группоид

Эта статья о группоидах в теории категорий. Чтобы узнать об алгебраической структуре с одной бинарной операцией, см. магму (алгебра) .

В математике , особенно в теории категорий и теории гомотопий , группоид (реже группоид Брандта или виртуальная группа ) обобщает понятие группы несколькими эквивалентными способами. Группоид можно рассматривать как:

• Группа с частичной функцией, заменяющей бинарную операцию ;
• Категория , в которой каждый морфизм обратим. Такую категорию можно рассматривать как дополненную унарной операцией над морфизмами, называемой обратной по аналогии с теорией групп . Группоид, в котором имеется только один объект, является обычной группой.

При наличии зависимой типизации категорию в целом можно рассматривать как типизированный моноид , и аналогично группоид можно рассматривать как просто типизированную группу. Морфизмы переносят один объект из одного объекта в другой и образуют зависимое семейство типов, поэтому морфизмы могут быть типизированы. $g:A\rightarrow B$, $h:B\rightarrow C$, сказать. Тогда композиция представляет собой полную функцию: $\circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C$, так что $h\circ g:A\rightarrow C$.

К особым случаям относятся:

• Сетоиды : множества , которые имеют отношение эквивалентности ,
• G-наборы : наборы, оснащенные действием . групповым $G$.

Группоиды часто используются для рассуждений о геометрических объектах, таких как многообразия . Генрих Брандт ( 1927 ) ввел группоиды неявно через полугруппы Брандта .

Определения

Алгебраический

Группоид можно рассматривать как алгебраическую структуру, состоящую из множества с бинарной частичной функцией .Точнее, это непустое множество $G$ с унарной операцией ${}^{-1}:G\to G,$ и частичная функция $*:G\times G\rightharpoonup G$. Здесь * не является бинарной операцией , поскольку она не обязательно определена для всех пар элементов $G$. Точные условия, при которых $*$ здесь не сформулированы и варьируются в зависимости от ситуации.

Операции $\ast$ и ⁻¹ обладают следующими аксиоматическими свойствами: для всех $a$, $b$, и $c$ в $G$,

1. Ассоциативность : Если $a*b$ и $b*c$ определены, то $(a*b)*c$ и $a*(b*c)$ определены и равны. И наоборот, если один из $(a*b)*c$ или $a*(b*c)$ определена, то они оба определены (и они равны друг другу), и $a*b$ и $b*c$ также определены.
2. Обратный : $a^{-1}*a$ и $a*{a^{-1}}$ всегда определены.
3. Личность : Если $a*b$ определено, то $a*b*{b^{-1}}=a$, и ${a^{-1}}*a*b=b$. (Две предыдущие аксиомы уже показывают, что эти выражения определены и однозначны.)

Из этих аксиом следуют два простых и удобных свойства:

• $(a^{-1})^{-1}=a$,
• Если $a*b$ определено, то $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.

Теория категорий

Группоид — это малая категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом , т. е. обратимым. Более подробно, группоид G множество G0 _{объектов} с это —

• для каждой пары объектов x и y a (возможно, пустых) задано G ( x , y ) морфизмов (или стрелок ) от x до y ; мы пишем f : x → y , чтобы указать, что f является элементом G ( x , y );
• для каждого объекта x назначенный элемент $\mathrm {id} _{x}$ G , ( x ) x ;
• для каждой тройки x , y и z функция объектов $\mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf$;
• для каждой пары объектов x , y есть функция $\mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}$ удовлетворяющее для любых f : x → y , g : y → z и h : z → w :
  • $f\ \mathrm {id} _{x}=f$ и $\mathrm {id} _{y}\ f=f$;
  • $(hg)f=h(gf)$;
  • $ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}$ и $f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}$.

Если f является элементом G ( x , y ), то x называется источником f y , пишется s ( f ), а называется целью f , ( t пишется f ) .

Группоид G иногда обозначается как $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$, где $G_{1}$ — множество всех морфизмов, а две стрелки $G_{1}\to G_{0}$ представляют источник и цель.

В более общем смысле, можно рассматривать группоидный объект в произвольной категории, допускающей конечные расслоенные произведения.

Сравнение определений

Как мы сейчас покажем, алгебраические и теоретико-категорные определения эквивалентны. Учитывая группоид в теоретико-категорном смысле, пусть G будет дизъюнктным объединением всех множеств G ( x , y ) (т.е. наборов морфизмов от x до y ). Затем $\mathrm {comp}$ и $\mathrm {inv}$ становятся частичными операциями над G и $\mathrm {inv}$ фактически будет определен везде. Мы определяем ∗ как $\mathrm {comp}$ и ⁻¹ быть $\mathrm {inv}$, что дает группоид в алгебраическом смысле. Явное указание на G ₀ (и, следовательно, на $\mathrm {id}$) можно отбросить.

Обратно, для группоида G в алгебраическом смысле определите отношение эквивалентности $\sim$ на его элементы по $a\sim b$ тогда и только тогда, когда а * а ⁻¹ = б * б ⁻¹ . Пусть G ₀ — множество классов эквивалентности $\sim$, то есть $G_{0}:=G/\!\!\sim$. Обозначим a ∗ a ⁻¹ к $1_{x}$ если $a\in G$ с $x\in G_{0}$.

Теперь определите $G(x,y)$ как набор всех элементов f таких, что $1_{x}*f*1_{y}$ существует. Данный $f\in G(x,y)$ и $g\in G(y,z),$ их совокупность определяется как $gf:=f*g\in G(x,z)$. Чтобы убедиться, что это четко определено, заметим, что, поскольку $(1_{x}*f)*1_{y}$ и $1_{y}*(g*1_{z})$ существует, так же как и $(1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g$. тождественный морфизм на x равен Тогда $1_{x}$, а теоретико-категориальная обратная функция f равна f ⁻¹ .

Множества в приведенных выше определениях можно заменить классами , как это обычно бывает в теории категорий.

Группы вершин и орбиты

Учитывая группоид G , группы вершин или группы изотропии или группы объектов в G являются подмножествами формы G ( x , x где x — любой объект G. ) , Из приведенных выше аксиом легко следует, что это действительно группы, поскольку каждая пара элементов компонуема, а обратные элементы находятся в одной группе вершин.

Орбита в группоида G точке $x\in X$ задается набором $s(t^{-1}(x))\subseteq X$ содержащую каждую точку, которую можно соединить с x морфизмом из G. Если две точки $x$ и $y$ находятся на одних и тех же орбитах, их вершинные группы $G(x)$ и $G(y)$ изоморфны если : $f$ любой морфизм из $x$ к $y$, то изоморфизм задается отображением $g\to fgf^{-1}$.

Орбиты образуют разбиение множества X, и группоид называется транзитивным, если он имеет только одну орбиту (т. е. если он связен как категория). В этом случае все группы вершин изоморфны (с другой стороны, это не является достаточным условием транзитивности; см. В разделе ниже контрпримеры ).

Подгруппоиды и морфизмы

Подгруппоид ​ ​ $G\rightrightarrows X$ это подкатегория $H\rightrightarrows Y$ это само по себе группоид. Она называется широкой или полной , если она является широкой или полной как подкатегория, т. е. соответственно, если $X=Y$ или $G(x,y)=H(x,y)$ для каждого $x,y\in Y$.

Группоидный морфизм — это просто функтор между двумя (теоретико-категориальными) группоидами.

Интерес представляют частные виды морфизмов группоидов. Морфизм $p:E\to B$ группоидов называется расслоением , если для каждого объекта $x$ из $E$ и каждый морфизм $b$ из $B$ начиная с $p(x)$ есть морфизм $e$ из $E$ начиная с $x$ такой, что $p(e)=b$. Расслоение называется накрывающим морфизмом или накрытием группоидов, если, кроме того, такое $e$ является уникальным. Накрывающие морфизмы группоидов особенно полезны, поскольку их можно использовать для моделирования накрывающих карт пространств.

Верно также, что категория накрывающих морфизмов данного группоида $B$ эквивалентно категории действий группоида $B$ на съемках.

Примеры

Топология

Основная статья: Фундаментальный группоид

Учитывая топологическое пространство $X$, позволять $G_{0}$ быть набором $X$. Морфизмы с точки $p$ в точку $q$ являются эквивалентности непрерывных из путей классами $p$ к $q$, причем два пути эквивалентны, если они гомотопны .Два таких морфизма составляются, следуя сначала по первому пути, затем по второму; гомотопическая эквивалентность гарантирует ассоциативность этой композиции . Этот группоид называется группоидом фундаментальным $X$, обозначенный $\pi _{1}(X)$ (или иногда, $\Pi _{1}(X)$). Обычная фундаментальная группа $\pi _{1}(X,x)$ тогда это группа вершин для точки $x$.

Орбиты фундаментального группоида $\pi _{1}(X)$ являются связными по путям компонентами $X$. Соответственно, фундаментальный группоид линейно-связного пространства транзитивен, и мы восстанавливаем известный факт, что фундаментальные группы в любой базовой точке изоморфны. Более того, в этом случае фундаментальный группоид и фундаментальные группы эквивалентны как см. В разделе ниже категории ( общую теорию ).

Важным развитием этой идеи является рассмотрение фундаментального группоида. $\pi _{1}(X,A)$ где $A\subset X$ представляет собой выбранный набор «базовых точек». Здесь $\pi _{1}(X,A)$ является (широким) подгруппоидом $\pi _{1}(X)$, где рассматриваются только пути, конечные точки которых принадлежат $A$. Набор $A$ может быть выбран в соответствии с геометрией рассматриваемой ситуации.

Отношение эквивалентности

Если $X$ является сетоидом , т.е. множеством с отношением эквивалентности $\sim$, то группоид, «представляющий» это отношение эквивалентности, можно сформировать следующим образом:

• Объектами группоида являются элементы $X$;
• Для любых двух элементов $x$ и $y$ в $X$, существует единственный морфизм из $x$ к $y$ (обозначим через $(y,x)$) тогда и только тогда, когда $x\sim y$;
• Состав $(z,y)$ и $(y,x)$ является $(z,x)$.

Группы вершин этого группоида всегда тривиальны; более того, этот группоид, вообще говоря, не транзитивен и его орбиты являются в точности классами эквивалентности. Есть два крайних примера:

• Если каждый элемент $X$ находится во взаимосвязи с любым другим элементом $X$, получим группоид парный $X$, который имеет всю $X\times X$ как набор стрелок и является переходным.
• Если каждый элемент $X$ находится только по отношению к самому себе, получается единичный группоид , который имеет $X$ как набор стрелок, $s=t=id_{X}$, и который совершенно нетранзитивен (каждый синглтон $\{x\}$ является орбитой).

Примеры

• Если $f:X_{0}\to Y$ является гладкой сюръективной субмерсией , гладких многообразий то $X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}$ является отношением эквивалентности с $Y$ имеет топологию, фактортопологии изоморфную $X_{0}$ под сюръективным отображением топологических пространств. Если мы напишем, $X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}$ тогда мы получим группоид

  $X_{1}\rightrightarrows X_{0}$

  который иногда называют банальным группоидом сюръективной погружения гладких многообразий.
• Если мы ослабим требование рефлексивности и рассмотрим отношения частичной эквивалентности , то станет возможным рассмотреть полуразрешимые понятия эквивалентности на вычислимых реализаторах для множеств. Это позволяет использовать группоиды в качестве вычислимого приближения к теории множеств, называемого моделями PER . Рассматриваемые как категория, модели PER представляют собой декартову замкнутую категорию с классификатором объектов и подобъектов натуральных чисел, что дает начало эффективному топосу, введенному Мартином Хайландом .

Чешский группоид

См. Также: Симплициальное многообразие и нерв покрытия.

И чешский группоид ^{п. 5} это особый вид группоида, связанный с отношением эквивалентности, заданным открытым покрытием ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ некоторого многообразия $X$. Его объекты задаются несвязным объединением

${\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}$,

и его стрелки являются пересечениями

${\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}$.

Исходная и целевая карты затем задаются индуцированными картами.

${\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}$

и карта включения

$\varepsilon :U_{i}\to U_{ii}$

дающая структуру группоида. Фактически, это можно расширить, установив

${\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}$

как $n$-итерированный волоконный продукт, в котором ${\mathcal {G}}_{n}$ представляет $n$-кортежи составных стрелок. Структурная карта волоконного продукта неявно является целевой картой, поскольку

${\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}$

представляет собой декартову диаграмму, на которой отображаются $U_{i}$ являются целевыми картами. Эту конструкцию можно рассматривать как модель некоторых ∞-группоидов . Также еще одним артефактом этой конструкции являются k-коциклы.

$[\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})$

для некоторого постоянного пучка абелевых групп можно представить в виде функции

$\sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A$

дающее явное представление классов когомологий.

Групповое действие

Если группа $G$ действует на съемочной площадке $X$, то мы можем сформировать группоид действия (или группоид преобразования ), представляющий это групповое действие, следующим образом:

• Объекты – это элементы $X$;
• Для любых двух элементов $x$ и $y$ в $X$, морфизмы из $x$ к $y$ соответствуют элементам $g$ из $G$ такой, что $gx=y$;
• Композиция морфизмов интерпретирует бинарную операцию $G$.

Говоря более подробно, группоид действия — это небольшая категория с $\mathrm {ob} (C)=X$ и $\mathrm {hom} (C)=G\times X$ и с исходными и целевыми картами $s(g,x)=x$ и $t(g,x)=gx$. Его часто обозначают $G\ltimes X$ (или $X\rtimes G$ за правильные действия). Тогда умножение (или композиция) в группоиде $(h,y)(g,x)=(hg,x)$ который определяется при условии $y=gx$.

Для $x$ в $X$, группа вершин состоит из тех $(g,x)$ с $gx=x$, что является просто подгруппой изотропии в $x$ для данного действия (поэтому группы вершин еще называют группами изотропии). Аналогично, орбиты группоида действия являются орбитой действия группы, а группоид транзитивен тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно .

Еще один способ описать $G$-sets — это категория функтора $[\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]$, где $\mathrm {Gr}$ — группоид (категория) с одним элементом, изоморфный группе $G$. Действительно, каждый функтор $F$ этой категории определяет множество $X=F(\mathrm {Gr} )$ и для каждого $g$ в $G$ (т.е. для каждого морфизма в $\mathrm {Gr}$) индуцирует биекцию $F_{g}$ : $X\to X$. Категориальная структура функтора $F$ уверяет нас, что $F$ определяет $G$- действие на съемочной площадке $G$. (Уникальный) представимый функтор $F$ : $\mathrm {Gr} \to \mathrm {Set}$ представляет собой Кэли представление $G$. Фактически этот функтор изоморфен $\mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)$ и так отправляет $\mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )$ на съемочную площадку $\mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )$ что по определению является «набором» $G$ и морфизм $g$ из $\mathrm {Gr}$ (т.е. элемент $g$ из $G$) к перестановке $F_{g}$ из набора $G$. Из вложения Йонеды мы делаем вывод , что группа $G$ изоморфна группе $\{F_{g}\mid g\in G\}$, подгруппа группы перестановок ​ $G$.

Конечное множество

Рассмотрим групповое действие $\mathbb {Z} /2$ на конечном множестве $X=\{-2,-1,0,1,2\}$ который переводит каждое число в отрицательное, поэтому $-2\mapsto 2$ и $1\mapsto -1$. Факторгруппоид $[X/G]$ — множество классов эквивалентности из этого группового действия $\{[0],[1],[2]\}$, и $[0]$ имеет групповое действие $\mathbb {Z} /2$ на этом.

Частное разнообразие

Любая конечная группа $G$ это соответствует $GL(n)$ дает групповое действие в аффинном пространстве $\mathbb {A} ^{n}$ (поскольку это группа автоморфизмов). Тогда факторгруппоид может иметь вид $[\mathbb {A} ^{n}/G]$, который имеет одну точку со стабилизатором $G$ в начале. Подобные примеры составляют основу теории орбифолдов . Другое часто изучаемое семейство орбифолдов — это взвешенные проективные пространства. $\mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})$ и их подпространства, такие как орбифолды Калаби – Яу .

группоидов

Дана диаграмма группоидов с группоидными морфизмами.

${\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}$

где $f:X\to Z$ и $g:Y\to Z$, мы можем сформировать группоид $X\times _{Z}Y$ чьи объекты - тройки $(x,\phi ,y)$, где $x\in {\text{Ob}}(X)$, $y\in {\text{Ob}}(Y)$, и $\phi :f(x)\to g(y)$ в $Z$. Морфизмы можно определить как пару морфизмов $(\alpha ,\beta )$ где $\alpha :x\to x'$ и $\beta :y\to y'$ такое, что для троек $(x,\phi ,y),(x',\phi ',y')$, существует коммутативная диаграмма в $Z$ из $f(\alpha ):f(x)\to f(x')$, $g(\beta ):g(y)\to g(y')$ и $\phi ,\phi '$.

Гомологическая алгебра

Двухчленный комплекс

$C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}$

объектов конкретной абелевой категории можно использовать для формирования группоида. В качестве объектов он имеет множество $C_{0}$ и как стрелки набор $C_{1}\oplus C_{0}$; исходный морфизм - это просто проекция на $C_{0}$ в то время как целевой морфизм — это добавление проекции на $C_{1}$ составленный с $d$ и проекция на $C_{0}$. То есть, учитывая $c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}$, у нас есть

$t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.$

Конечно, если абелева категория является категорией когерентных пучков на схеме, то эту конструкцию можно использовать для формирования предпучка группоидов.

Пазлы

Хотя такие головоломки, как кубик Рубика, можно смоделировать с помощью теории групп (см. группу «Кубик Рубика» ), некоторые головоломки лучше моделировать с помощью группоидов.

Преобразования головоломки пятнадцать образуют группоид (а не группу, поскольку не все ходы можно составить). Этот группоид действует на конфигурации.

Группоид Матье

Группоид Матье — это группоид, введенный Джоном Хортоном Конвеем, действующий на 13 точек, так что элементы, фиксирующие точку, образуют копию группы Матье M ₁₂ .

Отношение к группам

Групповые структуры

	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Если группоид имеет только один объект, то множество его морфизмов образует группу . Используя алгебраическое определение, такой группоид буквально является просто группой. Многие концепции теории групп обобщаются на группоиды, при этом понятие функтора заменяет понятие гомоморфизма группы .

Каждый транзитивный/связный группоид, то есть, как объяснялось выше, тот, в котором любые два объекта соединены хотя бы одним морфизмом, изоморфен группоиду действия (как определено выше). $(G,X)$. будет только одна орбита По транзитивности под действием .

не существует Обратите внимание, что только что упомянутый изоморфизм не единственен и естественного выбора . Выбор такого изоморфизма для транзитивного группоида по существу сводится к выбору одного объекта. $x_{0}$, групповой изоморфизм $h$ от $G(x_{0})$ к $G$, и для каждого $x$ кроме $x_{0}$, морфизм в $G$ от $x_{0}$ к $x$.

Если группоид не транзитивен, то он изоморфен несвязному объединению группоидов указанного типа, называемых также его компонентами связности (возможно, с разными группами $G$ и наборы $X$ для каждого связного компонента).

В терминах теории категорий каждый компонент связности группоида эквивалентен ( но не изоморфен ) группоиду с одним объектом, то есть одной группой. Таким образом, любой группоид эквивалентен мультимножеству несвязанных групп. Другими словами, для эквивалентности вместо изоморфизма не нужно задавать множества $X$, но только группы $G.$ Например,

• Фундаментальный группоид $X$ эквивалентно набору фундаментальных групп каждой компоненты линейной связности $X$, но изоморфизм требует указания набора точек в каждом компоненте;
• Набор $X$ с отношением эквивалентности $\sim$ эквивалентно (как группоид) одной копии тривиальной группы для каждого класса эквивалентности , но изоморфизм требует указания того, что представляет собой каждый класс эквивалентности:
• Набор $X$ оснащен действием группы $G$ эквивалентно (как группоид) одной копии $G$ для каждой орбиты действия, но изоморфизм требует указания, каким множеством является каждая орбита.

Схлопывание группоида в простой набор групп приводит к потере некоторой информации даже с теоретико-категорной точки зрения, поскольку это неестественно . Таким образом, когда группоиды возникают на основе других структур, как в приведенных выше примерах, может быть полезно сохранить весь группоид. В противном случае необходимо выбрать способ просмотра каждого $G(x)$ в рамках одной группы, и этот выбор может быть произвольным. В примере из топологии пришлось бы сделать последовательный выбор путей (или классов эквивалентности путей) из каждой точки $p$ в каждую точку $q$ в одном и том же компоненте траекторной связности.

Более наглядный пример: классификация группоидов с одним эндоморфизмом не сводится к чисто теоретико-групповым соображениям. Это аналогично тому, что классификация векторных пространств с одним эндоморфизмом нетривиальна.

Морфизмы группоидов бывают разных видов, чем морфизмы групп: у нас есть, например, расслоения , накрывающие морфизмы , универсальные морфизмы и факторморфизмы . Таким образом, подгруппа $H$ группы $G$ дает действие $G$ на множестве смежных классов $H$ в $G$ и, следовательно, накрывающий морфизм $p$ от, скажем, $K$ к $G$, где $K$ является группоидом с группами вершин, изоморфными $H$. Таким образом, презентации группы $G$ можно «поднять» до представлений группоида $K$, и это полезный способ получения информации о презентациях подгруппы $H$. Для получения дополнительной информации см. книги Хиггинса и Брауна в разделе «Ссылки».

Категория группоидов

Категория, объекты которой являются группоидами, а морфизмы которой являются морфизмами группоидов, называется категорией группоидов или категорией группоидов и обозначается Grpd .

Категория Grpd , как и категория малых категорий, является декартовой замкнутой : для любых группоидов $H,K$ мы можем построить группоид $\operatorname {GPD} (H,K)$ объектами которого являются морфизмы $H\to K$ и чьи стрелки являются естественными эквивалентностями морфизмов. Таким образом, если $H,K$ являются просто группами, то такие стрелки являются сопряжениями морфизмов. Основной результат состоит в том, что для любых группоидов $G,H,K$ существует естественная биекция

$\operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).$

Этот результат представляет интерес, даже если все группоиды $G,H,K$ это просто группы.

Еще одним важным свойством Grpd является то, что он является одновременно полным и сополным .

Отношение к Коту

Включение $i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat}$ имеет как левое, так и правое сопряженное :

$\hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))$

$\hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))$

Здесь, $C[C^{-1}]$ обозначает локализацию категории , которая обращает каждый морфизм, и $\mathrm {Core} (C)$ обозначает подкатегорию всех изоморфизмов.

Отношение к sSet

Нервный функтор $N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet}$ встраивает Grpd как полную подкатегорию категории симплициальных множеств. Нерв группоида всегда представляет собой комплекс Кана .

Нерв имеет левый прилежащий

$\hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))$

Здесь, $\pi _{1}(X)$ обозначает фундаментальный группоид симплициального множества X.

Группоиды в Grpd

Основная статья: Двойной группоид

Существует дополнительная структура, которая может быть получена из группоидов, внутренних по отношению к категории группоидов, - двойных группоидов . Поскольку Grpd является 2-категорией, эти объекты образуют 2-категорию вместо 1-категории, поскольку существует дополнительная структура. По сути, это группоиды. ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}$ с функторами

$s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}$

и вложение, заданное тождественным функтором

$i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}$

Один из способов представить эти 2-группоиды состоит в том, что они содержат объекты, морфизмы и квадраты, которые могут составляться вместе по вертикали и по горизонтали. Например, даны квадраты

${\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}$ и ${\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}$

с $a$ один и тот же морфизм, их можно соединить по вертикали, образуя диаграмму

${\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}$

который можно преобразовать в другой квадрат, составив вертикальные стрелки. Аналогичный закон композиции действует и для горизонтального прикрепления квадратов.

Группоиды с геометрическими структурами

При изучении геометрических объектов возникающие группоиды часто несут в себе топологию , превращающую их в топологические группоиды , или даже некоторую дифференцируемую структуру , превращающую их в группоиды Ли . Эти последние объекты можно также изучать в терминах связанных с ними алгеброидов Ли , по аналогии с отношениями между группами Ли и алгебрами Ли .

Группоиды, возникающие из геометрии, часто обладают дополнительными структурами, которые взаимодействуют с умножением группоидов. Например, в геометрии Пуассона существует понятие симплектического группоида , который представляет собой группоид Ли, наделенный совместимой симплектической формой . Аналогично могут существовать группоиды с совместимой римановой метрикой или сложной структурой и т. д.

См. также

• ∞-группоид
• 2-группа
• Теория гомотопических типов
• Обратная категория
• Группоидная алгебра (не путать с алгебраическим группоидом )
• R-алгеброид

Ссылки

• Брандт, Х. (1927), «Об обобщении понятия группы», Mathematical Annals , 96 (1): 360–366, doi : 10.1007/BF01209171 , S2CID   119597988
• Браун, Рональд, 1987, « От групп к группоидам: краткий обзор », Bull. Лондонская математика. Соц. 19 : 113–34. Обзор истории группоидов до 1987 года, начиная с работы Брандта по квадратичным формам. В загружаемой версии обновляются многие ссылки.
• —, 2006. Топология и группоиды. Книжный всплеск. Переработанное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды представлены в контексте их топологического применения.
• — Теория групп более высокой размерности. Объясняет, как концепция группоида привела к появлению многомерных гомотопических группоидов, имеющих приложения в теории гомотопий групп и когомологиях . Много ссылок.
• Дикс, Уоррен; Вентура, Энрик (1996), Группа, фиксированная семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы , Математические обзоры и монографии, том. 195, Книжный магазин AMS, ISBN  978-0-8218-0564-0
• Докучаев М.; Эксель, Р.; Пиччоне, П. (2000). «Частичные представления и частичные групповые алгебры». Журнал алгебры . 226 . Эльзевир: 505–532. arXiv : математика/9903129 . дои : 10.1006/jabr.1999.8204 . ISSN   0021-8693 . S2CID   14622598 .
• Ф. Борсо, Г. Джанелидзе, 2001, Теории Галуа. Кембриджский университет. Нажимать. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа .
• Каннас да Силва, А. и А. Вайнштейн , Геометрические модели для некоммутативных алгебр. Особенно Часть VI.
• Голубицкий, М. , Ян Стюарт, 2006, « Нелинейная динамика сетей: группоидный формализм », Bull. амер. Математика. Соц. 43 :305-64
• «Группоид» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хиггинс, П.Дж., «Фундаментальный группоид графа групп », J. London Math. Соц. (2) 13 (1976) 145–149.
• Хиггинс П.Дж. и Тейлор Дж. «Фундаментальный группоид и гомотопический скрещенный комплекс орбитального пространства », в теории категорий (Гуммерсбах, 1981), Конспекты лекций по математике, том 962. Springer, Berlin (1982), 115. –122.
• Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Ван Ностранд Заметки по математике. Переиздано в «Reprints in Theory and Applications of Category» , № 7 (2005), стр. 1–195; свободно загружаемый . Существенное введение в теорию категорий с особым акцентом на группоиды. Представлены приложения группоидов в теории групп, например, для обобщения теоремы Грушко , и в топологии, например, фундаментальный группоид .
• Маккензи, КЧ, 2005. Общая теория группоидов и алгеброидов Ли. Кембриджский университет. Нажимать.
• Вайнштейн, Алан, « Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии — экскурсия по некоторым примерам ». Также доступно в Postscript. , Уведомления AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.
• Вайнштейн, Алан, « Геометрия импульса » (2002).
• РТ Живальевич. «Группоиды в комбинаторике - приложения теории локальных симметрий». В «Алгебраической и геометрической комбинаторике» , том 423 журнала Contemp. Математика ., 305–324. амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд (2006).
• фундаментальный группоид в n Lab
• ядро в n Lab