Jump to content

Обратная полугруппа

(Перенаправлено из категории «Обратное» )

В групп теории инверсная полугруппа (иногда называемая инверсионной полугруппой) [1] ) S полугруппа , в которой каждый элемент x в S имеет единственный обратный y в S в том смысле, что x = xyx и y = yxy , т.е. регулярная полугруппа , в которой каждый элемент имеет единственный обратный. Инверсные полугруппы появляются в различных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичных симметрий . [2]

(Соглашение, которому следуют в этой статье, будет заключаться в написании функции справа от ее аргумента, например, x   f, а не f ( x ), и составление функций слева направо — соглашение, часто наблюдаемое в теории полугрупп.)

Происхождение [ править ]

Обратные полугруппы были введены независимо Виктором Владимировичем Вагнером. [3] в Советском Союзе в 1952 году, [4] и Гордоном Престоном в Соединенном Королевстве в 1954 году. [5] Оба автора пришли к инверсным полугруппам посредством изучения частичных биекций множества α : частичное преобразование множества X представляет собой из A в B , где A и B — подмножества X. функцию Пусть α и β — частичные преобразования множества X ; α и β могут быть составлены (слева направо) в самой большой области , на которой «имеет смысл» их составлять:

где α −1 обозначает прообраз при α . Частичные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп . [6] Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений . [7] Он также признал, что областью композиции двух частичных преобразований может быть пустое множество , поэтому он ввел пустое преобразование, чтобы принять это во внимание. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится всюду определенной ассоциативной бинарной операцией . Под этой композицией собрана коллекция всех частичных преобразований один-один набора X образует обратную полугруппу, называемую симметричной обратной полугруппой (или моноидом) на X , с обратным функциональным обратным, определенным от образа к области определения (что эквивалентно обратному отношению ). [8] Это «архетипическая» инверсная полугруппа, точно так же, как симметричная группа является архетипической группой . Например, так же, как каждая группа может быть вложена в симметричную группу , каждая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления инверсных полугрупп ниже).

Основы [ править ]

Обратный элемент x обратной полугруппы S обычно обозначается x −1 . Инверсии в инверсной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и инверсии в группе , например ( ab ) −1 = б −1 а −1 . обратном моноиде xx В −1 и х −1 x не обязательно равны единице, но оба они идемпотентны . [9] Обратный моноид S, в котором xx −1 = 1 = х −1 x для всех x в S ( унипотентный инверсный моноид), конечно, является группой .

Существует ряд эквивалентных характеристик инверсной полугруппы S : [10]

Идемпотент . в -класс s равен s −1 s , в то время как идемпотент в -класс s ss −1 . Поэтому существует простой характеристика отношений Грина в обратной полугруппе: [11]

Если не указано иное, E(S) будет обозначать полурешетку идемпотентов обратной полугруппы S .

Примеры обратных полугрупп [ править ]

Пример таблицы умножения. Он ассоциативен, и каждый элемент имеет свой обратный согласно aba = a , bab = b . Оно не имеет идентичности и не коммутативно.

Обратная полугруппа
а б с д и
а а а а а а
б а б с а а
с а а а б с
д а д и а а
и а а а д и

Естественный частичный порядок [ править ]

Обратная полугруппа S обладает естественным отношением частичного порядка ≤ (иногда обозначаемым через ω), который определяется следующим: [12]

для некоторого идемпотента e в S . Эквивалентно,

для некоторого (вообще говоря, другого) идемпотента f в S . Фактически, e можно принять за аа −1 и f быть −1 а . [13]

Естественный частичный порядок совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть [14]

и

В группе этот частичный порядок является единица просто сводится к равенству, поскольку единственным идемпотентом . В симметричной обратной полугруппе частичный порядок сводится к ограничению отображений, т. е. α β тогда и только тогда, когда область определения α содержится в области определения β и = для всех x в области определения α . [15]

Естественный частичный порядок в обратной полугруппе взаимодействует с соотношениями Грина следующим образом: если s t и s т , тогда s = т . Аналогично, если s т . [16]

На E ( S ) естественный частичный порядок становится:

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку при операции произведения, произведения на E ( S ) дают наименьшие верхние оценки относительно ≤.

Если E ( S ) конечна и образует цепочку т.е. E ( S ) полностью упорядочена по мере ≤), то S является объединением групп ( . [17] Если E ( S ) — бесконечная цепь , то аналогичный результат можно получить при дополнительных гипотезах на S и E ( S ). [18]

Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп [ править ]

Гомоморфизм морфизм (или других ) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любых полугруппа: для инверсных S и T функция полугрупп θ из S в T является морфизмом, если ( )( ) = ( st ) θ для всех s , t в S . Определение морфизм инверсных полугрупп можно дополнить включением условия ( ) −1 = с −1 θ , однако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения посредством следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный образ обратной полугруппы является обратной полугруппой; инверсия элемента всегда сопоставляется с инверсией изображения этого элемента. [19]

Одним из первых доказанных результатов об инверсных полугруппах была теорема Вагнера-Престона , которая является аналогом теоремы Кэли для групп :

Теорема Вагнера–Престона. Если S — обратная полугруппа, то функция φ от С до , заданный

дом ( ) = Sa −1 и x ( ) = xa

является точным представлением S . [20]

Таким образом, любая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу, причем образ с замкнутым относительно обратной операции над частичными биекциями. Обратно, любая подполугруппа симметричной инверсной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметричной инверсной полугруппы, замкнутой относительно инверсий, тогда и только тогда, когда S — инверсная полугруппа.

на обратных Сравнения полугруппах

Конгруэнции определяются на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: конгруэнция ρ — это отношение эквивалентности , совместимое с полугрупповым умножением, т. е.

[21]

Особый интерес представляет соотношение , определенный на обратной полугруппе S формулой

существует с [22]

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, является групповой конгруэнцией , а это означает, что фактор-полугруппа S / σ является группой. В множестве всех конгруэнций групп на полугруппе S минимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S является обратной полугруппой, σ является наименьшей конгруэнцией на S такой, что S / σ является группой, то есть, если τ является любой другой конгруэнцией на S с S / τ группой, то σ содержится в τ . Конгруэнция σ называется минимальной групповой конгруэнцией на S . [23] Минимальная групповая конгруэнция может быть использована для характеристики E -унитарных инверсных полугрупп (см. ниже).

Конгруэнция ρ на обратной полугруппе S называется идемпотентно-чистой, если

[24]

E -унитарные обратные полугруппы [ править ]

который интенсивно изучался на протяжении многих лет, является класс E -унитарных обратных полугрупп: инверсная полугруппа S полурешеткой E идемпотентов Одним из классов обратных полугрупп , ) является E - унитарной , если для всех e в E и всех s в S ,

Эквивалентно,

[25]

Еще одна характеристика E -унитарной обратной полугруппы S состоит в следующем: если e находится в E и e s , для некоторого s из S тогда s находится в E. , [26]

Теорема. Пусть S — инверсная полугруппа с полурешеткой E идемпотентов и минимальной групповой конгруэнцией σ . Тогда следующие условия эквивалентны: [27]

  • S является E -унитарным;
  • σ чисто идемпотент;
  • = σ ,

где отношение совместимости на S , определяемое формулой

являются идемпотентными.

Теорема о покрытии Макалистера. Каждая инверсная полугруппа S имеет E-унитарное накрытие; то есть существует идемпотент, отделяющий сюръективный гомоморфизм некоторой E-унитарной полугруппы T на S. [28]

Центральное место в изучении E -унитарных инверсных полугрупп занимает следующая конструкция. [29] Позволять частично упорядоченное множество с порядком ≤, и пусть быть подмножеством со свойствами, которые

  • нижняя полурешетка , то есть каждая пара элементов A , B в имеет максимальную нижнюю границу A Б в (по отношению к ≤);
  • является идеалом порядка , то есть для A , B в , если А находится в и B A , то B находится в .

Пусть теперь G группа действующая , на (слева), такой, что

  • для всех g в G и всех A , B в , gA = gB тогда и только тогда, когда A = B ;
  • для каждого g в G и каждого B в , существует буква A в такой, что gA = B ;
  • для всех A , B в , A B тогда и только тогда, когда gA gB ;
  • для всех g , h в G и всех A в , г ( час А ) знак равно ( г ) А .

тройка также предполагается, что он обладает следующими свойствами:

  • для каждого X в , существует g в G и A в такой, что gA = X ;
  • для всех g в G , g и имеют непустое пересечение.

Такая тройка называется тройкой Макалистера . Тройка Макалистера используется для определения следующего:

вместе с умножением

.

Затем является обратной полугруппой относительно этого умножения с ( A , g ) −1 = ( г −1 А , г −1 ) . Одним из основных результатов в изучении E -унитарных инверсных полугрупп является P-теорема Макалистера :

P-теорема Макалистера. Позволять быть тройкой Макалистера. Затем является E -унитарной инверсной полугруппой. Обратно, каждая E -унитарная инверсная полугруппа изоморфна полугруппе этого типа. [30]

F -инверсные полугруппы [ править ]

Обратная полугруппа называется F -инверсной, если каждый элемент имеет единственный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ -класс имеет максимальный элемент. Каждая F -инверсная полугруппа является E -унитарным моноидом. Теорема о покрытии Макалистера была уточнена М. В. Лоусоном следующим образом:

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F -инверсное накрытие. [31]

-теорема Макалистера P использовалась для характеристики F также -инверсных полугрупп. Тройка Макалистера является F -инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда является главным идеалом и представляет собой полурешетку.

Свободные обратные полугруппы [ править ]

конструкция, подобная свободной группе Для инверсных полугрупп возможна . Представление свободную свободной инверсной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая полугруппу с инволюцией , где инволюция - это взятие инверсии, а затем факторизуя по сравнению Вагнера

Проблема слов для свободных инверсных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области принадлежит У.Д. Манну , который показал, что элементы свободной инверсной полугруппы естественно рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на деревьях Манна , который по сути состоит из перекрывающихся общих частей деревьев. (более подробную информацию см. в Lawson 1998)

Любая свободная инверсная полугруппа является F -инверсной. [31]

с категорий теорией Связи

Приведенная выше композиция частичных преобразований множества порождает симметричную инверсную полугруппу. Существует другой способ составления частичных преобразований, который более ограничителен, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составляются тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β ; в противном случае композиция αβ не определена. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных преобразований множества образует не обратную полугруппу, а индуктивный группоид в смысле теории категорий . Эта тесная связь между инверсными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в теореме Эресмана–Шейна–Намбурипада , которая утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из инверсной полугруппы, и наоборот. [32] Точнее, инверсная полугруппа - это в точности группоид в категории частично упорядоченных множеств, который является этальным группоидом относительно своей (двойственной) топологии Александрова и чьи частично упорядоченные объекты являются встречной полурешеткой.

Обобщения обратных полугрупп [ править ]

Как отмечалось выше, инверсную полугруппу S можно определить условиями (1) S регулярная полугруппа и (2) идемпотенты в S коммутируют; это привело к двум различным классам обобщений инверсной полугруппы: полугруппам, в которых (1) выполняется, а (2) нет, и наоборот.

Примерами регулярных обобщений обратной полугруппы являются: [33]

Класс обобщенных инверсных полугрупп является пересечением класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп. [34]

Среди нерегулярных обобщений обратной полугруппы: [35]

  • (Левые, правые, двусторонние) адекватные полугруппы.
  • (Левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.
  • (Левые, правые, двусторонние) полуадекватные полугруппы.
  • Слабо (лево, право, двусторонне) обильные полугруппы.

Обратная категория [ править ]

Это понятие обратного также легко обобщается на категории . Обратная категория — это просто категория, в которой каждый морфизм f : X Y имеет обобщенный обратный g : Y X такой, что fgf = f и gfg = g . Обратная категория самодвойственна . категория множеств и частичных биекций . Ярким примером является [36]

Обратные категории нашли различные применения в теоретической информатике . [37]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 1528. ИСБН  978-1-4200-3522-3 .
  2. ^ Лоусон 1998 г.
  3. Поскольку его отец был немцем, Вагнер предпочитал немецкую транслитерацию своего имени (с буквой «W», а не с «V») из кириллицы – см. Schein 1981 .
  4. ^ Сначала короткое объявление в «Вагнере 1952» , затем гораздо более подробное изложение в «Вагнере 1953» .
  5. ^ Престон 1954а , б, в.
  6. ^ См., например, Голаб 1939 .
  7. ^ Шам 2002 , с. 152
  8. ^ Хоуи 1995 , с. 149
  9. ^ Хоуи 1995 , Предложение 5.1.2(1)
  10. ^ Хоуи 1995 , Теорема 5.1.1.
  11. ^ Хоуи 1995 , Предложение 5.1.2(1)
  12. ^ Вагнер 1952 г.
  13. ^ Хоуи 1995 , Предложение 5.2.1.
  14. ^ Хоуи 1995 , стр. 152–3.
  15. ^ Хоуи 1995 , с. 153
  16. ^ Лоусон 1998 , Предложение 3.2.3.
  17. ^ Клиффорд и Престон 1967 , Теорема 7.5.
  18. ^ Гонсалвес, Д; Соботтка, М; Старлинг, К. (2017). «Обратные полугрупповые сдвиги по счетным алфавитам». Полугрупповой форум . 96 (2): 203–240. arXiv : 1510.04117 . doi : 10.1007/s00233-017-9858-5 Следствие 4.9 {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
  19. ^ Клиффорд и Престон 1967 , Теорема 7.36.
  20. ^ Howie 1995 , Теорема 5.1.7 Первоначально Wagner 1952 и независимо Preston 1954c.
  21. ^ Хоуи 1995 , с. 22
  22. ^ Лоусон 1998 , с. 62
  23. ^ Лоусон 1998 , Теорема 2.4.1.
  24. ^ Лоусон 1998 , с. 65
  25. ^ Хоуи 1995 , с. 192
  26. ^ Лоусон 1998 , Предложение 2.4.3.
  27. ^ Лоусон 1998 , Теорема 2.4.6.
  28. ^ Грилье, Пенсильвания (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры . ЦРК Пресс. п. 248. ИСБН  978-0-8247-9662-4 .
  29. ^ Хоуи 1995 , стр. 193–4.
  30. ^ Хоуи 1995 , Теорема 5.9.2. Первоначально Макалистер 1974a ,b.
  31. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лоусон 1998 , с. 230
  32. ^ Лоусон 1998 , 4.1.8
  33. ^ Хоуи 1995 , раздел 2.4 и глава 6.
  34. ^ Хоуи 1995 , с. 222
  35. ^ Фонтан 1979 , Гулд
  36. ^ Грандис, Марко (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологии с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами . Всемирная научная. п. 55. ИСБН  978-981-4407-06-9 .
  37. ^ Хайнс, Питер; Браунштейн, Сэмюэл Л. (2010). «Структура частичных изометрий» . В Гей и Саймоне; Маки, Ян (ред.). Семантические методы в квантовых вычислениях . Издательство Кембриджского университета. п. 369. ИСБН  978-0-521-51374-6 .

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 82091f911d5bbb896b2aef6761b7a37f__1714693620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/82/7f/82091f911d5bbb896b2aef6761b7a37f.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Inverse semigroup - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)