Метрика продукта

В математике метрика произведения — это метрика декартова произведения конечного числа метрических пространств. $(X_{1},d_{X_{1}}),\ldots ,(X_{n},d_{X_{n}})$ который метризует топологию продукта . Наиболее заметными метриками продукта являются p метрики продукта для фиксированной $p\in [1,\infty )$ :Он определяется как p -норма -вектора n расстояний, измеренных в n подпространствах:

$d_{p}((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\|\left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right)\|_{p}$

Для $p=\infty$ эту метрику также называют метрикой sup:

$d_{\infty }((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):=\max \left\{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right\}.$

Выбор нормы

Для евклидовых пространств использование нормы L ₂ приводит к появлению евклидовой метрики в пространстве произведений; однако любой другой выбор p приведет к топологически эквивалентному метрическому пространству. В категории метрических пространств (с липшицевыми отображениями, имеющими константу Липшица 1) произведение (в смысле теории категорий) использует метрику sup.

Случай римановых многообразий

Для римановых многообразий $(M_{1},g_{1})$ и $(M_{2},g_{2})$, метрика продукта $g=g_{1}\oplus g_{2}$ на $M_{1}\times M_{2}$ определяется

$g(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})=g_{1}(X_{1},Y_{1})+g_{2}(X_{2},Y_{2})$

для $X_{i},Y_{i}\in T_{p_{i}}M_{i}$ под естественной идентификацией $T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2}$.

Ссылки

• Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2009), Энциклопедия расстояний , Springer-Verlag, стр. 83 .
• Ли, Джон (1997), Римановы многообразия , Springer Verlag, ISBN  978-0-387-98322-6 .