Обратная полугруппа
В групп теории инверсная полугруппа (иногда называемая инверсионной полугруппой) [1] ) S — полугруппа , в которой каждый элемент x в S имеет единственный обратный y в S в том смысле, что x = xyx и y = yxy , т.е. регулярная полугруппа , в которой каждый элемент имеет единственный обратный. Инверсные полугруппы появляются в различных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичных симметрий . [2]
(Соглашение, которому следуют в этой статье, будет заключаться в написании функции справа от ее аргумента, например, x f, а не f ( x ), и составление функций слева направо — соглашение, часто наблюдаемое в теории полугрупп.)
Происхождение [ править ]
Обратные полугруппы были введены независимо Виктором Владимировичем Вагнером. [3] в Советском Союзе в 1952 году, [4] и Гордоном Престоном в Соединенном Королевстве в 1954 году. [5] Оба автора пришли к инверсным полугруппам посредством изучения частичных биекций множества α : частичное преобразование множества X представляет собой из A в B , где A и B — подмножества X. функцию Пусть α и β — частичные преобразования множества X ; α и β могут быть составлены (слева направо) в самой большой области , на которой «имеет смысл» их составлять:
где α −1 обозначает прообраз при α . Частичные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп . [6] Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений . [7] Он также признал, что областью композиции двух частичных преобразований может быть пустое множество , поэтому он ввел пустое преобразование, чтобы принять это во внимание. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится всюду определенной ассоциативной бинарной операцией . Под этой композицией собрана коллекция всех частичных преобразований один-один набора X образует обратную полугруппу, называемую симметричной обратной полугруппой (или моноидом) на X , с обратным функциональным обратным, определенным от образа к области определения (что эквивалентно обратному отношению ). [8] Это «архетипическая» инверсная полугруппа, точно так же, как симметричная группа является архетипической группой . Например, так же, как каждая группа может быть вложена в симметричную группу , каждая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления инверсных полугрупп ниже).
Основы [ править ]
Обратный элемент x обратной полугруппы S обычно обозначается x −1 . Инверсии в инверсной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и инверсии в группе , например ( ab ) −1 = б −1 а −1 . обратном моноиде xx В −1 и х −1 x не обязательно равны единице, но оба они идемпотентны . [9] Обратный моноид S, в котором xx −1 = 1 = х −1 x для всех x в S ( унипотентный инверсный моноид), конечно, является группой .
Существует ряд эквивалентных характеристик инверсной полугруппы S : [10]
- Каждый элемент S имеет уникальный обратный в указанном выше смысле.
- элемент S имеет хотя бы один обратный ( S — регулярная полугруппа ) и идемпотенты коммутируют (т. е. идемпотенты S Каждый образуют полурешетку ).
- Каждый -класс и все -класс содержит ровно один идемпотент , где и два отношения Грина .
Идемпотент . в -класс s равен s −1 s , в то время как идемпотент в -класс s — ss −1 . Поэтому существует простой характеристика отношений Грина в обратной полугруппе: [11]
Если не указано иное, E(S) будет обозначать полурешетку идемпотентов обратной полугруппы S .
Примеры обратных полугрупп [ править ]
- Частичные биекции на множестве X образуют инверсную полугруппу относительно композиции.
- Любая группа является инверсной полугруппой.
- Бициклическая полугруппа является обратной, с ( a , b ) −1 знак равно ( б , а ) .
- Любая полурешетка является инверсной.
- Полугруппа Брандта является инверсной.
- Полугруппа Манна является инверсной.
Пример таблицы умножения. Он ассоциативен, и каждый элемент имеет свой обратный согласно aba = a , bab = b . Оно не имеет идентичности и не коммутативно.
а | б | с | д | и | |
---|---|---|---|---|---|
а | а | а | а | а | а |
б | а | б | с | а | а |
с | а | а | а | б | с |
д | а | д | и | а | а |
и | а | а | а | д | и |
Естественный частичный порядок [ править ]
Обратная полугруппа S обладает естественным отношением частичного порядка ≤ (иногда обозначаемым через ω), который определяется следующим: [12]
для некоторого идемпотента e в S . Эквивалентно,
для некоторого (вообще говоря, другого) идемпотента f в S . Фактически, e можно принять за аа −1 и f быть −1 а . [13]
Естественный частичный порядок совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть [14]
и
В группе этот частичный порядок является единица просто сводится к равенству, поскольку единственным идемпотентом . В симметричной обратной полугруппе частичный порядок сводится к ограничению отображений, т. е. α ⩽ β тогда и только тогда, когда область определения α содержится в области определения β и xα = xβ для всех x в области определения α . [15]
Естественный частичный порядок в обратной полугруппе взаимодействует с соотношениями Грина следующим образом: если s ⩽ t и s т , тогда s = т . Аналогично, если s т . [16]
На E ( S ) естественный частичный порядок становится:
Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку при операции произведения, произведения на E ( S ) дают наименьшие верхние оценки относительно ≤.
Если E ( S ) конечна и образует цепочку т.е. E ( S ) полностью упорядочена по мере ≤), то S является объединением групп ( . [17] Если E ( S ) — бесконечная цепь , то аналогичный результат можно получить при дополнительных гипотезах на S и E ( S ). [18]
Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп [ править ]
Гомоморфизм морфизм (или других ) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любых полугруппа: для инверсных S и T функция полугрупп θ из S в T является морфизмом, если ( sθ )( tθ ) = ( st ) θ для всех s , t в S . Определение морфизм инверсных полугрупп можно дополнить включением условия ( sθ ) −1 = с −1 θ , однако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения посредством следующей теоремы:
Теорема. Гомоморфный образ обратной полугруппы является обратной полугруппой; инверсия элемента всегда сопоставляется с инверсией изображения этого элемента. [19]
Одним из первых доказанных результатов об инверсных полугруппах была теорема Вагнера-Престона , которая является аналогом теоремы Кэли для групп :
Теорема Вагнера–Престона. Если S — обратная полугруппа, то функция φ от С до , заданный
- дом ( aφ ) = Sa −1 и x ( aφ ) = xa
является точным представлением S . [20]
Таким образом, любая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу, причем образ с замкнутым относительно обратной операции над частичными биекциями. Обратно, любая подполугруппа симметричной инверсной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметричной инверсной полугруппы, замкнутой относительно инверсий, тогда и только тогда, когда S — инверсная полугруппа.
на обратных Сравнения полугруппах
Конгруэнции определяются на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: конгруэнция ρ — это отношение эквивалентности , совместимое с полугрупповым умножением, т. е.
Особый интерес представляет соотношение , определенный на обратной полугруппе S формулой
- существует с [22]
Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, является групповой конгруэнцией , а это означает, что фактор-полугруппа S / σ является группой. В множестве всех конгруэнций групп на полугруппе S минимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S является обратной полугруппой, σ является наименьшей конгруэнцией на S такой, что S / σ является группой, то есть, если τ является любой другой конгруэнцией на S с S / τ группой, то σ содержится в τ . Конгруэнция σ называется минимальной групповой конгруэнцией на S . [23] Минимальная групповая конгруэнция может быть использована для характеристики E -унитарных инверсных полугрупп (см. ниже).
Конгруэнция ρ на обратной полугруппе S называется идемпотентно-чистой, если
E -унитарные обратные полугруппы [ править ]
который интенсивно изучался на протяжении многих лет, является класс E -унитарных обратных полугрупп: инверсная полугруппа S (с полурешеткой E идемпотентов Одним из классов обратных полугрупп , ) является E - унитарной , если для всех e в E и всех s в S ,
Эквивалентно,
Еще одна характеристика E -унитарной обратной полугруппы S состоит в следующем: если e находится в E и e ≤ s , для некоторого s из S тогда s находится в E. , [26]
Теорема. Пусть S — инверсная полугруппа с полурешеткой E идемпотентов и минимальной групповой конгруэнцией σ . Тогда следующие условия эквивалентны: [27]
- S является E -унитарным;
- σ чисто идемпотент;
- = σ ,
где — отношение совместимости на S , определяемое формулой
- являются идемпотентными.
Теорема о покрытии Макалистера. Каждая инверсная полугруппа S имеет E-унитарное накрытие; то есть существует идемпотент, отделяющий сюръективный гомоморфизм некоторой E-унитарной полугруппы T на S. [28]
Центральное место в изучении E -унитарных инверсных полугрупп занимает следующая конструкция. [29] Позволять — частично упорядоченное множество с порядком ≤, и пусть быть подмножеством со свойствами, которые
- — нижняя полурешетка , то есть каждая пара элементов A , B в имеет максимальную нижнюю границу A Б в (по отношению к ≤);
- является идеалом порядка , то есть для A , B в , если А находится в и B ≤ A , то B находится в .
Пусть теперь G — группа действующая , на (слева), такой, что
- для всех g в G и всех A , B в , gA = gB тогда и только тогда, когда A = B ;
- для каждого g в G и каждого B в , существует буква A в такой, что gA = B ;
- для всех A , B в , A ⩽ B тогда и только тогда, когда gA ⩽ gB ;
- для всех g , h в G и всех A в , г ( час А ) знак равно ( г ) А .
тройка также предполагается, что он обладает следующими свойствами:
- для каждого X в , существует g в G и A в такой, что gA = X ;
- для всех g в G , g и имеют непустое пересечение.
Такая тройка называется тройкой Макалистера . Тройка Макалистера используется для определения следующего:
вместе с умножением
- .
Затем является обратной полугруппой относительно этого умножения с ( A , g ) −1 = ( г −1 А , г −1 ) . Одним из основных результатов в изучении E -унитарных инверсных полугрупп является P-теорема Макалистера :
P-теорема Макалистера. Позволять быть тройкой Макалистера. Затем является E -унитарной инверсной полугруппой. Обратно, каждая E -унитарная инверсная полугруппа изоморфна полугруппе этого типа. [30]
F -инверсные полугруппы [ править ]
Обратная полугруппа называется F -инверсной, если каждый элемент имеет единственный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ -класс имеет максимальный элемент. Каждая F -инверсная полугруппа является E -унитарным моноидом. Теорема о покрытии Макалистера была уточнена М. В. Лоусоном следующим образом:
Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F -инверсное накрытие. [31]
-теорема Макалистера P использовалась для характеристики F также -инверсных полугрупп. Тройка Макалистера является F -инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда является главным идеалом и представляет собой полурешетку.
Свободные обратные полугруппы [ править ]
конструкция, подобная свободной группе Для инверсных полугрупп возможна . Представление свободную свободной инверсной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая полугруппу с инволюцией , где инволюция - это взятие инверсии, а затем факторизуя по сравнению Вагнера
Проблема слов для свободных инверсных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области принадлежит У.Д. Манну , который показал, что элементы свободной инверсной полугруппы естественно рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на деревьях Манна , который по сути состоит из перекрывающихся общих частей деревьев. (более подробную информацию см. в Lawson 1998)
Любая свободная инверсная полугруппа является F -инверсной. [31]
с категорий теорией Связи
Приведенная выше композиция частичных преобразований множества порождает симметричную инверсную полугруппу. Существует другой способ составления частичных преобразований, который более ограничителен, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составляются тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β ; в противном случае композиция αβ не определена. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных преобразований множества образует не обратную полугруппу, а индуктивный группоид в смысле теории категорий . Эта тесная связь между инверсными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в теореме Эресмана–Шейна–Намбурипада , которая утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из инверсной полугруппы, и наоборот. [32] Точнее, инверсная полугруппа - это в точности группоид в категории частично упорядоченных множеств, который является этальным группоидом относительно своей (двойственной) топологии Александрова и чьи частично упорядоченные объекты являются встречной полурешеткой.
Обобщения обратных полугрупп [ править ]
Как отмечалось выше, инверсную полугруппу S можно определить условиями (1) S — регулярная полугруппа и (2) идемпотенты в S коммутируют; это привело к двум различным классам обобщений инверсной полугруппы: полугруппам, в которых (1) выполняется, а (2) нет, и наоборот.
Примерами регулярных обобщений обратной полугруппы являются: [33]
- Регулярные полугруппы : полугруппа S является регулярной , если каждый элемент имеет хотя бы один обратный; эквивалентно, для каждого a в S существует x в S такой, что axa = a .
- Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально инверсной, если eSe — инверсная полугруппа, для каждого идемпотента e .
- Ортодоксальные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальной , если ее подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
- Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой , если ее идемпотенты образуют нормальную полосу, т. е. xyzx = xzyx , для всех идемпотентов x , y , z .
Класс обобщенных инверсных полугрупп является пересечением класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп. [34]
Среди нерегулярных обобщений обратной полугруппы: [35]
- (Левые, правые, двусторонние) адекватные полугруппы.
- (Левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.
- (Левые, правые, двусторонние) полуадекватные полугруппы.
- Слабо (лево, право, двусторонне) обильные полугруппы.
Обратная категория [ править ]
Это понятие обратного также легко обобщается на категории . Обратная категория — это просто категория, в которой каждый морфизм f : X → Y имеет обобщенный обратный g : Y → X такой, что fgf = f и gfg = g . Обратная категория самодвойственна . категория множеств и частичных биекций . Ярким примером является [36]
Обратные категории нашли различные применения в теоретической информатике . [37]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 1528. ИСБН 978-1-4200-3522-3 .
- ^ Лоусон 1998 г.
- ↑ Поскольку его отец был немцем, Вагнер предпочитал немецкую транслитерацию своего имени (с буквой «W», а не с «V») из кириллицы – см. Schein 1981 .
- ^ Сначала короткое объявление в «Вагнере 1952» , затем гораздо более подробное изложение в «Вагнере 1953» .
- ^ Престон 1954а , б, в.
- ^ См., например, Голаб 1939 .
- ^ Шам 2002 , с. 152
- ^ Хоуи 1995 , с. 149
- ^ Хоуи 1995 , Предложение 5.1.2(1)
- ^ Хоуи 1995 , Теорема 5.1.1.
- ^ Хоуи 1995 , Предложение 5.1.2(1)
- ^ Вагнер 1952 г.
- ^ Хоуи 1995 , Предложение 5.2.1.
- ^ Хоуи 1995 , стр. 152–3.
- ^ Хоуи 1995 , с. 153
- ^ Лоусон 1998 , Предложение 3.2.3.
- ^ Клиффорд и Престон 1967 , Теорема 7.5.
- ^ Гонсалвес, Д; Соботтка, М; Старлинг, К. (2017). «Обратные полугрупповые сдвиги по счетным алфавитам». Полугрупповой форум . 96 (2): 203–240. arXiv : 1510.04117 . doi : 10.1007/s00233-017-9858-5 Следствие 4.9
{{cite journal}}
: CS1 maint: постскриптум ( ссылка ) - ^ Клиффорд и Престон 1967 , Теорема 7.36.
- ^ Howie 1995 , Теорема 5.1.7 Первоначально Wagner 1952 и независимо Preston 1954c.
- ^ Хоуи 1995 , с. 22
- ^ Лоусон 1998 , с. 62
- ^ Лоусон 1998 , Теорема 2.4.1.
- ^ Лоусон 1998 , с. 65
- ^ Хоуи 1995 , с. 192
- ^ Лоусон 1998 , Предложение 2.4.3.
- ^ Лоусон 1998 , Теорема 2.4.6.
- ^ Грилье, Пенсильвания (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры . ЦРК Пресс. п. 248. ИСБН 978-0-8247-9662-4 .
- ^ Хоуи 1995 , стр. 193–4.
- ^ Хоуи 1995 , Теорема 5.9.2. Первоначально Макалистер 1974a ,b.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лоусон 1998 , с. 230
- ^ Лоусон 1998 , 4.1.8
- ^ Хоуи 1995 , раздел 2.4 и глава 6.
- ^ Хоуи 1995 , с. 222
- ^ Фонтан 1979 , Гулд
- ^ Грандис, Марко (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологии с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами . Всемирная научная. п. 55. ИСБН 978-981-4407-06-9 .
- ^ Хайнс, Питер; Браунштейн, Сэмюэл Л. (2010). «Структура частичных изометрий» . В Гей и Саймоне; Маки, Ян (ред.). Семантические методы в квантовых вычислениях . Издательство Кембриджского университета. п. 369. ИСБН 978-0-521-51374-6 .
Ссылки [ править ]
- Клиффорд, АХ; Престон, Великобритания (1967). Алгебраическая теория полугрупп . Математические обзоры Американского математического общества. Том. 7. ISBN 978-0-8218-0272-4 .
- Фонтан, Дж.Б. (1979). «Адекватные полугруппы» . Труды Эдинбургского математического общества . 22 (2): 113–125. дои : 10.1017/S0013091500016230 .
- Голаб, ул. (1939). «О понятии «псевдогруппы преобразований» ». Математические анналы (на немецком языке). 116 :768-780. дои : 10.1007/BF01597390 .
- Эксель, Р. (1998). «Частичные действия групп и действия обратных полугрупп». Труды Американского математического общества . 126 (12): 3481–4. arXiv : funct-an/9511003 . дои : 10.1090/S0002-9939-98-04575-4 .
- Гулд, В. «(Слабо) левые E-обильные полугруппы» . Архивировано из оригинала (Постскриптум) 26 августа 2005 г. Проверено 28 августа 2006 г.
- Хауи, Дж. М. (1995). Основы теории полугрупп . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0198511949 .
- Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. ISBN 9810233167 .
- Макалистер, Д.Б. (1974a). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы». Труды Американского математического общества . 192 : 227–244. дои : 10.2307/1996831 . JSTOR 1996831 .
- Макалистер, Д.Б. (1974b). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II» . Труды Американского математического общества . 196 : 351–370. дои : 10.2307/1997032 . JSTOR 1997032 .
- Петрич, М. (1984). Инверсные полугруппы . Уайли. ISBN 0471875457 .
- Престон, Великобритания (1954a). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 396–403. дои : 10.1112/jlms/s1-29.4.396 .
- Престон, Великобритания (1954b). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 404–411. дои : 10.1112/jlms/s1-29.4.404 .
- Престон, Великобритания (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 411–9. дои : 10.1112/jlms/s1-29.4.411 .
- Schein, B. M. (1981). "Obituary: Viktor Vladimirovich Vagner (1908–1981)" . Semigroup Forum . 28 : 189–200. doi : 10.1007/BF02676643 .
- Шейн, Б.М. (2002). «Рецензия на книгу: «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий» Марка В. Лоусона». Полугрупповой форум . 65 : 149–158. дои : 10.1007/s002330010132 .
- Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия Академии наук СССР (на русском языке). 84 : 1119–1122. Английский перевод (PDF)
- Вагнер, В.В. (1953). «Теория обобщенных груд и обобщенных групп». Математический сборник . Новая Серия (на русском языке). 32 (74): 545–632.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Краткое введение в инверсные полугруппы см. в Clifford & Preston 1967 , глава 7 или Howie 1995 , глава 5.
- Более подробные описания можно найти у Петрича, 1984 г. и Лоусона, 1998 г.
- Линкельманн, М. (2012). «Об обратных категориях и переходе в когомологиях» (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . 56 : 187. дои : 10.1017/S0013091512000211 . Препринт в открытом доступе