Измеримая действующая группа

В математике измеримая действующая группа — это специальная группа, которая действует на некотором пространстве способом, совместимым со структурами теории меры . Измеримые действующие группы находятся на пересечении теории меры и теории групп , двух разделов математики. Измеримые действующие группы являются основой для изучения инвариантных мер в абстрактных условиях, наиболее известной из которых является мера Хаара , и изучения стационарных случайных мер .

Определение

Позволять $(G,{\mathcal {G}},\circ )$ быть измеримой группой , где ${\mathcal {G}}$ обозначает $\sigma$-алгебра на $G$ и $\circ$ групповой закон . Пусть дальше $(S,{\mathcal {S}})$ быть измеримым пространством и пусть ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ быть продуктом $\sigma$-алгебра ​ $\sigma$-алгебры ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$.

Позволять $G$ действовать дальше $S$ с групповым действием

$\Phi \colon G\times S\to S$

Если $\Phi$ является измеримой функцией от ${\mathcal {G}}\otimes {\mathcal {S}}$ к ${\mathcal {S}}$, то это называется измеримым групповым действием . В этом случае группа $G$ говорят, действует измеримо на $S$.

Пример: Измеримые группы как измеримые действующие группы

Особым случаем измеримых действующих групп являются сами измеримые группы. Если $S=G$, а действие группы — это групповой закон, то измеримая группа — это группа $G$, действуя измеримо на $G$.

Ссылки

• Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN  978-3-319-41596-3 .