Метрика Кэлера – Эйнштейна

В дифференциальной геометрии метрика Кэлера–Эйнштейна на комплексном многообразии — это риманова метрика , которая является одновременно метрикой Кэлера и метрикой Эйнштейна . Многообразие если называется Кэлером–Эйнштейном, оно допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. Наиболее важным частным случаем из них являются многообразия Калаби–Яу , которые являются кэлеровыми и риччи-плоскими .

Важнейшей проблемой в этой области является существование метрик Кэлера–Эйнштейна для компактных кэлерово многообразий. Эту проблему можно разбить на три случая в зависимости от знака первого класса Черна кэлерова многообразия:

• Когда первый класс Черна отрицательен, всегда существует метрика Кэлера-Эйнштейна, как Тьерри Обен и Шинг-Тунг Яу . независимо доказали
• Когда первый класс Черна равен нулю, всегда существует метрика Кэлера–Эйнштейна, как доказал Яу в гипотезе Калаби . Это приводит к названию многообразий Калаби–Яу. он был награжден медалью Филдса . Частично за эту работу
• Третий случай, положительный случай или случай Фано, в течение многих лет оставался хорошо известной открытой проблемой. В данном случае возникает нетривиальное препятствие существованию. В 2012 году Сюсюн Чен , Саймон Дональдсон и Сун Сун доказали, что в этом случае существование эквивалентно алгебро-геометрическому критерию, называемому K-стабильностью . Их доказательство появилось в серии статей в Журнале Американского математического общества. независимо представил доказательство В то же время Ган Тянь .

Когда первый класс Черна не определен или имеется промежуточная размерность Кодаиры, то нахождение канонической метрики остается открытой проблемой, которая называется гипотезой алгебризации с помощью программы аналитической минимальной модели.

Определение

Многообразия Эйнштейна

Основная статья: многообразие Эйнштейна

Предполагать $(X,g)$ является римановым многообразием . В физике уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему уравнений в частных производных на метрическом тензоре. $g$ которые описывают, как многообразие $X$ должен искривляться из-за существования массы или энергии, величины, инкапсулированной тензором энергии-импульса. $T$. В вакууме, где нет ни массы, ни энергии, то есть $T=0$, уравнения поля Эйнштейна упрощаются. А именно, Риччи кривизна $g$ представляет собой симметричный $(2,0)$-тензор, как и метрика $g$ себя, и уравнения сводятся к

$\operatorname {Ric} _{g}={\frac {1}{2}}R_{g}g$

где $R_{g}$ скалярная кривизна ​ $g$. То есть кривизна Риччи становится пропорциональной метрике. Риманово многообразие $(X,g)$ удовлетворяющее приведенному выше уравнению, называется многообразием Эйнштейна .

Каждое двумерное риманово многообразие является эйнштейновым. можно доказать С помощью тождеств Бьянки , что в любом большем измерении скалярная кривизна любого связного многообразия Эйнштейна должна быть постоянной. По этой причине условие Эйнштейна часто задается как

$\operatorname {Ric} _{g}=\lambda g$

за действительное число $\lambda .$

Кэлеровые многообразия

Основная статья: многообразие Кэлера

Когда риманово многообразие $(X,g)$ также является комплексным многообразием , то есть имеет интегрируемую почти комплексную структуру $J:TX\to TX$, можно запросить совместимость между метрической структурой $g$ и сложная структура $J$. Существует много эквивалентных способов сформулировать это условие совместимости, и одна из кратких интерпретаций состоит в том, чтобы спросить, что $J$ ортогонален ​ относительно $g$, так что $g(Ju,Jv)=g(u,v)$ для всех векторных полей $u,v\in \Gamma (TM)$, и это $J$ сохраняется за счет параллельного транспорта связи Леви -Чивита $\nabla$, захватываемый условием $\nabla J=0$. Такая тройка $(X,g,J)$ называется кэлеровым многообразием .

Метрики Кэлера – Эйнштейна

Многообразие Кэлера–Эйнштейна — это многообразие, которое сочетает в себе вышеуказанные свойства кэлеровости и допускает метрику Эйнштейна. Сочетание этих свойств подразумевает упрощение уравнения Эйнштейна с точки зрения сложной структуры. А именно, на кэлеровом многообразии можно определить форму Риччи , вещественную $(1,1)$-form , по выражению

$\rho (u,v)=\operatorname {Ric} _{g}(Ju,v),$

где $u,v$ любые касательные векторные поля к $X$.

Почти сложная структура $J$ силы $\rho$ быть антисимметричным, и условие совместимости $\nabla J=0$ в сочетании с тождеством Бьянки подразумевает, что $\rho$ является замкнутой дифференциальной формой . Связан с римановой метрикой $g$ это форма Кэлера $\omega$ определяется аналогичным выражением $\omega (u,v)=g(Ju,v)$. Поэтому уравнения Эйнштейна для $g$ можно переписать как

$\rho =\lambda \omega ,$

уравнение Кэлера–Эйнштейна.

Поскольку это равенство замкнутых дифференциальных форм, из него следует равенство ассоциированных когомологий де Рама классов $[\rho ]$ и $[\omega ]$. Первый класс является первым Черна классом $X$, $c_{1}(X)$. Поэтому необходимым условием существования решения уравнения Кэлера–Эйнштейна является то, что $\lambda \omega \in c_{1}(X)$, для некоторых $\lambda \in \mathbb {R}$. Это топологическое необходимое условие на кэлеровом многообразии. $(X,g,J)$.

Заметим, что поскольку кривизна Риччи $\operatorname {Ric} _{g}$ инвариантен при масштабировании $g\mapsto \lambda ^{-1}g$, если существует такая метрика, что $\lambda \omega \in c_{1}(X)$, всегда можно нормализовать к новой метрике с помощью $\omega \in c_{1}(X)$, то есть $\lambda =-1,0,1$. Таким образом, уравнение Кэлера – Эйнштейна часто записывают

$\rho =-\omega ,\quad \rho =0,\quad \rho =\omega$

в зависимости от знака топологической константы $\lambda$.

Преобразование к сложному уравнению Монжа – Ампера.

Ситуация с компактными кэлеровыми многообразиями особенная, поскольку уравнение Кэлера–Эйнштейна можно переформулировать как комплексное уравнение Монжа–Ампера для гладкого кэлерова потенциала на $X$. По топологическому предположению о кэлеровом многообразии мы всегда можем предположить, что существует некоторая кэлерова метрика $\omega _{0}\in c_{1}(X)$. Форма Риччи $\rho _{0}$ из $\omega _{0}$ задается в местных координатах по формуле

$\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log \omega _{0}^{n}.$

По предположению $\omega _{0}$ и $\rho _{0}$ находятся в одном классе когомологий $c_{1}(X)$, поэтому $\partial {\bar {\partial }}$-лемма теории Ходжа означает, что существует гладкая функция $F\in C^{\infty }(X)$ такой, что $\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}F=\rho _{0}$.

Любая другая метрика $\omega \in c_{1}(X)$ связано с $\omega _{0}$ по потенциалу Кэлера $\varphi \in C^{\infty }(X)$ такой, что $\omega =\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi$. Отсюда следует, что если $\rho$ является формой Риччи относительно $\omega$, затем

$\rho -\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.$

Таким образом сделать $\rho =\lambda \omega$ нам нужно найти $\varphi$ такой, что

$\lambda i\partial {\bar {\partial }}\varphi =i\partial {\bar {\partial }}F-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.$

Это, безусловно, будет верно, если то же уравнение будет доказано после удаления производных $\partial {\bar {\partial }}$, и на самом деле это эквивалентное уравнение по $\partial {\bar {\partial }}$-лемма с возможностью изменения $\varphi$ добавлением постоянной функции. В частности, после удаления $\partial {\bar {\partial }}$ и возведя в степень, уравнение преобразуется в

$(\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=e^{F-\lambda \varphi }\omega _{0}^{n}.$

Это уравнение в частных производных похоже на действительное уравнение Монжа-Ампера и известно как комплексное уравнение Монжа-Ампера, и впоследствии его можно изучать с помощью инструментов выпуклого анализа . Его поведение очень чувствительно к знаку топологической константы. $\lambda =-1,0,1$. Решения этого уравнения появляются как критические точки функционала K-энергии , введенного Тошики Мабучи в пространстве кэлеровских потенциалов в классе $c_{1}(X)$.

Существование

Проблему существования метрик Кэлера – Эйнштейна можно разделить на три отдельных случая, зависящих от знака топологической константы. $\lambda$. Поскольку форма Кэлера $\omega$ всегда положительная дифференциальная форма , знак $\lambda$ зависит от того, является ли класс когомологий $c_{1}(X)$ является положительным, отрицательным или нулевым. В алгебраической геометрии это понимается в терминах канонического расслоения $X$: $c_{1}(X)<0$ тогда и только тогда, когда каноническое расслоение $K_{X}$ представляет собой обширный линейный пучок , и $c_{1}(X)>0$ тогда и только тогда, когда $K_{X}^{-1}$ достаточно. Если $K_{X}$ является тривиальным линейным расслоением, то $c_{1}(X)=0$. Когда кэлерово многообразие компактно , проблема существования полностью решена.

Случай c ₁ (X)<0

Когда многообразие Кэлера $X$ удовлетворяет топологическому предположению $c_{1}(X)<0$, каноническое расслоение обильно, поэтому $\lambda$ должно быть отрицательным. Если необходимое топологическое предположение выполнено, то есть существует кэлерова метрика $\omega$ такой, что $c_{1}(X)=\lambda [\omega ]$, затем Обин и Яу доказали, что метрика Кэлера–Эйнштейна всегда существует. Существование кэлеровой метрики, удовлетворяющей топологическому предположению, является следствием доказательства Яу гипотезы Калаби .

Теорема (Обин, Яу): компактное кэлерово многообразие с $c_{1}(X)<0$ всегда допускает метрику Кэлера–Эйнштейна.

Случай c ₁ (X)=0

См. Также: многообразие Калаби – Яу и гипотеза Калаби.

Когда канонический расслоение $K_{X}$ тривиально, так что $c_{1}(X)=0$, многообразие называется Калаби–Яу . Эти многообразия имеют особое значение в физике, где они должны стать основой струнной теории суперструн в 10 измерениях. Математически это соответствует случаю, когда $\lambda =0$, то есть когда риманово многообразие $(X,g)$ квартира Риччи .

Существование метрики Кэлера–Эйнштейна в этом случае было доказано Яу с помощью метода непрерывности, аналогичного случаю, когда $c_{1}(X)<0$. Топологическое предположение $c_{1}(X)=0$ вносит новые трудности в метод непрерывности. Частично благодаря доказательству существования и связанному с ним доказательству гипотезы Калаби Яу был награжден медалью Филдса .

Теорема (Яу): компактное кэлерово многообразие с тривиальным каноническим расслоением, многообразие Калаби–Яу, всегда допускает метрику Кэлера–Эйнштейна и, в частности, допускает плоскую метрику Риччи.

Случай c ₁ (X)>0

См. также: Многообразие Фано , K-стабильность и K-стабильность многообразий Фано.

Когда антиканонический расслоение $K_{X}^{-1}$ достаточно или, что то же самое, $c_{1}(X)>0$, многообразие называется Фано. В отличие от случая $c_{1}(X)\leq 0$, метрика Кэлера–Эйнштейна в этом случае не всегда существует. заметил Акито Футаки , что существуют возможные препятствия существованию решения, заданного голоморфными векторными полями $X$, и необходимым условием является инварианта Футаки этих векторных полей. неотрицательность Действительно, гораздо раньше Мацусима и Лихнерович заметили, что еще одним необходимым условием является то, что алгебра Ли голоморфных векторных полей $H^{0}(X,TX)$ должен быть редуктивным .

В 1993 году Яу выдвинул гипотезу, по аналогии с аналогичной проблемой существования метрик Эрмита–Эйнштейна на голоморфных векторных расслоениях , что препятствие к существованию метрики Кэлера–Эйнштейна должно быть эквивалентно некоторому алгебро-геометрическому условию устойчивости, подобному наклонная устойчивость векторных расслоений. В 1997 году Тянь Ган предложил возможное условие устойчивости, которое стало известно как K-стабильность .

Гипотеза Яу была решена в 2012 году Ченом - Дональдсоном - Суном с использованием методов, сильно отличающихся от классического метода непрерывности этого случая. $c_{1}(X)\leq 0$, и в то же время Тианом. Чен-Дональдсон-Сун оспорили доказательство Тиана, заявив, что оно содержит математические неточности и материал, который следует отнести к ним. Тиан оспорил эти утверждения. 2019 года Премия Веблена была присуждена Чену-Дональдсону-Суну за доказательство. Дональдсон был награжден премией за прорыв в математике 2015 года частично за вклад в доказательство. а премия New Horizons Breakthrough Prize 2021 года была присуждена Сану частично за его вклад.

Теорема: компактное многообразие Фано. $X$ допускает метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда пара $(X,K_{X}^{-1})$ является K-полистабильным.

Доказательство, основанное на методе непрерывности, разрешившее случай. $c_{1}(X)\leq 0$ позже было предоставлено Датаром-Секелихиди, и сейчас известны несколько других доказательств. см . в гипотезе Яу-Тиана-Дональдсона Более подробную информацию .

Поток Кэлера–Риччи и минимальная модельная программа

Центральной программой в бирациональной геометрии является программа минимальной модели , которая стремится генерировать модели алгебраических многообразий внутри каждого класса бирациональности, которые в некотором смысле минимальны , обычно в том, что они минимизируют определенные меры сложности (например, арифметический род в случае кривых). В более высоких измерениях ищут минимальную модель, имеющую эффективное каноническое расслоение . Один из способов построения минимальных моделей — сжать определенные кривые. $C\subset X$ внутри алгебраического многообразия $X$ которые имеют отрицательное самопересечение. Эти кривые следует рассматривать геометрически как подмногообразия, на которых $X$ имеет концентрацию отрицательной кривизны.

В этом смысле программу минимальной модели можно рассматривать как аналог потока Риччи в дифференциальной геометрии, где области концентрации кривизны расширяются или сжимаются с целью сведения исходного риманова многообразия к многообразию с равномерной кривизной (точнее, к новому Риманово многообразие, имеющее равномерную кривизну Риччи, то есть многообразие Эйнштейна). В случае трехмерных многообразий это известно использовал Григорий Перельман для доказательства гипотезы Пуанкаре .

В контексте кэлеровых многообразий поток Кэлера – Риччи был впервые записан Цао. Здесь фиксируется метрика Кэлера $g_{i{\bar {j}}}$ с формой Риччи $\rho _{i{\bar {j}}}$и изучает геометрический поток для семейства кэлеровых метрик ${\tilde {g}}_{ij}(t)$ параметризовано $t\in [0,\infty )$:

${\frac {\partial {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}}{\partial t}}=-{\tilde {\rho }}_{i{\bar {j}}}+\rho _{i{\bar {j}}},\quad {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}(0)=g_{i{\bar {j}}}.$

Когда проективное многообразие $X$ общего типа , минимальная модель $X'$ допускает дальнейшее упрощение до канонической модели $X''$, с обильным каноническим расслоением. В условиях, когда в этой канонической модели имеются только легкие ( орбифолдные ) особенности, можно задаться вопросом, является ли поток Кэлера-Риччи $X$ сходится к (возможно, слегка сингулярной) метрике Кэлера – Эйнштейна на $X''$, который должен существовать согласно результату существования Яу и Обина для $c_{1}(X'')<0$.

Точный результат в этом направлении был доказан Кашини и Ла Навом. и примерно в то же время Тянь-Чжан.

Теорема: поток Кэлера – Риччи на проективном многообразии. $X$ общего типа существует всегда и после не более чем конечного числа образований сингулярностей, если каноническая модель $X''$ из $X$ имеет в худшем случае орбифолдные особенности, то поток Кэлера–Риччи на $X$ сходится к метрике Кэлера–Эйнштейна на $X''$, с точностью до ограниченной функции, гладкой вне аналитического подмногообразия $X$.

В случае, когда разновидность $X$ имеет размерность два, как и поверхность общего типа, достигается сходимость к Метрика Кэлера – Эйнштейна на $X''$.

Позже Цзянь Сун и Тянь изучили случай, когда проективное многообразие $X$ имеет логтерминальные особенности.

Поток Кэлера–Риччи и существование метрик Кэлера–Эйнштейна

Альтернативное доказательство теоремы Чена-Дональдсона-Суна о существовании метрик Кэлера-Эйнштейна на гладком многообразии Фано можно дать с использованием потока Кэлера-Риччи, и это было выполнено в 2018 году Ченом-Суном-Вангом. А именно, если многообразие Фано K-полистабильно, то поток Кэлера-Риччи существует всегда и сходится к метрике Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано.

Обобщения и альтернативные понятия

Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны

Основная статья: Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны

Когда канонический расслоение $K_{X}$ не является тривиальным, обильным или антиобильным, невозможно запросить метрику Кэлера–Эйнштейна, поскольку класс $c_{1}(X)$ не может содержать кэлерову метрику, и поэтому необходимое топологическое условие никогда не может быть выполнено. Это следует из теоремы вложения Кодаиры .

Естественным обобщением уравнения Кэлера–Эйнштейна на более общий случай произвольного компактного кэлерова многообразия является утверждение, что метрика Кэлера имеет постоянную скалярную кривизну (говорят, что метрика равна cscK ). Скалярная кривизна — это полный след тензора римановой кривизны , гладкой функции на многообразии. $(X,g)$, а в случае Кэлера условие постоянства скалярной кривизны допускает преобразование в уравнение, аналогичное комплексному уравнению Монжа–Ампера режима Кэлера–Эйнштейна. Многие методы из случая Кэлера-Эйнштейна переходят к настройке cscK, хотя и с дополнительными трудностями, и предполагается, что подобное алгебро-геометрическое условие устойчивости должно предполагать существование решений уравнения в этой более общей ситуации.

Когда компактное кэлерово многообразие удовлетворяет топологическим предположениям, необходимым для того, чтобы условие Кэлера-Эйнштейна имело смысл, уравнение Кэлера постоянной скалярной кривизны сводится к уравнению Кэлера-Эйнштейна.

Метрики Эрмита – Эйнштейна

Основная статья: Связь Эрмита Янга – Миллса

Вместо того, чтобы задавать вопрос о кривизне Риччи связности Леви-Чивита на касательном расслоении кэлерова многообразия $X$ пропорциональна самой метрике, вместо этого можно задать этот вопрос для кривизны связности Черна , связанной с эрмитовой метрикой на любом голоморфном векторном расслоении над $X$ (заметим, что связность Леви-Чивита на голоморфном касательном расслоении — это в точности связность Чженя эрмитовой метрики, вытекающая из структуры Кэлера). Полученное уравнение называется уравнением Эрмита-Эйнштейна и имеет особое значение в калибровочной теории , где оно появляется как частный случай уравнений Янга-Миллса , пришедших из квантовой теории поля , в отличие от регулярных уравнений Эйнштейна, которые приходят из общей теории относительности .

В случае, когда голоморфное векторное расслоение снова является голоморфным касательным расслоением , а эрмитовой метрикой является В метрике Кэлера уравнение Эрмита–Эйнштейна сводится к уравнению Кэлера–Эйнштейна. Однако в целом геометрия многообразия Кэлера часто фиксирована, и разрешается изменять только метрику расслоения, и это приводит к тому, что уравнение Эрмита-Эйнштейна легче изучать, чем уравнение Кэлера-Эйнштейна в целом. В частности, полную алгебро-геометрическую характеристику существования решений даёт соответствие Кобаяши–Хитчина .

Ссылки

• Морояну, Андрей (2007). Лекции по кэлеровой геометрии . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 69. Кембридж. ISBN  978-0-521-68897-0 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )