Метод Рунге-Кутты (СДУ)

В математике стохастических систем метод Рунге-Кутты представляет собой метод приближенного численного решения стохастического дифференциального уравнения . Это обобщение метода Рунге – Кутты для обыкновенных дифференциальных уравнений на стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). Важно отметить, что метод не предполагает знания производных коэффициентных функций в СДУ.

Самая базовая схема

Рассмотрим диффузию Ито $X$ удовлетворяющее следующему стохастическому дифференциальному уравнению Ито $$dX_{t}=a(X_{t})\,dt+b(X_{t})\,dW_{t},$$ с начальным состоянием $X_{0}=x_{0}$, где $W_{t}$ обозначает винеровский процесс , и предположим, что мы хотим решить это СДУ на некотором интервале времени $[0,T]$. Тогда основное приближение Рунге – Кутты к истинному решению $X$ это цепь Маркова $Y$ определяется следующим образом:

• разделить интервал $[0,T]$ в $N$ подинтервалы ширины $\delta =T/N>0$: $$0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T;$$
• набор $Y_{0}:=x_{0}$;
• рекурсивно вычислять $Y_{n}$ для $1\leq n\leq N$ к $$Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}\left(b({\hat {\Upsilon }}_{n})-b(Y_{n})\right)\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right)\delta ^{-1/2},$$ где $\Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}$ и ${\hat {\Upsilon }}_{n}=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\delta ^{1/2}.$

величины Случайные $\Delta W_{n}$ являются независимыми и одинаково распределенными нормальными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. $\delta$.

Эта схема имеет сильный порядок 1, что означает, что ошибка аппроксимации фактического решения при фиксированном времени масштабируется с шагом по времени $\delta$. Он также имеет слабый порядок 1, что означает, что ошибка статистики решения масштабируется с шагом по времени. $\delta$. См. ссылки для получения полных и точных утверждений.

Функции $a$ и $b$ может меняться во времени без каких-либо осложнений. Метод можно обобщить на случай нескольких связанных уравнений; принцип тот же, но уравнения становятся длиннее.

Вариант улучшенного Эйлера является гибким.

Более новая схема Рунге-Кутты, также сильного порядка 1, напрямую сводится к улучшенной схеме Эйлера для детерминированных ОДУ. Рассмотрим векторный случайный процесс ${\vec {X}}(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ что удовлетворяет общему СДУ Ито $$d{\vec {X}}={\vec {a}}(t,{\vec {X}})\,dt+{\vec {b}}(t,{\vec {X}})\,dW,$$ куда дрейфовать ${\vec {a}}$ и волатильность ${\vec {b}}$ являются достаточно гладкими функциями своих аргументов. Заданный временной шаг $h$, и учитывая значение ${\vec {X}}(t_{k})={\vec {X}}_{k}$, оценивать ${\vec {X}}(t_{k+1})$ к ${\vec {X}}_{k+1}$ на время $t_{k+1}=t_{k}+h$ с помощью $${\begin{array}{l}{\vec {K}}_{1}=h{\vec {a}}(t_{k},{\vec {X}}_{k})+(\Delta W_{k}-S_{k}{\sqrt {h}}){\vec {b}}(t_{k},{\vec {X}}_{k}),\\{\vec {K}}_{2}=h{\vec {a}}(t_{k+1},{\vec {X}}_{k}+{\vec {K}}_{1})+(\Delta W_{k}+S_{k}{\sqrt {h}}){\vec {b}}(t_{k+1},{\vec {X}}_{k}+{\vec {K}}_{1}),\\{\vec {X}}_{k+1}={\vec {X}}_{k}+{\frac {1}{2}}({\vec {K}}_{1}+{\vec {K}}_{2}),\end{array}}$$

• где $\Delta W_{k}={\sqrt {h}}Z_{k}$ для обычного рандома $Z_{k}\sim N(0,1)$;
• и где $S_{k}=\pm 1$, каждая альтернатива выбрана с вероятностью $1/2$.

Вышеописанное описывает только один временной шаг. Повторите этот временной шаг $(t_{m}-t_{0})/h$ раз, чтобы интегрировать SDE по времени $t=t_{0}$ к $t=t_{m}$.

The scheme integrates Stratonovich SDEs to $O(h)$ при условии одного комплекта $S_{k}=0$ повсюду (вместо выбора $\pm 1$).

Схемы Рунге-Кутты высшего порядка.

Схемы более высокого порядка также существуют, но они становятся все более сложными. Рёсслер разработал множество схем для Ито SDE, whereas Komori developed schemes for Stratonovich SDEs. Ракаукас расширил эти схемы, чтобы обеспечить возможность адаптивного шага по времени с помощью отбраковочной выборки с памятью (RSwM), что привело к повышению эффективности практических биологических моделей на порядки. наряду с оптимизацией коэффициентов для повышения стабильности.