Chernoff's distribution

В теории вероятностей распределение Чернова , названное в честь Германа Чернова , представляет собой распределение вероятностей случайной величины.

$Z={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-s^{2}),$

где W — «двусторонний» винеровский процесс (или двустороннее « броуновское движение »), удовлетворяющий условию W (0) = 0. Если

$V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(s-a)^{2}),$

тогда V (0, c ) имеет плотность

$f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)$

где g _c имеет преобразование Фурье, заданное формулой

${\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R}$

и где Ai — функция Эйри . Таким образом, f _c симметричен относительно 0 и плотности ƒ _Z = ƒ ₁ . Грюнбум (1989) показывает, что

$f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty$

где ${\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381$ — наибольший нуль функции Эйри Ai и где $\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022$. В той же статье Гроенбум также дает анализ процесса . $\{V(a,1):a\in \mathbf {R} \}$. Связь со статистической проблемой оценки монотонной плотности обсуждается в Groeneboom (1985). Теперь известно, что распределение Чернова проявляется в широком диапазоне монотонных задач, включая изотоническую регрессию .

Распределение Чернова не следует путать с геометрическим распределением Чернова. (называемая точкой Чернова в информационной геометрии), индуцированная информацией Чернова.

История

Грюнбум, Лэлли и Темме заявляют, что первое исследование этого распределения, вероятно, было проведено Черновым в 1964 году, изучал поведение некоторой оценки режима который . В своей статье Чернофф охарактеризовал распределение посредством аналитического представления через уравнение теплопроводности с подходящими граничными условиями . Однако первоначальные попытки аппроксимировать распределение Чернова посредством решения уравнения теплопроводности не дали удовлетворительной точности из-за характера граничных условий. Вычисление распределения рассматривается, например, в Groeneboom and Wellner (2001).

Связь распределения Чернова с функциями Эйри была также обнаружена независимо Дэниелсом и Скирмом. и приручить, как указано в Groeneboom, Lalley и Temme. Эти две статьи, а также Groeneboom (1989) были написаны в 1984 году.