Свойство с наименьшей верхней границей

В математике — свойство наименьшей верхней границы (иногда называемое полнотой , свойством супремума или свойством lub ). ^[1] является фундаментальным свойством действительных чисел . В более общем смысле, частично упорядоченное множество $с$ верхней границей имеет $X обладает свойством наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество X$ наименьшую верхнюю границу ( супремум ) в $X$ . Не каждое (частично) упорядоченное множество обладает свойством наименьшей верхней границы. Например, набор $\mathbb {Q}$ всех рациональных чисел с их естественным порядком не обладает свойством наименьшей верхней границы.

Свойство наименьшей верхней границы — это одна из форм аксиомы полноты действительных чисел, которую иногда называют полнотой Дедекинда . ^[2] Его можно использовать для доказательства многих фундаментальных результатов реального анализа , таких как теорема о промежуточном значении , теорема Больцано-Вейерштрасса , теорема об экстремальных значениях и теорема Гейне-Бореля . Это обычно принимается как аксиома в синтетических конструкциях действительных чисел , а также тесно связано с построением действительных чисел с использованием дедекиндовых разрезов .

В теории порядка это свойство можно обобщить до понятия полноты любого частично упорядоченного множества . , Линейно упорядоченное множество плотное и обладающее свойством наименьшей верхней границы, называется линейным континуумом .

Заявление о собственности

Заявление для действительных чисел

Пусть $S$ — непустое множество действительных чисел .

Действительное число $x$ называется границей S $,$ если $x \geq s$ для всех $s \in S.$ верхней
Действительное число $x$ — это наименьшая верхняя граница (или верхняя граница ) для $S,$ x $—$ верхняя граница для $S$ и $x \leq y$ для каждой верхней границы $y$ из $S.$ если

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что любой непустой набор действительных чисел, имеющий верхнюю границу, должен иметь наименьшую верхнюю границу действительных чисел .

Обобщение на упорядоченные множества

В более общем смысле, можно определить верхнюю и наименьшую верхнюю границы для любого подмножества X частично упорядоченного множества $с$ заменой «действительного числа» на «элемент $X$ ». В этом случае мы говорим, что $X$ обладает свойством наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество $X$ с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу в $X$ .

Например, множество $Q$ рациональных чисел не обладает свойством наименьшей верхней границы при обычном порядке. Например, набор

\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)

имеет верхнюю границу в $Q$ , но не имеет наименьшей верхней границы в $Q$ (поскольку квадратный корень из двух иррационален ) . Построение действительных чисел с использованием разрезов Дедекинда использует эту неудачу, определяя иррациональные числа как наименьшие верхние границы определенных подмножеств рациональных чисел.

Доказательство

Логический статус

Свойство наименьшей верхней границы эквивалентно другим формам аксиомы полноты , таким как сходимость последовательностей Коши или теорема о вложенных интервалах . Логический статус свойства зависит от конструкции используемых действительных чисел : в синтетическом подходе свойство обычно принимается в качестве аксиомы для действительных чисел (см. аксиому наименьшей верхней границы ); при конструктивном подходе свойство должно быть доказано как теорема либо непосредственно из конструкции, либо как следствие какой-либо другой формы полноты.

Доказательство с использованием последовательностей Коши.

Свойство наименьшей верхней границы можно доказать, используя предположение, что каждая последовательность Коши действительных чисел сходится. Пусть $S$ — непустое множество действительных чисел. Если $S$ имеет ровно один элемент, то его единственным элементом является минимальная верхняя граница. Итак, рассмотрим $S$ с более чем одним элементом и предположим, что $S$ имеет верхнюю границу $B 1$ . Поскольку $S$ непусто и имеет более одного элемента, существует действительное число $A 1$ , которое не является верхней границей для $S$ . Определите последовательности $A 1, A 2, A 3, ...$ и $B 1, B 2, B 3, ...$ рекурсивно следующим образом:

Проверьте, является ли $An + (B n) ⁄ 2$ верхней границей для $S$ .
Если да, то пусть $A n +1 = A n$ и пусть $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ .
должен существовать элемент $s,$ В противном случае в $S$ такой что $s >(A n + B n) ⁄ 2$ . Пусть $A n +1 = s$ и пусть $B n +1 = B n$ .

Тогда $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ и $| А п - Б п | \to 0$ при $n \to \infty$ . что обе последовательности являются Коши и имеют один и тот же предел $L$ , который должен быть наименьшей верхней границей для $S.$ Отсюда следует ,

Приложения

наименьшей верхней границы $Свойство R$ можно использовать для доказательства многих основных фундаментальных теорем реального анализа .

Теорема о промежуточном значении

Пусть $f : [a, b] \to R$ — непрерывная функция , и предположим, что $f (a) < 0$ и $f (b) > 0$ . В этом случае теорема о промежуточном значении утверждает, что $f$ должен иметь корень в интервале $[a, b]$ . Эту теорему можно доказать, рассмотрев множество

S знак равно {s \in [а, б] : ж (Икс) < 0 для всех Икс \leq s}

.

То есть $S$ — это начальный сегмент $[a, b],$ который принимает отрицательные значения при $f$ . Тогда $b$ — верхняя граница для $S$ , а наименьшая верхняя граница должна быть корнем $f$ .

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса для $R$ утверждает, что каждая последовательность $x n$ действительных чисел в замкнутом интервале $[a, b]$ должна иметь сходящуюся подпоследовательность . Эту теорему можно доказать, рассмотрев множество

S = {s \in [a, b] : s \leq x n для бесконечного числа n}

Четко, $a\in S$ , и $S$ не пусто.Кроме того, $b$ является верхней границей для $S$ , поэтому $S$ имеет наименьшую верхнюю границу $c$ .Тогда $c$ должна быть предельной точкой последовательности $xn, и$ отсюда следует, что $xn к$ имеет подпоследовательность, сходящуюся $c$ .

Теорема об экстремальных значениях

Пусть $f : [a, b] \to R$ — непрерывная функция и пусть $M = sup f ([a, b])$ , где $M = \infty,$ если $f ([a, b])$ не имеет верхней границы. Теорема об экстремальных значениях утверждает, что $M$ конечно и $f (c) = M$ для некоторого $c \in [a, b]$ . В этом можно убедиться, рассмотрев множество

S знак равно {s \in [а, б] : суп ж ([s, б]) знак равно M}

.

По определению $M$ , $a \in S$ , и по своему собственному определению, $S$ ограничено $b$ .Если $c$ — наименьшая верхняя граница $S$ , то из непрерывности следует, что $(c) = M.$ f

Теорема Гейне – Бореля

Пусть $[a, b]$ — замкнутый интервал в $R$ , и пусть ${U α}$ — совокупность открытых множеств , покрывающая $[a, b]$ . Тогда теорема Гейне-Бореля утверждает, что некоторое конечное подмножество ${U α}$ покрывает $[a, b]$ также . Это утверждение можно доказать, рассмотрев множество

S знак равно {s \in [a, b] : [a, s] может быть покрыто конечным числом U α}

.

Множество $S,$ очевидно, содержит $a$ и ограничено $b$ по построению.По свойству наименьшей верхней границы $S$ имеет наименьшую верхнюю границу $c \in [a, b]$ . Следовательно, $c$ сам по себе является элементом некоторого открытого множества $U α$ , и из этого следует, $для c < b$ что $[a, c + δ]$ может быть покрыто конечным числом $U α$ для некоторого достаточно малого $δ > 0$ .Это доказывает, что $c + δ \in S$ и $c$ не является верхней границей для $S$ .Следовательно, $c = b$ .

История

Важность свойства наименьшей верхней границы была впервые признана Бернаром Больцано в его статье 1817 года « Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между любыми двумя значениями, дающими противоположный результат, существует хотя бы один действительный корень уравнения» . ^[3]

См. также

Список реальных тем анализа

Примечания

^ Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что его также называют «высшим свойством». (стр. 39)
^ Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является дедекиндовым, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу». (стр. 124-5, Задача 17E.)
^ Раман-Сундстрем, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

Ссылки

Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5 .
Алипрантис, Хараламбос Д ; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (Третье изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7 .

Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6 .
Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . МАА. ISBN 978-0-88385-747-2 .
Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4 .
Дангелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6 .
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486434797 .

[1] Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что его также называют «высшим свойством». (стр. 39)

[2] Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является дедекиндовым, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу». (стр. 124-5, Задача 17E.)

[Sundström-3] Раман-Сундстрем, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

[1]

[2]

[3]