Случайная мера

В теории вероятностей случайная мера — это с мерным значением случайный элемент . Случайные меры, например, используются в теории случайных процессов , где они образуют многие важные точечные процессы, такие как точечные процессы Пуассона и процессы Кокса .

Определение

Случайные меры можно определить как переходные ядра или как случайные элементы . Оба определения эквивалентны. Для определений пусть $E$ — сепарабельное полное метрическое пространство и пусть ${\mathcal {E}}$ будь это Борель $\sigma$-алгебра . (Наиболее распространенный пример сепарабельного полного метрического пространства — это $\mathbb {R} ^{n}$)

В качестве переходного ядра

Случайная мера $\zeta$ является ( as ) локально конечным переходным ядром из абстрактного вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ к $(E,{\mathcal {E}})$.

Быть переходным ядром означает, что

• Для любого фиксированного $B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}$, отображение

$\omega \mapsto \zeta (\omega ,B)$

измеримо ​ от $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ к $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

• Для каждого фиксированного $\omega \in \Omega$, отображение

$B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})$

это мера по $(E,{\mathcal {E}})$

Локальная конечность означает, что меры

$B\mapsto \zeta (\omega ,B)$

удовлетворить $\zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty$ для всех ограниченных измеримых множеств ${\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}$ и для всех $\omega \in \Omega$ кроме некоторых $P$- нулевой набор

В контексте случайных процессов существует родственное понятие стохастического ядра, вероятностного ядра, ядра Маркова .

Как случайный элемент

Определять

${\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}$

и подмножество локально конечных мер посредством

${\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}$

Для всех ограниченных измеримых ${\tilde {B}}$, определим отображения

$I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})$

от ${\tilde {\mathcal {M}}}$ к $\mathbb {R}$. Позволять ${\tilde {\mathbb {M} }}$ быть $\sigma$-алгебра, индуцированная отображениями $I_{\tilde {B}}$ на ${\tilde {\mathcal {M}}}$ и $\mathbb {M}$ тот $\sigma$-алгебра, индуцированная отображениями $I_{\tilde {B}}$ на ${\mathcal {M}}$. Обратите внимание, что ${\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M}$.

Случайная мера – это случайный элемент из $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ к $({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})$ который почти наверняка принимает значения в $({\mathcal {M}},\mathbb {M} )$

Основные связанные понятия

Мера интенсивности

Основная статья: мера интенсивности

Для случайной меры $\zeta$, мера $\operatorname {E} \zeta$ удовлетворяющий

$\operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)$

для каждой положительной измеримой функции $f$ называется мерой интенсивности $\zeta$. Мера интенсивности существует для каждой случайной меры и является s-конечной мерой .

Поддерживающая мера

Для случайной меры $\zeta$, мера $\nu$ удовлетворяющий

$\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0$

для всех положительных измеримых функций называется опорной мерой $\zeta$. Опорная мера существует для всех случайных мер и может быть выбрана конечной.

Преобразование Лапласа

Для случайной меры $\zeta$ определяется преобразование Лапласа как

${\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]$

для каждой положительной измеримой функции $f$.

Основные свойства

Измеримость интегралов

Для случайной меры $\zeta$, интегралы

$\int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)$

и $\zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)$

для позитива ${\mathcal {E}}$-измеримый $f$ измеримы, поэтому являются случайными величинами .

Уникальность

Распределение случайной меры однозначно определяется распределениями

$\int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)$

для всех непрерывных функций с компактной поддержкой $f$ на $E$. Для фиксированного полукольца ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}$ который генерирует ${\mathcal {E}}$ в том смысле, что $\sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}$, распределение случайной меры также однозначно определяется интегралом по всем положительным простым ${\mathcal {I}}$-измеримые функции $f$.

Разложение

Как правило, меру можно разложить следующим образом:

$\mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},$

Здесь $\mu _{d}$ является диффузной мерой без атомов, а $\mu _{a}$ является чисто атомарной мерой.

Случайная мера подсчета

Случайная мера вида:

$\mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},$

где $\delta$ – мера Дирака , а $X_{n}$ являются случайными величинами, называется точечным процессом или случайная мера подсчета . Эта случайная мера описывает набор N частиц, местоположения которых задаются (обычно векторными) случайными величинами. $X_{n}$. Диффузная составляющая $\mu _{d}$ является нулевым для счетной меры.

В приведенных выше формальных обозначениях случайная считающая мера представляет собой отображение вероятностного пространства в измеримое пространство ( $N_{X}$,  ${\mathfrak {B}}(N_{X})$) пространство измеримое . Здесь $N_{X}$ — пространство всех ограниченно конечных целочисленных мер $N\in M_{X}$ (называемые счетными мерами ).

Определения меры ожидания, функционала Лапласа, моментных мер и стационарности для случайных мер соответствуют определениям точечных процессов . Случайные меры полезны при описании и анализе методов Монте-Карло , таких как численная квадратура Монте-Карло и фильтры частиц .

См. также

• Случайная мера Пуассона
• Векторная мера
• Ансамбль