Категория алгебры

В теории категорий , области математики , алгебра категорий — это ассоциативная алгебра , определенная для любой локально конечной категории и коммутативного кольца с единицей . Алгебры категорий обобщают понятия групповых алгебр и алгебр инцидентности точно так же, как категории обобщают понятия групп и частично упорядоченных множеств .

Определение [ править ]

Если данная категория конечна (имеет конечное число объектов и морфизмов ), то следующие два определения алгебры категорий согласуются.

алгебры в стиле Определение групповой

Учитывая группу G и коммутативное кольцо R , можно построить RG , известную как групповая алгебра ; это R - модуль, оснащенный функцией умножения. Группа — это то же самое, что категория с одним объектом, в которой все морфизмы являются изоморфизмами (где элементы группы соответствуют морфизмам категории), поэтому следующая конструкция обобщает определение групповой алгебры с групп на произвольные категории. .

Пусть C — категория, а R — коммутативное кольцо с единицей. Определим RC (или R [ C ]) как свободный R -модуль с множеством $\operatorname {Hom} C$ морфизмов C как его базиса . Другими словами, RC состоит из формальных линейных комбинаций (которые являются конечными суммами) вида $\sum a_{i}f_{i}$ , где — _{морфизмы} C , а ai _— элементы кольца R. fi Определите операцию умножения на RC следующим образом, используя операцию композиции в категории:

\sum a_{i}f_{i}\sum b_{j}g_{j}=\sum a_{i}b_{j}f_{i}g_{j}

где $f_{i}g_{j}=0$ если их состав не определен. Это определяет бинарную операцию над RC и, более того, превращает в ассоциативную алгебру над кольцом R. RC называется алгеброй категорий C Эта алгебра .

С другой точки зрения, элементы свободного модуля RC также можно рассматривать как функции морфизмов C в R , которые имеют конечный носитель . Тогда умножение описывается сверткой : если $a,b\in RC$ (думаемые как функционалы от морфизмов C ), то их произведение определяется как:

(a*b)(h):=\sum _{fg=h}a(f)b(g).

Последняя сумма конечна, поскольку функции имеют конечный носитель, и, следовательно, $a*b\in RC$ .

Определение в стиле алгебры заболеваемости [ править ]

Определение, используемое для алгебр инцидентности, предполагает, что категория C локально конечна (см. ниже), двойственна приведенному выше определению и определяет другой объект. Это бесполезное предположение для групп, поскольку группа, локально конечная как категория, конечна .

— Локально конечная категория это такая категория, в которой каждый морфизм может быть записан лишь конечным числом способов как композиция двух нетождественных морфизмов (не путать со значением «имеет конечные Hom-множества »). Алгебра категорий (в этом смысле) определяется, как указано выше, но позволяет всем коэффициентам быть ненулевыми.

С точки зрения формальных сумм все элементы являются формальными суммами.

\sum _{f_{i}\in \operatorname {Hom} C}a_{i}f_{i},

где нет ограничений на $a_{i}$ (все они могут быть ненулевыми).

С точки зрения функций, элементами являются любые функции из морфизмов C в R , а умножение определяется как свертка. Сумма в свертке всегда конечна из-за предположения локальной конечности.

Двойной [ править ]

Модуль, двойственный к алгебре категорий (в смысле определения групповой алгебры), представляет собой пространство всех отображений морфизмов C в R , обозначаемое F ( C ), и имеет естественную структуру коалгебры . Таким образом, для локально конечной категории двойственная категория алгебры категорий (в смысле групповой алгебры) является алгеброй категорий (в смысле алгебры инцидентности) и имеет структуру как алгебры, так и коалгебры.

Примеры [ править ]

Если C — группа (представляемая как группоид с одним объектом), то RC — групповая алгебра .
Если C — моноид (представляемый как категория с одним объектом), то RC — кольцо моноида .
Если C — частично упорядоченное множество , то (используя соответствующее определение) RC — алгебра инцидентности .
частичные порядки позволяют рассматривать только верхние или нижние треугольные матрицы как алгебры инцидентности, концепция алгебр категорий также включает в себя кольцо матриц R Хотя . Действительно, если C — предпорядок на n точках, где каждая точка имеет отношение друг к другу ( полный граф ), то RC — матричное кольцо $R^{n\times n}$ .
Если C — дискретная категория , то RC можно рассматривать как кольцо функций $C\rightarrow R$ с поточечным сложением и умножением или, что то же самое, прямым произведением копий R, индексированных над C . В случае бесконечного C необходимо различать «стиль групповой алгебры» и «стиль алгебры инцидентности», потому что в первом случае допускается только конечное число членов в формальной линейной комбинации, в результате чего вместо этого RC становится прямая сумма копий R .
Алгебра путей колчана Q — это алгебра категорий свободной категории на Q.

Ссылки [ править ]

Хей, Джон. Об алгебре Мёбиуса и кольце Гротендика конечной категории J. London Math. Сок (2), 21 (1980) 81–92.

Дальнейшее чтение [ править ]

http://www.math.umn.edu/~webb/Publications/CategoryAlgebras.pdf Стандартный текст.