Лемма Шварца–Милнора

В математическом предмете геометрической теории групп лемма Шварца -Милнора (иногда также называемая леммой Милнора-Шварца , причем в обоих вариантах Шварц иногда пишется как Шварц) представляет собой утверждение, в котором говорится, что группа $G$, оснащенный «красивым» дискретным изометрическим действием на метрическом пространстве $X$, квазиизометрично ​ $X$.

до того, как было формально введено понятие квазиизометрии . Этот результат в другой форме восходит к работе Альберта С. Шварца (1955) и Джон Милнор (1968). Пьер де ла Арп назвал лемму Шварца – Милнора « фундаментальным наблюдением геометрической теории групп ». ввиду его важности для предмета. Иногда для этого утверждения теперь используется название «фундаментальное наблюдение в геометрической теории групп» вместо того, чтобы называть его леммой Шварца – Милнора; см., например, теорему 8.2 в книге Фарба и Маргалита.

Точное утверждение

В литературе существует несколько незначительных вариаций формулировки леммы. Здесь мы следуем версии, изложенной в книге Бридсона и Хефлигера (см. там предложение 8.19 на стр. 140).

Позволять $G$ группа, действующая изометриями в пространстве собственной длины $X$ такое, что действие собственно разрывное и кокомпактное .

Затем группа $G$ конечно порождено и для любого конечного порождающего множества $S$ из $G$ и каждая точка $p\in X$ карта орбиты

$f_{p}:(G,d_{S})\to X,\quad g\mapsto gp$

является квазиизометрией .

Здесь $d_{S}$ это слово метрика на $G$ соответствующий $S$.

Иногда правильно разрывное кокомпактное изометрическое действие группы $G$ в собственном геодезическом метрическом пространстве $X$ называется геометрическим действием.

Объяснение терминов

Напомним, что метрическое пространство $X$ является правильным, если каждый замкнутый шар в $X$ компактен ​ .

Действие $G$ на $X$ является правильно разрывным, если для любого компакта $K\subseteq X$ набор

$\{g\in G\mid gK\cap K\neq \varnothing \}$

конечно.

Действие $G$ на $X$ кокомпактно , если фактор-пространство $X/G$, оснащенный фактортопологией , компактен. При остальных предположениях леммы Шварца–Милнора условие кокомпактности эквивалентно существованию замкнутого шара $B$ в $X$ такой, что

$\bigcup _{g\in G}gB=X.$

Примеры применения леммы Шварца–Милнора.

Примеры с 1 по 5 ниже см. на стр. 89–90 в книге де ла Гарпа. Пример 6 является отправной точкой части статьи Рихарда Шварца .

1. Для каждого $n\geq 1$ группа $\mathbb {Z} ^{n}$ квазиизометрично евклидову пространству $\mathbb {R} ^{n}$.
2. Если $\Sigma$ является замкнутой связной ориентированной поверхностью отрицательной эйлеровой характеристики , то фундаментальная группа $\pi _{1}(\Sigma )$ квазиизометрична гиперболической плоскости $\mathbb {H} ^{2}$.
3. Если $(M,g)$ — замкнутое связное гладкое многообразие с гладкой римановой метрикой $g$ затем $\pi _{1}(M)$ квазиизометричен $({\tilde {M}},d_{\tilde {g}})$, где ${\tilde {M}}$ это универсальная обложка $M$, где ${\tilde {g}}$ это откат назад $g$ к ${\tilde {M}}$, и где $d_{\tilde {g}}$ это метрика пути на ${\tilde {M}}$ определяется римановой метрикой ${\tilde {g}}$.
4. Если $G$ — связная конечномерная группа Ли, снабженная левоинвариантной римановой метрикой и соответствующей метрикой пути, и если $\Gamma \leq G$ является однородной решеткой, тогда $\Gamma$ квазиизометричен $G$.
5. Если $M$ является замкнутым гиперболическим 3-многообразием, то $\pi _{1}(M)$ квазиизометричен $\mathbb {H} ^{3}$.
6. Если $M$ — полное гиперболическое 3-многообразие конечного объема с точками возврата, то $\Gamma =\pi _{1}(M)$ квазиизометричен $\Omega =\mathbb {H} ^{3}-{\mathcal {B}}$, где ${\mathcal {B}}$ это определенный $\Gamma$-инвариантный набор оришаров , и где $\Omega$ оснащен индуцированной метрикой пути.