R-алгеброид

В математике . R-алгеброиды исходя из группоидов строятся Это более абстрактные понятия, чем алгеброиды Ли , которые играют в теории группоидов Ли ту же роль , что и алгебры Ли в теории групп Ли . (Таким образом, алгеброид Ли можно рассматривать как « алгебру Ли со многими объектами »).

Определение

R -алгеброид , $R{\mathsf {G}}$, построен из группоида ${\mathsf {G}}$ следующее. Набор объектов $R{\mathsf {G}}$ такое же, как и у ${\mathsf {G}}$ и $R{\mathsf {G}}(b,c)$ – свободный R-модуль на множестве ${\mathsf {G}}(b,c)$, с композицией, заданной обычным билинейным правилом, расширяющим композицию ${\mathsf {G}}$.

R-категория

Группоид ${\mathsf {G}}$ можно рассматривать как категорию с обратимыми морфизмами.Тогда R-категория определяется как расширение понятия R -алгеброида путем замены группоида ${\mathsf {G}}$ в этой конструкции с общей категорией C , не имеющей всех обратимых морфизмов.

алгеброиды через продукты

Можно также определить R-алгеброид , ${\bar {R}}{\mathsf {G}}:=R{\mathsf {G}}(b,c)$, чтобы быть набором функций ${\mathsf {G}}(b,c){\longrightarrow }R$ с конечной поддержкой и с свертки, продуктом определяемым следующим образом: $\displaystyle (f*g)(z)=\sum \{(fx)(gy)\mid z=x\circ y\}$ .

Только эта вторая конструкция естественна для топологического случая, когда нужно заменить « функцию » на « непрерывную функцию с компактным носителем », и в этом случае $R\cong \mathbb {C}$.

Примеры

• Любая алгебра Ли является алгеброидом Ли над одноточечным многообразием .
• Алгеброид Ли, ассоциированный с группоидом Ли .

См. также

• Алгебраическая категория
• Алгеброид (значения)
• Биалгебра
• Бикатегория
• Продукт свертки
• Скрещенный модуль
• Двойной группоид
• Многомерная алгебра
• алгебра Хопфа
• Модуль (математика)
• Кольцо (математика)

Ссылки

Эта статья включает в себя материалы из разделов «Структуры алгебры» и «Расширенные симметрии алгебры» на сайте PlanetMath , которые доступны по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .

Источники

• Браун, Р .; Моса, GH (1986). «Двойные алгеброиды и скрещенные модули алгеброидов». Препринт по математике . Университет Уэльса-Бангор.
• Моса, GH (1986). Алгеброиды высших размерностей и скрещенные комплексы (доктор философии). Университет Уэльса. uk.bl.ethos.815719.
• Маккензи, Кирилл CH (1987). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 124. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-34882-9 .
• Маккензи, Кирилл CH (2005). Общая теория группоидов и алгеброидов Ли . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 213. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-49928-6 .
• Марль, Шарль-Мишель (2002). «Дифференциальное исчисление на алгеброиде Ли и многообразиях Пуассона». arXiv : 0804.2451 [ math.DG ].
• Вайнштейн, Алан (1996). «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии». Уведомления АМС . 43 : 744–752. arXiv : математика/9602220 . Бибкод : 1996math......2220W . CiteSeerX   10.1.1.29.5422 .