Зеленая мера

В математике , в частности, в стохастическом анализе , мера Грина — это мера, связанная с диффузией Ито . Существует соответствующая формула Грина, представляющая достаточно гладкие функции с точки зрения меры Грина и времени первого выхода из диффузии. Концепции названы в честь британского математика Джорджа Грина и представляют собой обобщение классической функции Грина и формулы Грина на стохастический случай с использованием формулы Дынкина .

Обозначения

Пусть X будет R ^н -значная диффузия Ито, удовлетворяющая стохастическому дифференциальному уравнению Ито вида

$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.$

Пусть P ^х обозначим закон X E при начальном условии X ₀ = x , и пусть ^х обозначим ожидание относительно P ^х . Пусть L _X — генератор X бесконечно малый , т.е.

$L_{X}=\sum _{i}b_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.$

Пусть D ⊆ R ^н быть открытой ограниченной областью ; пусть τ _D будет моментом выхода X D из первым :

$\tau _{D}:=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in D\}.$

Зеленая мера

Интуитивно понятно, что мера Грина борелевского множества H (относительно точки x и области D ) — это ожидаемый промежуток времени, в течение которого , начав с точки x , остается в H, прежде чем покинет область D. X То есть мера Грина X G относительно D в точке x , обозначаемая ( x , ⋅), определена для борелевских множеств H ⊆ R. ^н к

$G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],$

или для ограниченных непрерывных функций f : D → R по формуле

$\int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]$

Название «Зеленая мера» происходит от того, что если X — броуновское движение , то

$G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,$

где G ( x , y ) — функция Грина для оператора L _X (которая в случае броуновского движения равна ⁠ 1/2 Лапласа в ⁠ ⁠, где ∆ — ) области D. оператор

Зеленая формула

Предположим, что E ^х [ τ _D ] < +∞ для всех x ∈ D и пусть f : R ^н → R иметь класс гладкости C ² с компактной поддержкой . Затем

$f(x)=\mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

В частности, для С ² функции f с носителем, компактно вложенным в D ,

$f(x)=-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

Доказательство формулы Грина представляет собой простое применение формулы Дынкина и определения меры Грина:

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}$

$=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}L_{X}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]$

$=f(x)+\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

Ссылки

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . МИСТЕР 2001996 (см. раздел 9)