Модель голосования

В математической теории вероятностей модель избирателя представляет собой систему взаимодействующих частиц, введенную Ричардом А. Холли и Томасом М. Лиггеттом в 1975 году.

модель избирателя сосуществует на графе с двумя кластерами

Можно представить, что в каждой точке связного графа есть «избиратель», где связи указывают на некую форму взаимодействия между парой избирателей (узлов). Мнения любого конкретного избирателя по какому-либо вопросу меняются в случайные моменты времени под влиянием мнений его соседей. Мнение избирателя в любой момент времени может принимать одно из двух значений, обозначенных 0 и 1. В случайный момент времени выбирается случайный человек, и мнение этого избирателя изменяется в соответствии со стохастическим правилом. В частности, один из соседей выбранного избирателя выбирается в соответствии с заданным набором вероятностей, и мнение этого соседа передается выбранному избирателю.

Альтернативная интерпретация связана с пространственным конфликтом. Предположим, две страны контролируют области (наборы узлов), помеченные 0 или 1. Изменение значения от 0 до 1 в данном месте указывает на вторжение в это место другой нации.

Обратите внимание, что каждый раз происходит только один переворот. Проблемы, связанные с моделью избирателя, часто будут переформулированы с точки зрения двойной системы. объединения Цепи Маркова . Часто эти проблемы затем сводятся к другим, связанным с независимыми цепями Маркова.

Определение

Модель избирателя — это (непрерывный) марковский процесс. $\eta _{t}$ с государственным пространством $S=\{0,1\}^{Z^{d}}$ и функция скорости перехода $c(x,\eta )$, где $Z^{d}$ представляет собой d-мерную целочисленную решетку, а $c($•,• $)$ предполагается неотрицательным, равномерно ограниченным и непрерывным как функция $\eta$ в топологии продукта на $S$. Каждый компонент $\eta \in S$ называется конфигурацией. Чтобы было ясно, что $\eta (x)$ обозначает значение сайта x в конфигурации $\eta (.)$; пока $\eta _{t}(x)$ означает значение сайта x в конфигурации $\eta (.)$ во время $t$.

Динамика процесса определяется совокупностью показателей перехода . Для моделей избирателей скорость, с которой происходит переворот $\scriptstyle x$ от 0 до 1 или наоборот задается функцией $c(x,\eta )$ сайта $x$. Он имеет следующие свойства:

1. $c(x,\eta )=0$ для каждого $x\in Z^{d}$ если $\eta \equiv 0$ или если $\eta \equiv 1$
2. $c(x,\eta )=c(x,\zeta )$ для каждого $x\in Z^{d}$ если $\eta (y)+\zeta (y)=1$ для всех $y\in Z^{d}$
3. $c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )$ если $\eta \leq \zeta$ и $\eta (x)=\zeta (x)=0$
4. $c(x,\eta )$ инвариантен относительно сдвигов $\scriptstyle Z^{d}$

Свойство (1) говорит, что $\eta \equiv 0$ и $\eta \equiv 1$ являются фиксированными точками эволюции. (2) указывает на то, что эволюция не меняется за счет замены ролей нулей и единиц. В собственности (3), $\eta \leq \zeta$ означает $\forall x,\eta (x)\leq \zeta (x)$, и $\eta \leq \zeta$ подразумевает $c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )$ если $\eta (x)=\zeta (x)=0$и подразумевает $c(x,\eta )\geq c(x,\zeta )$ если $\eta (x)=\zeta (x)=1$.

Кластеризация и сосуществование

Интерес представляет предельное поведение моделей. Поскольку частота переворотов сайта зависит от его соседей, очевидно, что когда все сайты принимают одно и то же значение, вся система перестает меняться навсегда. Следовательно, модель избирателя имеет два тривиальных экстремальных стационарных распределения: точечные массы $\scriptstyle \delta _{0}$ и $\scriptstyle \delta _{1}$ на $\scriptstyle \eta \equiv 0$ или $\scriptstyle \eta \equiv 1$ соответственно, которые представляют собой консенсус. Главный вопрос, который предстоит обсудить, заключается в том, существуют ли другие мнения, которые тогда представляли бы сосуществование различных мнений в равновесии. Говорят, что сосуществование имеет место, если существует стационарное распределение, которое концентрируется на конфигурациях с бесконечным количеством нулей и единиц. С другой стороны, если для всех $\scriptstyle x,y\in Z^{d}$ и все первоначальные конфигурации, затем

$\lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=0$

Говорят, что происходит кластеризация .

Важно отличать кластеризацию от понятия кластера . Кластеры определяются как связанные компоненты $\scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}$ или $\scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}$.

Модель линейного избирателя

Описание модели

Этот раздел будет посвящен одной из основных моделей избирателя — линейной модели избирателя.

Если $\scriptstyle p($•,• $\scriptstyle )$ — вероятности перехода для неприводимого случайного блуждания по $\scriptstyle Z^{d}$, затем:

$p(x,y)\geq 0\quad {\text{and}}\sum _{y}p(x,y)=1$

Тогда в модели линейного избирателя темпы перехода являются линейными функциями $\scriptstyle \eta$:

$c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\sum _{y}p(x,y)\eta (y)\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=0\\\sum _{y}p(x,y)(1-\eta (y))\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=1\\\end{array}}\right.$

Или если $\scriptstyle \eta _{x}$ указывает на то, что переворот происходит в $\scriptstyle x$, то скорости перехода будут просто:

$\eta \rightarrow \eta _{x}\quad {\text{at rate}}\sum _{y:\eta (y)\neq \eta (x)}p(x,y).$

Процесс объединения случайных блужданий $\scriptstyle A_{t}\subset Z^{d}$ определяется следующим образом. Здесь $\scriptstyle A_{t}$ обозначает набор сайтов, занятых этими случайными блужданиями в момент времени $\scriptstyle t$. Чтобы определить $\scriptstyle A_{t}$, рассмотрим несколько (непрерывных) случайных блужданий по $\scriptstyle Z^{d}$ с единичными экспоненциальными временами удержания и вероятностями перехода $\scriptstyle p($•,• $\scriptstyle )$, и считать их независимыми, пока два из них не встретятся. В этот момент две встретившиеся сливаются в одну частицу, которая продолжает двигаться как случайное блуждание с вероятностями перехода $\scriptstyle p($•,• $\scriptstyle )$ .

Концепция двойственности важна для анализа поведения моделей избирателей. Модели линейных избирателей удовлетворяют очень полезной форме двойственности, известной как объединяющая двойственность , а именно:

$P^{\eta }(\eta _{t}\equiv 1\quad {\text{on }}A)=P^{A}(\eta (A_{t})\equiv 1),$

где $\scriptstyle \eta \in \{0,1\}^{Z^{d}}$ это первоначальная конфигурация $\scriptstyle \eta _{t}$ и $\scriptstyle A=\{x\in Z^{d},\eta (x)=1\}\subset Z^{d}$ - начальное состояние слияния случайных блужданий $\scriptstyle A_{t}$.

Ограничивающее поведение линейных моделей избирателей

Позволять $\scriptstyle p(x,y)$ — вероятности перехода для неприводимого случайного блуждания по $\scriptstyle Z^{d}$ и $\scriptstyle p(x,y)=p(0,x-y)$, то соотношение двойственности для таких линейных моделей избирателей говорит, что $\scriptstyle \forall \eta \in S=\{0,1\}^{Z^{d}}$

$P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]$

где $\scriptstyle X_{t}$ и $\scriptstyle Y_{t}$ являются (непрерывное время) случайными блужданиями $\scriptstyle Z^{d}$ с $\scriptstyle X_{0}=x$, $\scriptstyle Y_{0}=y$, и $\scriptstyle \eta (X_{t})$ это позиция, занятая случайным блужданием в момент времени $\scriptstyle t$. $\scriptstyle X_{t}$ и $\scriptstyle Y_{t}$ образует объединяющиеся случайные блуждания, описанные в конце раздела 2.1 . $\scriptstyle X(t)-Y(t)$ представляет собой симметричное случайное блуждание. Если $\scriptstyle X(t)-Y(t)$ является рецидивирующим и $\scriptstyle d\leq 2$, $\scriptstyle X_{t}$ и $\scriptstyle Y_{t}$ в конечном итоге попадет с вероятностью 1, и, следовательно,

$P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]\leq P[X_{t}\neq Y_{t}]\rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\to 0$

Поэтому процесс кластеризуется.

С другой стороны, когда $d\geq 3$, система сосуществует. Это потому, что для $\scriptstyle d\geq 3$, $\scriptstyle X(t)-Y(t)$ является временным явлением, поэтому существует положительная вероятность того, что случайные блуждания никогда не попадут, и, следовательно, для $\scriptstyle x\neq y$

$\lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=C\lim _{t\rightarrow \infty }P[X_{t}\neq Y_{t}]>0$

для некоторой константы $C$ соответствующее начальному распределению.

Если $\scriptstyle {\tilde {X}}(t)=X(t)-Y(t)$ — симметризованное случайное блуждание, то справедливы следующие теоремы:

Теорема 2.1

Модель линейного избирателя $\scriptstyle \eta _{t}$ кластеры, если $\scriptstyle {\tilde {X}}_{t}$ является рекуррентным и сосуществует, если $\scriptstyle {\tilde {X}}_{t}$ является преходящим. В частности,

1. кластеры процессов, если $\scriptstyle d=1$ и $\scriptstyle \sum _{x}|x|p(0,x)\leq \infty$, или если $\scriptstyle d=2$ и $\scriptstyle \sum _{x}|x|^{2}p(0,x)\leq \infty$;
2. процесс сосуществует, если $\scriptstyle d\geq 3$.

Примечания : Чтобы противопоставить это поведению пороговых моделей избирателей, которые будут обсуждаться в следующем разделе, обратите внимание, что кластеризация или сосуществование линейной модели избирателей зависит почти исключительно от размерности набора участков, а не от размера диапазон взаимодействия.

Теорема 2.2 Предполагать $\scriptstyle \mu$ - это любая пространственно- эргодическая и инвариантная вероятностная мера перевода в пространстве состояний. $\scriptstyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}$, затем

1. Если $\scriptstyle {\tilde {X}}_{t}$ повторяется, то $\scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}\quad {\text{as}}\quad t\to \infty$;
2. Если $\scriptstyle {\tilde {X}}_{t}$ является преходящим, то $\scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \mu _{\rho }$.

где $\scriptstyle \mu S(t)$ это распределение $\scriptstyle \eta _{t}$; $\scriptstyle \Rightarrow$ означает слабую сходимость, $\scriptstyle \mu _{\rho }$ является нетривиальной экстремальной инвариантной мерой и $\scriptstyle \rho =\mu (\{\eta :\eta (x)=1\})$.

Специальная линейная модель избирателя

Одним из интересных частных случаев линейной модели избирателя, известной как базовая модель линейного избирателя, является случай, когда пространство состояний $\scriptstyle \{0,1\}^{Z^{d}}$:

$p(x,y)={\begin{cases}1/2d&{\text{if }}|x-y|=1{\text{ and }}\eta (x)\neq \eta (y)\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Так что

$\eta _{t}(x)\to 1-\eta _{t}(x)\quad {\text{at rate}}\quad (2d)^{-1}|\{y:|y-x|=1,\eta _{t}(y)\neq \eta _{t}(x)\}|$

В этом случае процесс кластеризуется, если $\scriptstyle d\leq 2$, хотя сосуществует, если $\scriptstyle d\geq 3$. Эта дихотомия тесно связана с тем фактом, что простое случайное блуждание по $\scriptstyle Z^{d}$ является повторяющимся, если $\scriptstyle d\leq 2$ и преходяще, если $\scriptstyle d\geq 3$.

Кластеры в одном измерении d = 1

Для частного случая с $\scriptstyle d=1$, $\scriptstyle S=Z^{1}$ и $\scriptstyle p(x,x+1)=p(x,x-1)={\frac {1}{2}}$ для каждого $\scriptstyle x$. Из теоремы 2.2 $\scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}$, поэтому в этом случае происходит кластеризация. Целью данного раздела является дать более точное описание этой кластеризации.

Как упоминалось ранее, кластеры $\scriptstyle \eta$ определяются как связные компоненты $\scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}$ или $\scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}$. Средний размер кластера для $\scriptstyle \eta$ определяется как:

$C(\eta )=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{{\text{number of clusters in}}[-n,n]}}$

при условии, что предел существует.

Предложение 2.3

Предположим, что модель избирателя имеет начальное распределение $\scriptstyle \mu$ и $\scriptstyle \mu$ является трансляционно-инвариантной вероятностной мерой, тогда

$P\left(C(\eta )={\frac {1}{P[\eta _{t}(0)\neq \eta _{t}(1)]}}\right)=1.$

Время занятий

Определим функционалы времени занятия базовой модели линейного избирателя как:

$T_{t}^{x}=\int _{0}^{t}\eta _{s}^{\rho }(x)\mathrm {d} s.$

Теорема 2.4

Предположим, что для всех сайтов x и времени t $\scriptstyle P(\eta _{t}(x)=1)=\rho$, тогда как $\scriptstyle t\rightarrow \infty$, $\scriptstyle T_{t}^{x}/t\rightarrow \rho$ почти наверняка, если $\scriptstyle d\geq 2$

доказательство

Согласно неравенству Чебышева и лемме Бореля – Кантелли , имеем следующее уравнение:

$P\left({\frac {\rho }{r}}\leq \lim \inf _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \lim \sup _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \rho r\right)=1;\quad \forall r>1$

Теорема следует, если позволить $\scriptstyle r\searrow 1$.

Модель порогового избирателя

Описание модели

В этом разделе основное внимание уделяется разновидности нелинейной модели избирателя, известной как пороговая модель избирателя . Чтобы определить это, пусть $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ быть соседом $\scriptstyle 0\in Z^{d}$ который получается пересечением $\scriptstyle Z^{d}$ с любым компактным выпуклым симметричным множеством в $\scriptstyle R^{d}$; другими словами, $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ предполагается, что это конечное множество, симметричное относительно всех отражений и неприводимое (т. е. порождаемая им группа $\scriptstyle Z^{d}$). Всегда можно предположить, что $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ содержит все единичные векторы $\scriptstyle (1,0,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)$. Для положительного целого числа $\scriptstyle T$, пороговая модель избирателя с окрестностями $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ и порог $\scriptstyle T$ это тот, у которого есть функция скорости:

$c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if}}\quad |\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)\neq \eta (x)\}|\geq T\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.$

Проще говоря, скорость перехода сайта $\scriptstyle x$ равно 1, если количество сайтов, которые не принимают одинаковое значение, больше или равно пороговому значению T. В противном случае сайт $\scriptstyle x$ остается в текущем статусе и не переворачивается.

Например, если $\scriptstyle d=1$, $\scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}$ и $\scriptstyle T=2$, то конфигурация $\scriptstyle \dots 1\quad 1\quad 0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 0\quad 0\dots$ является поглощающим состоянием или ловушкой для процесса.

Ограничивающее поведение модели порогового избирателя

Если модель порогового избирателя не фиксируется, следует ожидать, что процесс будет сосуществовать для малого порога и кластера для большого порога, где большие и малые интерпретируются как относящиеся к размеру района. $\scriptstyle |{\mathcal {N}}|$. Интуиция подсказывает, что небольшой порог облегчает возникновение переворотов, поэтому вполне вероятно, что вокруг всегда будет много как 0, так и 1. Ниже приведены три основных результата:

1. Если $\scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}$, то процесс фиксируется в том смысле, что каждый сайт переворачивается только конечное число раз.
2. Если $\scriptstyle d=1$ и $\scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}$, то процесс кластеризуется.
3. Если $\scriptstyle T=\theta |{\mathcal {N}}|$ с $\scriptstyle \theta$ достаточно мал( $\scriptstyle \theta <{\frac {1}{4}}$) и $\scriptstyle |{\mathcal {N}}|$ достаточно велик, то процесс сосуществует.

Приведем две теоремы, соответствующие свойствам (1) и (2).

Теорема 3.1

Если $\scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}$, то процесс фиксируется.

Теорема 3.2

Пороговая модель избирателя в одном измерении ( $\scriptstyle d=1$) с $\scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-T,\dots ,T\},T\geq 1$, кластеры.

доказательство

Идея доказательства состоит в построении двух последовательностей случайных времен $\scriptstyle U_{n}$, $\scriptstyle V_{n}$ для $\scriptstyle n\geq 1$ со следующими свойствами:

1. $\scriptstyle 0=V_{0}<U_{1}<V_{1}<U_{2}<V_{2}<\dots$,
2. $\scriptstyle \{U_{k+1}-V_{k},k\geq 0\}$ находятся в постоянном напряжении $\scriptstyle \mathrm {E} (U_{k+1}-V_{k})<\infty$,
3. $\scriptstyle \{V_{k}-U_{k},k\geq 1\}$ находятся в постоянном напряжении $\scriptstyle \mathrm {E} (V_{k}-U_{k})=\infty$,
4. случайные величины в (b) и (c) независимы друг от друга,
5. событие А= $\scriptstyle \{\eta _{t}(.)$ постоянно включен $\scriptstyle \{-T,\dots ,T\}\}$, и событие A выполняется для каждого $\scriptstyle t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}]$.

Как только эта конструкция будет построена, из теории восстановления будет следовать, что

$P(A)\geq P(t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}])\to 1\quad {\text{as}}\quad t\to \infty$

Следовательно, $\scriptstyle \lim _{t\rightarrow \infty }P(\eta _{t}(1)\neq \eta _{t}(0))=0$, так что процесс кластеризуется.

Примечания: (a) Пороговые модели в более высоких измерениях не обязательно кластеризуются, если $\scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}$. Например, возьмите $\scriptstyle d=2,T=2$ и $\scriptstyle {\mathcal {N}}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}$. Если $\scriptstyle \eta$ постоянна на чередующихся вертикальных бесконечных полосах, то есть для всех $\scriptstyle i,j$:

$\eta (4i,j)=\eta (4i+1,j)=1,\quad \eta (4i+2,j)=\eta (4i+3,j)=0$

тогда никакого перехода не происходит, и процесс фиксируется.

(б) В условиях теоремы 3.2 процесс не фиксируется. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим начальную конфигурацию $\scriptstyle \dots 000111\dots$, в котором за бесконечным количеством нулей следует бесконечное количество единиц. Тогда только ноль и единица на границе могут меняться местами, так что конфигурация всегда будет выглядеть одинаково, за исключением того, что граница будет двигаться как простое симметричное случайное блуждание. Тот факт, что это случайное блуждание повторяется, означает, что каждый сайт переворачивается бесконечно часто.

Свойство 3 указывает на то, что модель порогового избирателя сильно отличается от модели линейного избирателя тем, что сосуществование происходит даже в одном измерении, при условии, что окрестность не слишком мала. Пороговая модель имеет дрейф в сторону «местного меньшинства», которого нет в линейном случае.

Большинство доказательств сосуществования пороговых моделей избирателей основано на сравнении с гибридной моделью, известной как процесс порогового контакта с параметром. $\scriptstyle \lambda >0$. Это процесс на $\scriptstyle [0,1]^{Z^{d}}$ с флип-рейтами:

$c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\lambda \quad {\text{if}}\quad \eta (x)=0\quad {\text{and}}|\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)=1\}|\geq T;\\1\quad {\text{if}}\quad \eta (x)=1;\\0\quad {\text{otherwise}}\end{array}}\right.$

Предложение 3.3

Для любого $\scriptstyle d,{\mathcal {N}}$ и $\scriptstyle T$, если пороговый процесс контакта с $\scriptstyle \lambda =1$ имеет нетривиальную инвариантную меру, то сосуществует пороговая модель избирателя.

Модель с порогом T = 1

Дело в том, что $\scriptstyle T=1$ представляет особый интерес, поскольку это единственный случай, когда точно известно, какие модели сосуществуют, а какие модели кластеризуются.

В частности, существует интерес к модели порога T=1 с $\scriptstyle c(x,\eta )$ это дается:

$c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if exists one}}\quad y\quad {\text{with}}\quad |x-y|\leq N\quad {\text{and}}\quad \eta (x)\neq \eta (y)\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.$

$\scriptstyle N$ можно интерпретировать как радиус окрестности $\scriptstyle {\mathcal {N}}$; $\scriptstyle N$ определяет размер окрестности (т.е. если $\scriptstyle {\mathcal {N}}_{1}=\{-2,-1,0,1,2\}$, затем $\scriptstyle N_{1}=2$; в то время как для $\scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}$, соответствующий $\scriptstyle N_{2}=1$).

По теореме 3.2 модель с $\scriptstyle d=1$ и $\scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}$ кластеры. Следующая теорема показывает, что для всех других вариантов выбора $\scriptstyle d$ и $\scriptstyle {\mathcal {N}}$, модель сосуществует.

Теорема 3.4

Предположим, что $\scriptstyle N\geq 1$, но $\scriptstyle (N,d)\neq (1,1)$. Тогда пороговая модель на $\scriptstyle Z^{d}$ с параметром $\scriptstyle N$ сосуществует.

Доказательство этой теоремы приведено в статье Томаса М. Лиггетта «Сосуществование в пороговых моделях избирателей».

См. также

• Вероятностные клеточные автоматы
• последовательная динамическая система
• контактный процесс

Ссылки

• Клиффорд, Питер; Эйдан В. Садбери (1973). «Модель пространственного конфликта». Биометрика . 60 (3): 581–588. дои : 10.1093/biomet/60.3.581 .
• Лиггетт, Томас М. (1997). «Стохастические модели взаимодействующих систем» . Анналы вероятности . 25 (1). Институт математической статистики: 1–29. дои : 10.1214/аоп/1024404276 . ISSN   0091-1798 .
• Лиггетт, Томас М. (1994). «Сосуществование в пороговых моделях избирателей» . Анналы вероятности . 22 (2): 764–802. дои : 10.1214/aop/1176988729 .
• Кокс, Дж. Теодор; Дэвид Гриффит (1983). «Теоремы о пределе рабочего времени для модели избирателя» . Анналы вероятности . 11 (4): 876–893. дои : 10.1214/aop/1176993438 .
• Дарретт, Ричард ; Кестен, Гарри (1991). Случайные блуждания, броуновское движение и взаимодействующие системы частиц . Спрингер. ISBN  0817635092 .
• Лиггетт, Томас М. (1985). Взаимодействующие системы частиц . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-96069-4 .
• Томас М. Лиггетт , «Стохастические взаимодействующие системы: процессы контакта, избирателя и исключения», Springer-Verlag, 1999.