Броуновская паутина

В теории вероятностей броуновская паутина представляет собой бесчисленную совокупность одномерных сливающихся броуновских движений , начинающихся из каждой точки пространства и времени. Он возникает как диффузионный предел масштабирования пространства-времени набора сливающихся случайных блужданий , при этом одно блуждание начинается из каждой точки целочисленной решетки Z в каждый момент времени.

История и основное описание

Графическое построение модели избирателя с настройкой $\eta _{t}:=(\eta _{t}(x))_{x\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ . Стрелки определяют, когда избиратель меняет свое мнение на мнение соседа, на которого указывает стрелка. Генеалогии получаются путем следования стрелкам назад во времени, которые распределяются как слияние случайных блужданий.

То, что сейчас известно как броуновская сеть, было впервые предложено Арратией в его докторской диссертации. диссертация и последующая неполная и неопубликованная рукопись. Арратиа изучил модель избирателя — взаимодействующую систему частиц , которая моделирует эволюцию политических взглядов населения. Особи популяции представлены вершинами графа, и каждый человек имеет одно из двух возможных мнений, представленных как 0 или 1. Независимо со скоростью 1 каждый человек меняет свое мнение на мнение случайно выбранного соседа. Модель избирателя, как известно, двойственна объединению случайных блужданий (т. е. случайные блуждания движутся независимо, когда они разделены, и движутся как единое блуждание, когда встречаются) в том смысле, что: мнение каждого человека в любой момент можно проследить в обратном направлении. во времени до предка в момент времени 0, а совместные генеалогии мнений разных людей в разное время представляют собой совокупность сливающихся случайных блужданий, развивающихся назад во времени. В пространственном измерении 1 объединяющиеся случайные блуждания , начинающиеся с конечного числа точек пространства-времени, сходятся к конечному числу объединяющихся броуновских движений , если пространство-время масштабируется диффузионно (т. е. каждая точка пространства-времени (x, t) отображается на карту к (εx,ε^2t), причём ε↓0). Это следствие Принцип инвариантности Донскера . Менее очевидный вопрос:

Объединение случайных блужданий на дискретной решетке пространства-времени $\mathbb {Z} _{\rm {even}}^{2}:=\{(x,n)\in \mathbb {Z} ^{2}:x+n{\mbox{ is even}}\}.$ Из каждой точки решетки рисуется стрелка либо вверх-вправо, либо вверх-влево с вероятностью 1/2 каждая. Случайные блуждания движутся вверх во времени, следуя стрелкам, и при встрече разные случайные блуждания сливаются.

Каков предел диффузионного масштабирования совместной совокупности одномерных сливающихся случайных блужданий, начинающихся из каждой точки пространства-времени?

Арратиа намеревался построить этот предел, который мы теперь называем броуновской паутиной. Формально говоря, это совокупность одномерных сливающихся броуновских движений, начинающихся из каждой точки пространства-времени. $\mathbb {R} ^{2}$. Тот факт, что броуновская сеть состоит из бесчисленного числа броуновских движений, делает конструкцию весьма нетривиальной. Арратиа дал конструкцию, но не смог доказать сходимость сливающихся случайных блужданий к предельному объекту и охарактеризовать такой предельный объект.

Тот и Вернер в исследовании истинного самоотталкивающего движения получил множество детальных свойств этого предельного объекта и его двойника, но не доказал сходимость сливающихся блужданий к этому предельному объекту и не охарактеризовал его. Основная трудность доказательства сходимости связана с существованием случайных точек, из которых предельный объект может пройти несколькими путями. Арратия, Тот и Вернер знали о существовании таких точек и предусмотрели разные соглашения, чтобы избежать такой множественности. Фонтес, Исопи, Ньюман и Равишанкар ввел топологию предельного объекта так, чтобы он реализовался как случайная величина, принимающая значения в польском пространстве , в данном случае пространстве компактных множеств путей. Этот выбор позволяет ограничивающему объекту иметь несколько путей из случайной точки пространства и времени. Введение этой топологии позволило им доказать сходимость сливающихся случайных блужданий к уникальному предельному объекту и охарактеризовать его. Они назвали этот ограничивающий объект Броуновской паутиной.

Расширение броуновской сети, названное броуновской сетью , было предложено Саном и Свартом. позволяя сливающимся броуновским движениям подвергаться ветвлению. Альтернативную конструкцию броуновской сети предложили Ньюман, Равишанкар и Шерцер.

Недавний опрос см. в Schertzer, Sun and Swart.