Многомерная алгебра
В математике , особенно в теории ( высших ) категорий , многомерная алгебра — это изучение категоризированных структур. Он имеет приложения в неабелевой алгебраической топологии и обобщает абстрактную алгебру .
Категории более высокого уровня [ править ]
Первым шагом к определению алгебр более высоких размерностей является концепция 2-категорий теории высших категорий , за которой следует более «геометрическая» концепция двойной категории. [1] [2] [3]
Таким образом, концепция более высокого уровня определяется как категория категорий или суперкатегория, которая обобщает на более высокие измерения понятие категории , рассматриваемое как любая структура, которая является интерпретацией Ловера аксиом элементарной теории абстрактных категорий (ETAC). ). [4] [5] [6] [7] Таким образом, суперкатегорию, а также суперкатегорию можно рассматривать как естественное расширение понятий метакатегории . [8] мультикатегорий , и мультиграф, k -дольный граф , или цветной граф (см. цветной рисунок , а также его определение в теории графов ).
Суперкатегории были впервые введены в 1970 году. [9] и впоследствии были разработаны для приложений в теоретической физике (особенно в квантовой теории поля и топологической квантовой теории поля ) и математической биологии или математической биофизике . [10]
Другие пути в многомерной алгебре включают: бикатегории , гомоморфизмы бикатегорий, переменные категории (также известные как индексированные или параметризованные категории ), топосы , эффективный спуск, а также обогащенные и внутренние категории .
Двойные группоиды [ править ]
В многомерной алгебре (HDA) двойной группоид представляет собой обобщение одномерного группоида на два измерения. [11] и последний группоид можно рассматривать как частный случай категории со всеми обратимыми стрелками или морфизмами .
Двойные группоиды часто используются для сбора информации о геометрических объектах, таких как многомерные многообразия (или n -мерные многообразия ). [11] В общем, n -мерное многообразие — это пространство, которое локально выглядит как n- мерное евклидово пространство , но глобальная структура которого может быть неевклидовой .
Двойные группоиды были впервые представлены Рональдом Брауном в книге «Двойные группоиды и скрещенные модули» (1976). [11] и получили дальнейшее развитие в направлении приложений в неабелевой алгебраической топологии . [12] [13] [14] [15] Родственное «двойственное» понятие — это понятие двойного алгеброида и более общее понятие R-алгеброида .
топология алгебраическая Неабелева
См. Неабелеву алгебраическую топологию.
Приложения [ править ]
Теоретическая физика [ править ]
В квантовой теории поля существуют квантовые категории . [16] [17] [18] и квантовые двойные группоиды . [18] Можно рассматривать квантовые двойные группоиды как фундаментальные группоиды, определенные через 2-функтор , что позволяет думать о физически интересном случае квантовых фундаментальных группоидов (КФГ) в терминах бикатегории Span(Groupoids) , а затем построить 2- гильбертовы группоиды. пространства и 2- линейные отображения многообразий и кобордизмов . На следующем шаге получаются кобордизмы с углами естественными преобразованиями таких 2-функторов . Затем было сделано заявление, что с помощью калибровочной группы SU (2) «расширенная TQFT , или ETQFT, дает теорию, эквивалентную Понцано – Редже модели квантовой гравитации »; [18] аналогично тогда модель Тураева–Виро будет получена с представлениями SU q (2). Следовательно, можно описать пространство состояний калибровочной теории – или многих видов квантовых теорий поля (КТП) и локальной квантовой физики в терминах группоидов преобразований , заданных симметриями, как, например, в случае калибровочной теории, следующим образом: калибровочные преобразования, действующие на состояния, которые в данном случае являются связями. В случае симметрий, связанных с квантовыми группами , можно было бы получить структуры, которые являются категориями представления квантовых группоидов . [16] вместо 2- векторных пространств , которые являются категориями представления группоидов.
Квантовая физика [ править ]
См. также [ править ]
- Хронология теории категорий и связанной с ней математики
- Теория высших категорий
- Рональд Браун
- Алгеброид лжи
- Двойной группоид
- Анабелева геометрия
- Некоммутативная геометрия
- Категорическая алгебра
- Теория Галуа Гротендика.
- Топология Гротендика
- Топологическая динамика
- Категориальная динамика
- Скрещенный модуль
- Псевдоалгебра
Примечания [ править ]
- ^ «Двойные категории и псевдоалгебры» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2010 г.
- ^ Браун, Р.; Лоде, Ж.-Л. (1987). «Гомотопическое вырезание и теоремы Гуревича для n -кубов пространств». Труды Лондонского математического общества . 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325 . дои : 10.1112/plms/s3-54.1.176 .
- ^ Батанин, М.А. (1998). «Моноидальные глобулярные категории как естественная среда теории слабых n -категорий» . Достижения в математике . 136 (1): 39–103. дои : 10.1006/aima.1998.1724 .
- ^ Ловере, ФРВ (1964). «Элементарная теория категории множеств» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 52 (6): 1506–1511. Бибкод : 1964PNAS...52.1506L . дои : 10.1073/pnas.52.6.1506 . ПМК 300477 . ПМИД 16591243 .
- ^ Ловер, FW: 1966, Категория категорий как основа математики., в Proc. Конф. Категорическая алгебра - Ла Хойя , Эйленберг С. и др., ред. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк, стр. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/. Архивировано 12 августа 2009 г. в Wayback Machine.
- ^ «Криптовалюты и физика» . ПланетаФизика. 29 марта 2024 г.
- ^ Ловере, ФР (1969b). «Сопряженность в основаниях» . Диалектика . 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900 . дои : 10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x . Архивировано из оригинала 12 августа 2009 г. Проверено 21 июня 2009 г.
- ^ «Аксиомы метакатегорий и суперкатегорий» . ПланетаФизика. Архивировано из оригинала 14 августа 2009 г. Проверено 2 марта 2009 г.
- ^ «Теория суперкатегорий» . ПланетаМатематика. Архивировано из оригинала 26 октября 2008 г.
- ^ «Математическая биология и теоретическая биофизика» . ПланетаФизика. Архивировано из оригинала 14 августа 2009 г. Проверено 2 марта 2009 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Браун, Рональд; Спенсер, Кристофер Б. (1976). «Двойные группоиды и скрещенные модули» . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 17 (4): 343–362.
- ^ «Некоммутативная геометрия и неабелева алгебраическая топология» . ПланетаФизика. Архивировано из оригинала 14 августа 2009 г. Проверено 2 марта 2009 г.
- ^ по неабелевой алгебраической топологии. Книга Архивировано 4 июня 2009 г. в Wayback Machine.
- ^ Неабелева алгебраическая топология: высшие гомотопические группоиды фильтрованных пространств
- ^ Браун, Рональд; Хиггинс, Филип; Сивера, Рафаэль (2011). Неабелева алгебраическая топология . arXiv : math/0407275 . дои : 10.4171/083 . ISBN 978-3-03719-083-8 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Квантовая категория» . ПланетаМатематика. Архивировано из оригинала 1 декабря 2011 г.
- ^ «Изоморфизм ассоциативности» . ПланетаМатематика. Архивировано из оригинала 17 декабря 2010 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Мортон, Джеффри (18 марта 2009 г.). «Заметки о квантовых группоидах» . C*-алгебры, теория деформаций, группоиды, некоммутативная геометрия, квантование . Теоретический атлас.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж.; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . Том. Трактаты Том 15. Европейское математическое общество. arXiv : math/0407275 . дои : 10.4171/083 . ISBN 978-3-03719-083-8 . ( Доступен PDF-файл для скачивания )
- Браун, Р.; Моса, GH (1999). «Двойные категории, тонкие структуры и связи» . Теория и приложения категорий . 5 : 163–175. CiteSeerX 10.1.1.438.8991 .
- Браун, Р. (2002). Категориальные структуры для теории происхождения и Галуа . Институт Филдса .
- Браун, Р. (1987). «От групп к группоидам: краткий обзор» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 19 (2): 113–134. CiteSeerX 10.1.1.363.1859 . дои : 10.1112/blms/19.2.113 . hdl : 10338.dmlcz/140413 . Это дает некоторую информацию об истории группоидов, а именно, о происхождении работ Генриха Брандта по квадратичным формам, а также о более поздних работах до 1987 года со 160 ссылками.
- Браун, Рональд (2018). «Теория многомерных групп» . groupoids.org.uk . Бангорский университет. Интернет-статья с множеством ссылок, объясняющая, как концепция группоида привела к понятиям группоидов более высокой размерности, недоступным в теории групп, с приложениями в теории гомотопий и когомологиях групп.
- Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж. (1981). «Об алгебре кубов». Журнал чистой и прикладной алгебры . 21 (3): 233–260. дои : 10.1016/0022-4049(81)90018-9 .
- Маккензи, КЧ (2005). Общая теория группоидов и алгеброидов Ли . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 213. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-49928-6 . Архивировано из оригинала 10 марта 2005 г.
- Браун, Р. (2006). Топология и группоиды . Книжный порыв . ISBN 978-1-4196-2722-4 . Переработанное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Электронная версия доступна на веб-сайте.
- Борсо, Ф.; Джанелидзе, Г. (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-07041-6 . OCLC 1167627177 . Архивировано из оригинала 23 декабря 2012 г. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа.
- Баэз, Дж.; Долан, Дж. (1998). «Большая алгебра III. n -категорий и алгебра опетопов». Достижения в математике . 135 (2): 145–206. arXiv : q-alg/9702014 . Бибкод : 1997q.alg.....2014B . дои : 10.1006/aima.1997.1695 . S2CID 18857286 .
- Баяну, IC (1970). «Организмические суперкатегории: II. О мультистабильных системах» (PDF) . Вестник математической биофизики . 32 (4): 539–61. дои : 10.1007/BF02476770 . ПМИД 4327361 .
- Баяну, IC; Маринеску, М. (1974). «О функториальной конструкции ( M , R )-систем». Румынский журнал чистой и прикладной математики . 19 : 388–391.
- Баяну, IC (1987). «Компьютерные модели и теория автоматов в биологии и медицине» . В М. Виттене (ред.). Математические модели в медицине . Том. 7. Пергамон Пресс . стр. 1513–77. ISBN 978-0-08-034692-2 . OCLC 939260427 . ЦЕРН Препринт № EXT-2004-072. ASIN 0080346928 ASIN 0080346928 .
- «Гомотопия высших измерений» . ПланетаФизика. Архивировано из оригинала 13 августа 2009 г.
- Джанелидзе, Георгий (1990). «Чистая теория Галуа в категориях». Журнал алгебры . 132 (2): 270–286. дои : 10.1016/0021-8693(90)90130-G .
- Джанелидзе, Георгий (1993). «Теория Галуа в переменных категориях». Прикладные категориальные структуры . 1 : 103–110. дои : 10.1007/BF00872989 . S2CID 22258886 . .
|  | |||||||||||||||||
