Групповое действие

Эта статья о математической концепции. Для социологического термина см. Групповое действие (социология) .

Циклическая группа C _3, состоящая из вращения на 0 °, 120 ° и 240 °, действует на наборе трех вершин.

В математике многие наборы преобразований образуют группу под композицией функции ; Например, вращения вокруг точки в плоскости. Часто полезно рассматривать группу как абстрактную группу , и сказать, что у человека есть групповое действие абстрактной группы, которая состоит из выполнения трансформаций группы трансформаций. Причина отличия группы от преобразований заключается в том, что, как правило, группа трансформаций структуры действует также на различные связанные структуры; Например, вышеуказанная группа вращения также действует на треугольники, превращая треугольники в треугольники.

Формально, групповое действие группы G на наборы S является групповым гомоморфизмом от G до какой -то группы (под композицией функции ) функций от S до себя.

Если группа действует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные из этой структуры. Например, группа евклидово изометрии действует на евклидово пространство , а также на рисунках, нарисованных в нем; В частности, он действует на наборе всех треугольников . группа симметрий многогранника Точно так же действует на вершины , края и грани многогранника.

Групповое действие на векторное пространство называется представлением группы. В случае конечного векторного пространства он позволяет идентифицировать многие группы с общей линейной группы GL ( , K ) , группы инвертируемых матриц измерения N полем над K. N подгруппами

Симметричная группа S _N действует на любом наборе с n -элементами, оставляя элементы набора. Хотя группа всех перестановок набора формально зависит от набора, концепция группового действия позволяет рассмотреть одну группу для изучения перестановки всех наборов с одной и той же кардинальностью .

Определение

Левое групповое действие

Если G является группой с элементом идентификацией E , а x - набор, то A ( ) групповое действие α G левое на x является функцией

$\alpha \colon G\times X\to X,$

Это удовлетворяет следующим двум аксиомам :

Личность:	$\alpha (e,x)=x$
Совместимость:	$\alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)$

Для всех g и h в g и x x in x .

Затем говорят, что группа G действует на x (слева). Набор x вместе с действием G называется ( слева ) g - набор .

понятно удобно привести к действию α , так что вместо этого есть набор преобразований α _g : x → x , с одним преобразованием α _g для каждого элемента группы g ∈ G. Это может быть Отношения с личностью и совместимостью прочитают

$\alpha _{e}(x)=x$

и

$\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)$

с ∘ составом функциональным . Затем вторая аксиома утверждает, что функциональный состав совместим с умножением группы; Они образуют коммутативную диаграмму . Эта аксиома может быть укорочена еще дальше и написана как α _g ∘ α _h = α _GH .

С приведенным выше пониманием очень часто не совсем не писать α и заменить его либо точкой, либо вообще ничего. Таким образом, α ( g , x ) может быть сокращено до g ⋅ x или gx , особенно когда действие ясно из контекста. Аксиом затем

$e{\cdot }x=x$

$g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x$

Из этих двух аксиомов следует, что для любого фиксированного g в G функция от x до самого себя, которая отображает x до g ⋅ x, является биении , с обратной биении, соответствующая карта для g ⁻¹ Полем Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие G на x как групповой гомоморфизм из G в симметричную группу Sym ( x ) всех биологии от X до себя.

Правильное групповое действие

Аналогично, групповое действие G правильное на X является функцией

$\alpha \colon X\times G\to X,$

Это удовлетворяет аналогичным аксиомам:

Личность:	$\alpha (x,e)=x$
Совместимость:	$\alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)$

(с α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

Личность:	$x{\cdot }e=x$
Совместимость:	$(x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)$

Для всех g и h в g и x x in x .

Разница между левым и правым действиями заключается в порядке, в котором продукт GH действует на x . Для левого действия H действует первым, после чего G Second. Для правильного действия G действует первым, за которым следует H Second. Из -за формулы ( GH ) ⁻¹ = h ⁻¹ глин ⁻¹ , левое действие может быть построено из правого действия путем составления обратной работы группы. Кроме того, правильное действие группы G на X можно рассматривать как левое действие противоположной группы G ^на на х .

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно учитывать только оставшиеся действия. Однако есть случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы индуцирует как левое действие, так и правое действие на саму группу - мультиплизацию слева и справа, соответственно.

Примечательные свойства действий

Пусть G - группа, действующая на сет x . Действие называется верный или Эффективно, если g ⋅ x = x для всех x ∈ X подразумевает, что g = e _g . Эквивалентно, гомоморфизм от g до группы биологии x , соответствующих действию, является инъективным .

Действие называется бесплатно (или полурегулярная или не спрятана с фиксированной точкой ), если утверждение, которое g ⋅ x = x для некоторого x ∈ X, уже подразумевает, что g = e _g . Другими словами, ни один нетривиальный элемент G не фиксирует точку x . Это гораздо более сильная собственность, чем верность.

Например, действие любой группы на себя путем умножения левой. Это наблюдение подразумевает теорему Кейли о том, что любая группа может быть встроена в симметричную группу (которая бесконечна, когда группа есть). Конечная группа может действовать верно на набор размера, намного меньше, чем ее кардинальность (однако такое действие не может быть свободным). Например, 2-группу авелея ( z / 2 z ) ^не (Кардинальность 2 ^не ) Действует верно на набор размера 2 н . Это не всегда так, например, циклическая группа Z / 2 ^не Z не может действовать верно на набор размера менее 2 ^не .

В целом самый маленький набор, на котором можно определить верное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например, три группы размера 120 являются симметричной группой S ₅ , икосаэдрической группой A ₅ × Z / 2 и циклической группой Z / 120 Z. Z Самые маленькие наборы, на которых верные действия могут быть определены для этих групп, имеют размер 5, 7 и 16 соответственно.

Свойства транзитивности

Действие G на x называется транзитивное, если для любых двух точек x , y ∈ X существует a g ∈ G , так что G ⋅ x = y .

Действие есть просто транзитивно (или резко транзитивно , или регулярно ), если это как переходное, так и бесплатное. Это означает, что данный x , y ∈ X элемент G в определении транзитивности является уникальным. Если x действует просто транзисивно группой G, то это называется основным гомогенным пространством для G или G -Torsor.

Для целого числа n ≥ 1 действие n -транзативно , если x имеет как минимум n элементов, и для любой пары n -tuples ( x ₁ , ..., x _n ), ( y ₁ , ..., y _n ) ∈ X ^не с парными различными записями (то есть x _i ↓ x _j , y _i ≠ y _j, когда я Δ j ) существует g ∈ G, так что g ⋅ x _i = y _i для i = 1, ..., n . Другими словами, действие на подмножество x ^не кортежей без повторяющихся записей является переходным. Для n = 2, 3 это часто называют двойным, соответственно тройным, транзитивность. Класс 2-транзитных групп (то есть подгруппы конечной симметричной группы, чье действие 2-транзив) и, в целом, умноженные переводные группы, хорошо изучены в теории конечных групп.

Действие есть резко n -транзативно, когда действие на кортежи без повторяющихся записей в x ^не резко транзитивен.

Примеры

Действие симметричной группы X является переходным, на самом деле N -транспортировка для любого n до кардинальности x . Если x имеет кардинальность n , действие чередующейся группы составляет ( n -2) -транзативное, но не ( n -1) -транспортное.

Действие общей линейной группы векторного пространства V на наборе V ∖ {0} ненулевых векторов является транзитивным, но не 2-транзитным (аналогично для действия специальной линейной группы, размер V если минимум 2). Действие ортогональной группы евклидового пространства не является переходным на ненулевых векторах, но оно находится на единичной сфере .

Примитивные действия

Основная статья: Примитивная группа перестановки

Действие G на X называется примитивом , если нет разделения X, G сохранившегося всеми элементами , кроме тривиальных разделов (разделение в одном произведении и его двойное разделение на синглтоны ).

Топологические свойства

Предположим, что X - топологическое пространство , а действие G - гомеоморфизмы .

Действие блуждает , если каждый x ∈ X имеет соседство U, так что существует только конечно g ∈ G с G ⋅ U ∩ U гать á .

В целом, точка x ∈ X называется точкой разрыва для действия G , если есть открытая подмножество U ∋ x, так что существует только конечно g ∈ G с G ⋅ U ∩ U гать ∅ . Домены разрыва действия - это набор всех точек разрыва. Эквивалентно это самая большая G открытая подмножество -стабильной ω ⊂ x , так что действие G на ω блуждает. В динамическом контексте это также называется блуждающим набором .

Действие должным образом прерывистое , если для каждого компактного подмножества k ⊂ x есть только конечно много g ∈ G , так что g ⋅ k ∩ k ≠ ∅ . Это строго сильнее, чем блуждание; например, действие z на r ² ∖ {(0, 0)} дано n ⋅ ( x , y ) = (2 ^не x , 2 ^{- n} y ) блуждает и свободно, но не является должным образом прерывистым.

Действие преобразования палубы фундаментальной группы местного просто подключенного пространства на покрывающем пространстве блуждает и бесплатно. Такие действия могут быть охарактеризованы следующим свойством: каждый x ∈ X имеет соседство u такого, что g ⋅ u ∩ u = ∅ для каждого g ∈ G ∖ { e _g } . Действия с этим свойством иногда называют свободно прерывистыми , и наибольшее подмножество, в котором действие является свободно прерывистым, затем называется бесплатным обычным набором .

Действие группы G на локально компактное пространство x называется Cocompact , если существует компактное подмножество a ⊂ x , так что x = g ⋅ a . Для правильного прерывистого действия кокамплексность эквивалентна компактности коэффициента пространства G \ x .

Действия топологических групп

Основная статья: непрерывное групповое действие

Теперь предположим, что G - топологическая группа , а X - топологическое пространство, в котором она действует гомеоморфизмом. Говорят, что действие является непрерывным , если карта g × x → x является непрерывной для топологии продукта .

Говорят, что действие Правильно, если карта g × x → x × x , определенная как ( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x ), является правильной . Это означает, что заданные компактные наборы k , k ′, набор g ∈ G, так что G ⋅ k ∩ k ′ ≠ ∅ является компактным. В частности, это эквивалентно надлежащему разрыву G является дискретной группой .

Говорят, что он является локально свободным, если существует соседство U of E _G , так что g ⋅ x ≠ x для всех x ∈ X и g ∈ U ∖ { e _g } .

что действие является сильно непрерывным, если орбитальная карта g ↦ G ⋅ x является непрерывной для каждого x ∈ X. Говорят , Вопреки тому, что предполагает название, это более слабое свойство, чем непрерывность действия.

Если G является группой Lie и x дифференцируемого коллектора , то подпространство гладких точек для действия - это набор точек x ∈ X , так что карта g ↦ G ⋅ x является гладкой . Существует хорошо разработанная теория групповых действий , т.е. Действие, которое гладко во всем пространстве.

Линейные действия

Основная статья: Групповое представление

Если G действует путем линейных преобразований на модуле над коммутативным кольцом , утверждается, что действие является неприводимым , если нет надлежащих ненулевых G -инвариантных подмодулей. Говорят, что это полузима, если он разлагается в качестве прямой суммы непонижаемых действий.

Орбиты и стабилизаторы

В соединении пяти тетраэдров группа симметрии представляет собой (вращательную) икосаэдрическую группу I Заказ 60, в то время как стабилизатор одного выбранного тетраэдрона - это (вращательная) тетраэдрическая группа T порядка 12 и орбит -пространство I / T ( порядка 60/12 = 5) естественным образом идентифицируется с 5 тетраэдры - Coset GT соответствует тетраэдру, которому G отправляет G, отправляет G Выбранный тетраэдр.

Рассмотрим группу G , действуя на наборе x . А Орбита элемента x в x - это набор элементов в x , в которые x может быть перемещен элементами g . Орбита x обозначена G ⋅ x : $$G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.$$

Определяющие свойства группы гарантируют, что набор орбит (точек in ) x под действием g образует раздел x . x Соответствующее соотношение эквивалентности определяется, говоря, что x ~ y тогда и только если существует a g в g с g ⋅ x = y . Орбиты тогда являются классами эквивалентности в соответствии с этим отношением; Два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты одинаковы, то есть g ⋅ x = g ⋅ y .

Групповое действие транзитивно , если и только если у него есть ровно одна орбита, то есть, если существует x в x с g ⋅ x = x . Это так, когда и только тогда, когда g ⋅ x = x для всех x в x (учитывая, что x не пусто).

Набор всех орбит x под действием G записан как x / g (или, реже, как G \ x ), и называется Коэффициент действия. В геометрических ситуациях это можно назвать пространство орбиты , в то время как в алгебраических ситуациях это можно назвать пространством Coinvariants , и написано X _G , в отличие от инвариантов (фиксированные точки), обозначены x ^Глин : Coinvariants - это коэффициент , в то время как инварианты являются подмножеством . Coinvariant Terminology и обозначения используются, в частности, в групповой кохомологии и групповой гомологии , которые используют одну и ту же конвенцию SuperScript/Supcript.

Инвариантные подмножества

Если y представляет собой x , ∈ то g ⋅ y обозначает набор { g ⋅ y : g G ∈ и y Y } подмножество . Подмножество y считается инвариантным под g , если g ⋅ y = y (что эквивалентно g ⋅ y ⊆ y ). В этом случае G также работает на Y ограничивая , действие Y. до Подмножество Y называется фиксированным в G, если g ⋅ y = y для всех g в G и все y в y . Каждое подмножество, которое исправлено в G, также является инвариантом под G , но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантной подмножеством x , на котором G действует транзисивно . И наоборот, любое инвариантное подмножество X является союзом орбит. Действие G на x является транзитивным, если и только если все элементы эквивалентны, то есть есть только одна орбита.

G что -invariant ement of x равен x ∈ X такой, ⋅ x = x для всех g ∈ G. g Набор всего такого x обозначен x ^Глин назвал G -инварианты x . и Когда x -модуль -g ​ , x ^Глин Zeroth кохомологии является группой G с коэффициентами в X , а более высокие кохомологические группы являются производственными функторами Functor of -Invariants G .

Фиксированные точки и подгруппы стабилизатора

Учитывая g в G и x в x с G ⋅ x = x , говорят, что « x - фиксированная точка G » или что « G исправляет x ». На каждый x в x , стабилизатора Подгруппа G в отношении X (также называемой группой изотропии или небольшой группы ) - это набор всех элементов в G , которые исправляют x : $$G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.$$ Это подгруппа G , хотя обычно и не обычная. Действие G на x является свободным тогда и только тогда, когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро n гомоморфизма с симметричной группой, G → Sym ( x ) , определяется пересечением стабилизаторов G _x для всех x в x . Если n тривиально, действие, как говорят, является верным (или эффективным).

Пусть x и y - два элемента в x , и пусть g - групповой элемент, такой, что y = g ⋅ x . Затем две группы стабилизаторов G _Y и G _Y связаны G ₌ с GG _X G ⁻¹ Полем Доказательство: по определению, h ∈ G _y, если и только если h ⋅ ( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Применение g ⁻¹ на обе стороны этого равенства ( G ⁻¹ Hg ) ⋅ x = x ; то есть g ⁻¹ Hg ∈ G _x . Противоположное включение следует аналогично, принимая h ∈ G _x и x = g ⁻¹ ⋅ y .

Выше сказано, что стабилизаторы элементов на одной и той же орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, с каждой орбитой мы можем связать класс сопряженности подгруппы G (то есть набор всех сопряженных подгрупп). Пусть ( h ) обозначает класс сопряженности h . Тогда орбита o имеет тип ( h ) , если стабилизатор G _x некоторых/любой x в o принадлежит ( h ) . Максимальный тип орбиты часто называют основным типом орбиты .

Теорема орбита

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в x , рассмотрите карту F : G → x, заданная G ↦ G ⋅ x . По определению изображение f ( g ) этой карты - орбита g ⋅ x . Условие для двух элементов иметь одинаковое изображение $$f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.$$ Другими словами, f ( g ) = f ( h ) тогда и только тогда, когда G и H лежат в одном и том же косе для подгруппы стабилизатора G _x . Таким образом, волокно F ⁻¹ ({ y ) f Ϫ по любому y в g } x содержится в таком косе, и каждый такой космот также встречается как волокно. Следовательно, F индуцирует битву между набором G / G _x косета для подгруппы стабилизатора и орбиты G ⋅ x , которая отправляет Gg _x ↦ G ⋅ x . Этот результат известен как теорема стабилизатора орбита .

Если G конечно, то теорема о стабилизаторе орбита, вместе с теоремой Лагранжа , дает $$|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,$$ Другими словами, длина орбиты x раз от порядка его стабилизатора является порядок группы . В частности, это подразумевает, что длина орбиты является делителем группового порядка.

Пример: пусть G - группа Prime Order P, действуя на комплекте x с k -элементами. Поскольку каждая орбита имеет элементы 1 или P , существуют максимум k mod p orbits длины 1 , которые являются G -инвариантными элементами.

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечен).

Кубический график с мечеными вершинами

Пример: мы можем использовать теорему орбиту-стабилизатора, чтобы подсчитать автоторфизмы графика . Рассмотрим кубический график , как на фото, и пусть G обозначает свою группу автоторфизма . Затем G действует на наборе вершин {1, 2, ..., 8} , и это действие транзитивно, как видно, составляя вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме орбиту-стабилизатора, | G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ | Полем Применяя теорему сейчас к стабилизатору G ₁ , мы можем получить | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ | Полем Любой элемент G , который исправляет 1, должен отправить 2 на 2, 4 или 5. В качестве примера таких автоморфизмов учитывает вращение вокруг диагональной оси до 1 и 7 на 2 π /3 , что пересекает 2, 4, 5 и 3, 6, 8 и исправляет 1 и 7. Таким образом, | ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3 . Применение теоремы в третий раз дает | ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ | Полем Любой элемент G , который исправляет 1 и 2, должен отправлять 3 или 3 или 6. Отражение куба в плоскости через 1, 2, 7 и 8 является таким автоорфизмом, отправляющим от 3 до 6, таким образом | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2 . Также видит, что (( G ₁ ) ₂ ) ₃ состоит только из автоторфизма идентификации, так как любой элемент фиксации g 1, 2 и 3 также должен исправить все другие вершины, поскольку они определяются их смежностью до 1, 2 и 3. Сочетание предыдущих Расчеты, теперь мы можем получить | G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 .

Результатом, тесно связанным с теоремой орбита-стабилизатора, является лемма Бернсайда : $$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,$$ где х ^глин это набор точек, установленных на g . Этот результат в основном используется, когда G и X конечные, когда его можно интерпретировать следующим образом: количество орбит равно среднему количеству точек, фиксированного на элемент группы.

Исправляя группу G , набор формальных различий конечных G -сечений образует кольцо, называемое кольцом Gurside G , где добавление соответствует непревзойденному союзу , и умножение на картезианский продукт .

Примеры

• А Тривиальное действие любой группы G на любой набор x определяется G ⋅ x = x для всех g в G и всех x в x ; То есть каждый элемент группы вызывает перестановку идентичности на x .
• В каждой группе G умножение левого - это действие G на g : g ⋅ ​​x = gx для всех g , x in g . Это действие является свободным и транзитивным (регулярным) и является основой быстрого доказательства теоремы Кейли - что каждая группа является изоморфной для подгруппы симметричной группы перестановки набора .
• В каждой группе G с подгруппой H левое умножение является действием g на набор косетов G / H : G ac ah = gah для всех g , a in g . В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгрупп G , это вызывает изоморфизм от G в подгруппу группы перестановки степени [ g : h ] .
• группе G В каждой конъюгация является действием G на G : G ⋅ x = gxg ⁻¹ Полем Экспоненциальная нотация обычно используется для варианта правого действия: x ^глин = g ⁻¹ XG ; он удовлетворяет ( x ^глин ) ^час = x ^GH .
• В каждой группе G с подгруппой H конъюгация является действием G на конъюгаты h : g ⋅ ​​k = gkg ⁻¹ Для всех G в g и k конъюгатах h .
• Действие Z на набор x уникально определяет и определяется автоорфизмом x , z заданного действием 1. Аналогичным образом, действие / z на x эквивалентно данным инволюции x 2 .
• Симметричная группа S _n и ее подгруппы действуют на набор {1, ..., n }, оставив его элементы
• Группа симметрии многогранника действует на наборе вершин этого многогранника. Он также действует на наборе грани или набор краев многогранника.
• Группа симметрии любого геометрического объекта действует на наборе точек этого объекта.
• Для координатного пространства V над поле F с группой единиц f * , отображение f * × v → v, данное × ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) ↦ ( Ax ₁ , Ax ₂ , ..., ax _n ) - это групповое действие, называемое скалярным умножением .
• Группа автоторфизма векторного пространства (или графика , или группы, или кольца ...) действует на векторное пространство (или набор вершин графика, или группы, или кольцо ...).
• Общая линейная группа GL ( N , K ) и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Lie (включая специальную линейную группу SL ( N , K ) , ортогональную группу O ( N , K ) , специальную ортогональную группу SO ( N , K ) , и Symplectic Group sp ( n , k ) ) - это группы , которые действуют на векторное пространство k ^не Полем Групповые операции определяются путем умножения матриц от групп с векторами из k ^не .
• Общая линейная группа GL ( N , Z ) действует на z ^не Натуральным матричным действием. Орбиты его действия классифицируются по величайшему распространенному делителю координат вектора в z ^не .
• Аффинная группа действует транзисивно на точки аффинного пространства , а подгруппа V аффинной группы (то есть векторное пространство) имеет переходное и свободное (то есть регулярное ) действие на эти точки; Действительно, это можно использовать, чтобы дать определение аффинного пространства .
• Проективная линейная группа PGL ( N + 1, K ) и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Lie, которые являются группами, которые действуют на проективное пространство P ^не ( K ) . Это коэффициент действия общей линейной группы на проективное пространство. Особенно примечательным является PGL (2, K ) , симметрия проективной линии, которая резко 3-летняя, сохраняя поперечное соотношение ; Möbius Group PGL (2, C ) представляет особый интерес.
• Изометрии узоры плоскости действуют на наборе двухмерных изображений и узоров, таких как обоев . Определение может быть сделано более точным, указав, что подразумевается под изображением или рисунком, например, функцией положения со значениями в наборе цветов. Изометрия на самом деле является одним из примеров аффинной группы (действие).
• Наборы, действующие в группе G , включают в себя категорию g -sets , в которых объекты представляют собой g -sets, а морфизмы -гомоморфизмы G -Set: функции F : x → y такие, что g ⋅ ( f ( x )) = f ( g ⋅ x ) для каждого г в g .
• Группа Galois L расширения поля / K действует на поле L но имеет лишь тривиальное действие на элементы подполя K. , Подгруппы GAL ( L / K ) соответствуют подполям L которые содержат K , то есть промежуточные расширения поля между L и K. ,
• Аддитивная группа реальных чисел ( r , +) действует в фазовое пространство « хорошо подходящих » систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) при переводе с временем : если t в R и X находится в фазе Пространство, затем x описывает состояние системы, а T + X определяется как состояние системы t секунды, если t положительный или - T секунд назад, если t отрицательный.
• Аддитивная группа реальных чисел ( r , +) действует на наборе реальных функций реальной переменной различными способами, с ( t ⋅ f ) ( x ) , равным, например, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^Т ) , f ( x ) e ^Т , f ( x + t ) e ^Т , или f ( xe ^Т ) + t , но не f ( xe ^Т + т ) .
• групповое действие G на x , мы можем определить индуцированное действие G на мощности набор x , установив G ⋅ U = { g ⋅ U : U ∈ U } для каждого подмножества и u G каждого G в Учитывая Полем Это полезно, например, при изучении действия крупной группы Mathieu на 24 сета и в изучении симметрии в определенных моделях конечной геометрии .
• Кватернионы Versors с нормой 1 ( на ), как мультипликативная группа, действуют r ³ : Для любого такого кватерниона z = cos α /2 + v sin α /2 , отображение f ( x ) = z x z ^* является вращением против часовой стрелки через угол α вокруг оси, заданной единичным вектором V ; z - это то же вращение; Смотрите кватернионы и пространственное вращение . Это не верное действие, потому что кватернион -1 оставляет все точки там, где они были, как и кватернион 1 .
• Данный левый g -sets x , y , есть левый g -set y ^Х Чьи элементы представляют собой g -equivariant maps α : x × g → y и с левым G заданным G is α = α ∘ (ID _x × -G ) (где » -G -действием , , указывает на правое умножение на G ). Этот g -set имеет свойство, что его фиксированные точки соответствуют эквивалентным картам x → y ; В более общем плане это экспоненциальный объект в категории G -SET.

Групповые действия и группоиды

Основная статья: Groupoid § Групповое действие

Понятие группового действия может быть закодировано действием Громоид G ′ = G ⋉ X , связанные с групповым действием. Стабилизаторами действия являются вершинные группы Groupoid, а орбиты действия - его компоненты.

Морфизмы и изоморфизмы между G -сети

Если x и y -два g -set, морфизм от x до y является функцией f : x → y такая, что f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) для всех g в G и все x в x . Морфизмы G -Sets также называются эквивалентными картами или G - картами .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм F является биктивным, то его обратное также является морфизмом. В этом случае F называется изоморфизмом , а два g -sets x и y называются изоморфными ; Для всех практических целей изоморфные G -сечения неотличимы.

Некоторый пример изоморфизмы:

• Каждое обычное действие G является изоморфным для действия G на G , заданном левым умножением.
• Каждое бесплатное действие G является изоморфным до G × S , где S является некоторым набором, а G действует на G × S при умножении левой на первой координате. ( S может быть воспринято как набор орбит x / g .)
• Каждое транзитивное действие G является изоморфным к левому умножению на g на наборе левых косетов некоторых h g подгрупп . ( H может быть воспринят как стабилизаторская группа любого элемента исходного G -Set.)

С этим понятием морфизма коллекция всех g -sets образует категорию ; Эта категория - топос Grothendieck (на самом деле, предполагая классическую металлическую , эта топос будет даже логическим).

Варианты и обобщения

Мы также можем рассмотреть действия моноидов на наборы, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биологические карты и отношения эквивалентности. Смотрите полугрупповое действие .

Вместо действий на наборах мы можем определить действия групп и моноидов на объекты произвольной категории: начните с объекта x определить действие на X как моноидный гомоморфизм в моноид эндоморфизмов x . некоторой категории, а затем Если X имеет базовый набор, то все определения и факты, указанные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получаем групповые представления таким образом.

Мы можем просматривать группу G как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм инвертируется . (Слева) групповое действие является тогда не чем иным, как (ковариантом) функтор от G до категории наборов , а групповое представление - это функтор от G до категории векторных пространств . Морфизм между G -сетью является естественной трансформацией между групповыми функторами действий. По аналогии, действие Groupoid - это функтор от Groupoid до категории наборов или какой -то другой категории.

В дополнение к непрерывным действиям топологических групп на топологические пространства, также часто рассматривают плавные действия групп лжи на гладкие коллекторы , регулярные действия алгебраических групп на алгебраические сорта и действия групповых схем на схемы . Все это примеры групповых объектов , действующих на объекты их соответствующей категории.

Галерея

• 
  Орбита фундаментального сферического треугольника (отмеченного красным) под действием полной октаэдрической группы.
• 
  Орбита фундаментального сферического треугольника (отмеченного красным) под действием полной икосаэдрической группы.

Смотрите также

• Получить график
• Группа с операторами
• Измеримое групповое действие
• Моноидное действие
• Развитие молодых - Deruyts

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2000). Конечная теория группы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78675-1 Полем Мистер   1777008 .
• Dummit, Дэвид; Ричард Фут (2003). Аннотация алгебра (3 -е изд.). Уайли. ISBN  0-471-43334-9 .
• EIE, MINGING; Чанг, Шоу-Те (2010). Курс по абстрактной алгебре . Мировой научный. ISBN  978-981-4271-88-2 .
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-79540-1 , Мистер   1867354 .
• Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Тексты выпускников по математике 148 (4 -е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-94285-8 .
• Смит, Джонатан Д.Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. CRC Press. ISBN  978-1-4200-6371-4 .
• Kapovich, Michael (2009), гиперболические коллекторы и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, с. XXVII+467, ISBN  978-0-8176-4912-8 , ZBL   1180.57001
• Маскит, Бернард (1988), Кляйнские группы , Основное обучение математических наук, Vol. 287, Springer-Verlag, с. XIII+326, ZBL   0627.30039
• Перроне, Паоло (2024), Теория стартовой категории , World Scientific, doi : 10.1142/9789811286018_0005 , ISBN  978-981-12-8600-1
• Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трех доменов , Принстонские лекции, с. 175, архивировано с оригинала 2020-07-27 , извлечен 2016-02-08
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Тол. 1. , Принстонский математический сериал, вып. 35, Princeton University Press, стр. X+311, ZBL   0873.57001
• Том Дик, Таммо (1987), Группы трансформации , исследования De Gruyter по математике, Vol. 8, Берлин: Walter de Gruyter & Co., p. 29, doi : 10.1515/9783110858372.312 , ISBN  978-3-11-009745-0 , MR   0889050

Внешние ссылки

• «Действие группы на многообразие» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик У. "Групповое действие" . MathWorld .