . Затем $(X,\delta )$ эторазнообразие.

Урезанное разнообразие

Позволять $(X,\delta )$ быть разнообразием. Для всех $A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)$ определять $\delta ^{(k)}(A)=\max \left\{\delta (B)\colon |B|\leq k,B\subseteq A\right\}$. Тогда, если $k\geq 2$, $(X,\delta ^{(k)})$ это разнообразие.

Разнообразие клик

Если $(X,E)$ представляет собой график , и $\delta (A)$ определяется для любого конечного A как наибольшая клика A то , $(X,\delta )$ это разнообразие.