Krylov–Bogolyubov theorem

В математике теорема Крылова -Боголюбова (также известная как теорема о существовании инвариантной меры ) может относиться к любой из двух связанных фундаментальных теорем теории динамических систем . Теоремы гарантируют существование инвариантных мер для некоторых «красивых» отображений, определенных на «красивых» пространствах, и названы в честь российско - украинских математиков и физиков-теоретиков Николая Крылова и Николая Боголюбова , доказавших теоремы. ^[1]

Формулировка теорем

Инвариантные меры для одной карты

Теорема (Крылова–Боголюбова) . Пусть ( X , T ) — компактное метризуемое — топологическое пространство и F : X → X непрерывное отображение . Тогда F допускает инвариантную борелевскую вероятностную меру .

То есть, если Borel( X ) обозначает борелевскую σ-алгебру , порожденную набором T X открытых подмножеств , то существует вероятностная мера µ : Borel( X ) → [0, 1] такая, что для любого подмножества A ∈ Борель( X ),

\mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A).

Что касается продвижения вперед , это означает, что

F_{*}(\mu )=\mu .

Инвариантные меры для марковского процесса

Пусть X — польское пространство и пусть $P_{t},t\geq 0,$ — вероятности перехода для однородной во времени марковской полугруппы на X , т.е.

\Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).

Theorem (Krylov–Bogolyubov) . If there exists a point $x\in X$ для которого семейство вероятностных мер { P _t ( x , ·) | t > 0 } равномерно узкая и полугруппа ( P _t ) удовлетворяет свойству Феллера , то существует по крайней мере одна инвариантная мера для ( P _t ), т. е. вероятностная мера µ на X такая, что

(P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu {\mbox{ for all }}t>0.

См. также

По 1-й теореме: Я. Г. Синай (ред.) (1997): Динамические системы II. Эргодическая теория с приложениями к динамическим системам и статистической механике . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-17001-4 . (Раздел 1).
По 2-й теореме: Г. Да Прато и Дж. Забчик (1996): Эргодичность для бесконечномерных систем . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-57900-7 . (Раздел 3).

Примечания

^ Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов (1937). «Общая теория измерения в ее применении к исследованию динамических систем нелинейной механики». Анналы математики . Вторая серия (на французском языке). 38 (1): 65–113. дои : 10.2307/1968511 . JSTOR 1968511 . См. 16.86.

Эта статья включает в себя материал из теоремы Крылова-Боголубова по PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Bogoliubov1937-1] Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов (1937). «Общая теория измерения в ее применении к исследованию динамических систем нелинейной механики». Анналы математики . Вторая серия (на французском языке). 38 (1): 65–113. дои : 10.2307/1968511 . JSTOR 1968511 . См. 16.86.

[1]