Глоссарий римановой и метрической геометрии

«Радиус выпуклости» перенаправляет здесь. Для анатомической особенности радиусной кости см. Впуклость радиуса .

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в геометрии риманы и геометрии метрики - он не охватывает терминологию дифференциальной топологии .

Следующие статьи также могут быть полезны; Они либо содержат специализированный словарный запас, либо предоставляют более подробные экспозиции определений, приведенных ниже.

• Связь
• Кривизна
• Метрическое пространство
• Риеманский коллектор

Смотрите также:

• Глоссарий общей топологии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Список дифференциальных тем геометрии

Если не указано иное, буквы x , y , z ниже обозначают метрические пространства, m , n обозначают римановые коллекторы, | xy | или $|xy|_{X}$ Обозначает расстояние между точками x и y в x . Курсивное слово обозначает самореференцию в этот глоссарий.

Предостережение : многие термины в риманианской и метрической геометрии, такие как выпуклые функции , выпуклый набор и другие, не имеют точно такого же значения, как в общем математическом использовании.

А

Alexandrov Space Обобщение эриманских коллекторов с верхним, нижним или интегральным границами кривизны (последний работает только в измерении 2)

Почти плоский коллектор

Дуговая изометрия такая же, как и изометрия пути .

Автопараллель, так же, как полностью геодезическая

Беременный

BaryCenter , см. Центр масс .

Bi-Lipschitz Map. Карта $f:X\to Y$ называется Bi-LipsChitz, если есть положительные постоянные C и C такие, что для любого x и y в x

$c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}$

Функция Busemann, заданная луч , γ: [0, ∞) → x , функция Busemann определяется

$B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t)$

В

Теорема Картана-Хадамард -это утверждение, которое подключенное, просто связанное полное риманновое многообразие с неположительной кривизной секции является диффеоморфным к R ^не через экспоненциальную карту; Для метрических пространств утверждение о том, что подключенное, просто подключенное полное геодезическое метрическое пространство с неположительной кривизны в смысле Александрова является (глобально) пространство для кошки (0) .

Картан Эйнштейна расширил общую теорию к теории Эйнштейна-Картана , используя геометрию риманиан-картана вместо геометрии риманна. Это расширение обеспечивает аффинное кручение , которое позволяет несимметричную тензоры кривизны и включение спин-орбитальной связи .

Центр масс . Точка Q ∈ M называется центром масс точек $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ Если это точка глобального минимума функции

$f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}$

Такая точка уникальна, если все расстояния $|p_{i}p_{j}|$ меньше, чем радиус выпуклости .

Кристоффель символ

Обрушивающий коллектор

Полный коллектор

Полное метрическое пространство

Завершение

Конформная карта - это карта, которая сохраняет углы.

Конформно . Плоский ​

Сопряженные точки две точки P и Q на геодезике $\gamma$ называются конъюгатом , если есть поле Якоби на $\gamma$ ноль на P и Q. который имеет

Выпуклая функция . Функция F на риманианском коллекторе - это выпуклый, если для какой -либо геодезии $\gamma$ функция $f\circ \gamma$ это выпуклый . Функция f вызывается $\lambda$-convex, если для какой -либо геодезики $\gamma$ с естественным параметром $t$, функция $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ это выпуклый .

Выпуклый подмножество k риманианского коллектора M называется выпуклым, если для любых двух точек в K есть самый короткий путь, соединяющий их, который полностью лежит в K , см. Также полностью выпуклое .

Котангент

Ковариантная производная

Вырезать локус

Дюймовый

Диаметр метрического пространства является превосходной расстояния между парами точек.

Развиваемая поверхность является поверхностной изометрической для плоскости.

Дилатация карты между метрическими пространствами - это инфимум чисел L, так что данная карта - L - Липшиц .

И

Экспоненциальная карта : экспоненциальная карта (теория лжи) , экспоненциальная карта (геометрия риманна)

Фон

Финслер метрика

Первой фундаментальной формой для встраивания или погружения является откат метрического тензора .

Плоский коллектор

Глин

Геодеза - это кривая , которая локально минимизирует расстояние .

Геодезический поток - это поток на касательном пучке TM многообразии M , генерируемого векторным полем которых , траектории имеют форму $(\gamma (t),\gamma '(t))$ где $\gamma$ это геодеза .

Громов-Хаусдорф конвергенция

Геодезическое метрическое пространство - это метрическое пространство, где любые две точки являются конечными точками минимизации геодез .

ЧАС

Пространство Hadamard - это полное просто подключенное пространство с неположительной кривистью.

Horosshere ровный набор функции Busemann .

я

Радиус инъекции. Радиус инъективности в точке p риманового коллектора является наибольшим радиусом, для которого экспоненциальная карта в P является диффеоморфизмом . Радиус инъекции риманового коллектора является инфимумом радиусов инъекции во всех точках. Смотрите также локус Cut .

Для полных коллекторов, если радиус инъективности при P является конечным числом R , то либо есть геодеза длины 2 R , которая запускается и заканчивается при P или существует точечная Q конъюгат с P (см . Спряжение выше) и на Расстояние r от р . Для закрытого риманового коллектора радиус инъективности составляет либо половину минимальной длины закрытой геодезы, либо минимальное расстояние между точками сопряжения на геодезике.

Infranilmanifold, подключенную нильпотентную группу Lie , действуя на себя путем умножения левого и конечной группы . просто атмосферов автоордиативных получивший $N\rtimes F$ на н . Orbit Space n дискретной подгруппой $N\rtimes F$ который действует свободно на n, называется Infranilmanifold . Infranilmanifold конечно покрыт нильманифолдом .

Изометрия - это карта, которая сохраняет расстояния.

Внутренняя метрика

Дж

Поле Якоби Поле Якоби - это векторное поле на геодезическом γ, которое можно получить следующим образом: возьмите плавное семейство геодезиков с одним параметром. $\gamma _{\tau }$ с $\gamma _{0}=\gamma$, тогда поле Якоби описывается

$J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.$

Иордан Кривая

K

Kähler-Einstein метрика

Kähler Metric

Убийство векторного поля

Л

Длина метрика, так же, как внутренняя метрика .

Связь Levi-Civita -это естественный способ дифференцировать векторные поля на риманновых коллекторах.

Сходимость Липшиц Конвергенция, определяемая метрикой Липшиц.

Расстояние Липшиц между метрическими пространствами- это инфимум чисел r, так что между этими пространствами есть бикйтивная карта би-липшиц с константами exp (- r ), exp ( r ).

Групп -карта

Логарифмическая карта является правой обратной экспоненциальной картой.

М

Средняя кривизна

Метрический мяч

Метрический тензор

Минимальная поверхность - это подмены с (вектор) средней кривизны нулевой.

Не

Естественная параметризация - это параметризация по длине.

Сеть . Подмножество S метрического пространства x называется $\epsilon$-Нет, если для какой -либо точки в X есть точка в S на расстоянии $\leq \epsilon$Полем Это отличается от топологических сетей , которые обобщают пределы.

Nilmanifold : элемент минимального набора коллекторов, который включает в себя точку, и имеет следующее свойство: Любое ориентированное $S^{1}$-Побалка над нильманифолдом -это нильманифолд. Он также может быть определен как фактор подключенной нильпотентной группы Lie Group с помощью решетки .

Нормальный пакет : связан с встроенным многообразием в эвклидовое пространство ${\mathbb {R} }^{N}$, нормальный пакет - это векторный пакет, волокно которого в каждой точке P является ортогональным комплемента (в ${\mathbb {R} }^{N}$) касательного пространства $T_{p}M$.

Нестандартная карта, такая же, как короткая карта

П

Параллельный транспорт

Путь изометрия

Полиадральное пространство . Упрощенный комплекс с метрикой, так что каждый простой простой с индуцированной метрикой является изометрическим для простого в евклидовом пространстве .

Основной кривизна является максимальным и минимальным нормальным кривизом в точке на поверхности.

Основное направление - это направление основных кривизны.

Правильное метрическое пространство - это метрическое пространство, в котором каждый закрытый шар является компактным . Эквивалентно, если каждое закрытое ограниченное подмножество является компактным. Каждое правильное метрическое пространство завершено .

Псевдо-риманский коллектор

Q.

Квазигеодеза имеет два значения; Здесь мы даем наиболее распространенное. Карта $f:I\to Y$ (где $I\subseteq \mathbb {R}$ это подсегмент) называется квазигеодезами , если есть константы $K\geq 1$ и $C\geq 0$ так что для каждого $x,y\in I$

${1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.$

Обратите внимание, что квазигеодеза не обязательно является непрерывной кривой.

Квазиизометрия . Карта $f:X\to Y$ называется квазиизометрией, если есть константы $K\geq 1$ и $C\geq 0$ так что

${1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.$

и каждая точка в Y имеет расстояние на максимум C от какой -то точки F ( x ). Обратите внимание, что квазиизометрия не считается непрерывной. Например, любая карта между компактными метрическими пространствами является квази изометрией. Если существует квазиизометрия от X до Y, то x и y, как говорят, являются квазиизометрическими .

Ведущий

Радиус метрического пространства - это инфимум радиусов метрических шариков, которые полностью содержат пространство.

Радиус выпуклости в точке р риманового коллектора является самым большим радиусом шарика, который является выпуклым подмножеством.

Рэй - это бесконечная геодезика с одной стороны, которая минимизирует в каждом интервале

Кривизна Риччи

Риманн

Тензор кривитуры Римана

Риеманский коллектор

Риеманское погружение - это карта между риманнскими коллекторами, которая является погружением и субментером одновременно.

С

Скалярная кривизна

Вторая фундаментальная форма - это квадратичная форма на касательном пространстве гиперповерхности, обычно обозначаемой II, эквивалентным способом описания оператора формы гиперповерхности,

${\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle$

Это также может быть обобщено до произвольной кодировки, и в этом случае это квадратичная форма со значениями в нормальном пространстве.

Оператор формы гиперповерхности M является линейным оператором на касательных пространствах, S _P : T _P M → T _P M. для Если n - единое нормальное поле для M , а V - касательный вектор, тогда

$S(v)=\pm \nabla _{v}n$

(Не существует стандартного соглашения, использовать ли + или - в определении).

Короткая карта - это расстояние не увеличивающаяся карта.

Гладкий коллектор

Sol Manifold является фактором связанной решаемой группы Lie Group с помощью решетки .

Подводная подставка Короткая карта F между метрическими пространствами называется подводной подводной системой, если существует R> 0, так что для любой точки X и Radius r <R у нас есть изображение метрического R -бала -R -Ball , т.е.

$f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x))$

Суб-риманский коллектор

Систола . K -Systole of M , $syst_{k}(M)$, является минимальным объемом k -цикле, нехологично до нуля.

Т

Касательный пакет

Полностью выпуклый. Подмножество K из риманового коллектора M называется полностью выпуклой, если для любых двух точек в k любую геодезис, соединяющий их, полностью лежит в K , см. Также выпуклое .

Полностью геодезический субманифорт - это субманифорт , так что все геодезики в подманизаторе также являются геодезиками окружающего коллектора.

В

Уникальное геодезическое метрическое пространство - это метрическое пространство, где любые две точки являются конечными точками уникальной минимизации геодезии .

В

Метрика слова в группе - это показатель графика Cayley , построенный с использованием набора генераторов.