Вложенные интервалы
В математике последовательность вложенных интервалов можно интуитивно понимать как упорядоченный набор интервалов. на вещественной прямой с натуральными числами как индекс. Чтобы последовательность интервалов считалась вложенными интервалами, должны быть выполнены два условия:
- Каждый интервал последовательности содержится в предыдущем ( всегда является подмножеством ).
- Длина интервалов становится сколь угодно малой (это означает, что длина падает ниже всех возможных порогов). после определенного индекса ).
Другими словами, левая граница интервала может только увеличиться( ), а правая граница может только уменьшаться ( ).
Исторически — задолго до того, как кто-либо определил вложенные интервалы в учебниках — люди неявно создавали такие вложения для конкретных целей вычислений. Например, древние вавилоняне открыли метод вычисления квадратных корней чисел. Напротив, знаменитый Архимед построил последовательность многоугольников, которые вписали и описали единичную окружность , чтобы получить нижнюю и верхнюю границу длины окружности, то есть число окружности Пи ( ).
Центральный вопрос, который необходимо поставить, — это природа пересечения всех натуральных чисел или, другими словами, множества чисел, которые встречаются в каждом интервале. (таким образом, для всех ). В современной математике вложенные интервалы используются как метод построения действительных чисел (для пополнения поля . рациональных чисел)
Историческая мотивация
[ редактировать ]Как сказано во введении, исторические пользователи математики обнаружили вложенность интервалов и тесно связанные алгоритмы как методы конкретных вычислений. Здесь будут представлены некоторые вариации и современные интерпретации этих древних техник:
Вычисление квадратных корней
[ редактировать ]При попытке найти квадратный корень из числа , можно быть уверенным, что , что дает первый интервал , в котором должен быть найден. Если известен следующий более высокий совершенный квадрат , можно получить еще лучшего кандидата для первого интервала: .
Остальные интервалы теперь можно определить рекурсивно, просматривая последовательность средних точек . Учитывая интервал уже известно (начиная с ), можно определить
Чтобы выразить это словами, можно сравнить середину к чтобы определить, меньше или больше средняя точка . Если средняя точка меньше, ее можно установить как нижнюю границу следующего интервала. , а если средняя точка больше, то ее можно установить как верхнюю границу следующего интервала. Это гарантирует, что . При такой конструкции интервалы являются вложенными, а их длина уменьшаться вдвое на каждом этапе рекурсии. Таким образом, можно получить нижние и верхние оценки для со сколь угодно хорошей точностью (при достаточном вычислительном времени).
Можно также вычислить , когда . В этом случае , и алгоритм можно использовать, установив и вычисление обратной величины после достижения желаемого уровня точности.
Пример
[ редактировать ]Чтобы продемонстрировать этот алгоритм, приведем пример того, как его можно использовать для нахождения значения . Обратите внимание, что поскольку , первый интервал алгоритма можно определить как , с обязательно должны находиться в этом интервале. Таким образом, используя этот интервал, можно перейти к следующему шагу алгоритма, вычислив середину интервала, определив, больше или меньше 19 квадрат средней точки, и соответствующим образом установив границы следующего интервала перед повторением. процесс:
- Каждый раз, когда вычисляется новая средняя точка, диапазон возможных значений для можно сузить так, чтобы значения, оставшиеся в пределах интервала, были все ближе и ближе к фактическому значению . То есть каждое последовательное изменение границ интервала, в пределах которого должен лгать, допускает значение оценить с большей точностью либо за счет увеличения нижних границ интервала, либо за счет уменьшения верхних границ интервала.
- Эту процедуру можно повторять столько раз, сколько необходимо для достижения желаемого уровня точности. Теоретически, повторяя шаги бесконечно, можно получить истинное значение этого квадратного корня.
Метод цапли
[ редактировать ]Вавилонский метод использует еще более эффективный алгоритм, который дает точные аппроксимации для еще быстрее. Современное описание с использованием вложенных интервалов аналогично приведенному выше алгоритму, но вместо использования последовательности средних точек используется последовательность данный
- .
В результате получается последовательность интервалов, заданная формулой и , где , предоставит точные верхние и нижние границы для очень быстро. На практике только необходимо учитывать, что сходится к (как, конечно, и нижняя граница интервала). Этот алгоритм является частным случаем метода Ньютона .
Измерение круга Архимеда
[ редактировать ]Как показано на изображении, нижнюю и верхнюю границы окружности можно получить с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников. При исследовании круга диаметром , длина окружности (по определению числа Пи) — это номер круга .
Около 250 г. до н.э. Архимед Сиракузский начал с правильных шестиугольников , длину сторон которых (и, следовательно, окружность) можно вычислить непосредственно по диаметру круга. Кроме того, существует способ вычисления длины стороны регулярного -гон от предыдущего -угольник можно найти, начиная с правильного шестиугольника ( -гон). Последовательно удваивая количество ребер до тех пор, пока не будет получено 96-угольник, Архимед достиг интервала с . Верхняя граница до сих пор часто используется как грубое, но прагматичное приближение .
Примерно в 1600 году н.э. метод Архимеда все еще был золотым стандартом для расчета числа Пи и использовался голландским математиком Людольфом ван Сеуленом для вычисления более тридцати цифр числа Пи. , на что у него ушли десятилетия. Вскоре после этого были найдены более мощные методы вычислений.
Другие реализации
[ редактировать ]Раннее использование последовательностей вложенных интервалов (или их можно описать как таковые с помощью современной математики) можно найти у предшественников исчисления ( дифференциации и интегрирования ). В информатике последовательности вложенных интервалов используются в алгоритмах численных вычислений. Т.е. метод бисекции можно использовать для вычисления корней непрерывных функций . В отличие от математически бесконечных последовательностей, прикладной вычислительный алгоритм завершается в какой-то момент, когда искомый ноль найден или достаточно хорошо аппроксимирован .
Построение действительных чисел
[ редактировать ]В математическом анализе вложенные интервалы обеспечивают один из методов аксиоматического введения действительных чисел как пополнения рациональных чисел , что необходимо для обсуждения понятий непрерывности и дифференцируемости . Исторически сделанное Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем открытие дифференциального и интегрального исчисления, в конце 1600-х годов, поставило перед математиками огромную задачу, пытающуюся строго доказать свои методы; несмотря на их успехи в физике , технике и других науках. Аксиоматическое описание вложенных интервалов (или эквивалентная аксиома) стало важной основой современного понимания исчисления.
В контексте этой статьи, в сочетании с и является архимедовым упорядоченным полем , что означает аксиомы порядка и архимедово свойство .
Определение [1]
[ редактировать ]Позволять — последовательность интервалов типа , где обозначает длину такого интервала. Можно позвонить последовательность вложенных интервалов , если
- .
Проще говоря, свойство 1 означает, что интервалы вложены в соответствии с их индексом. Второе свойство формализует представление о том, что размеры интервалов становятся сколь угодно малыми; это означает, что для произвольной константы всегда можно найти интервал (с индексом ) с длиной строго меньшей этого числа . Также стоит отметить, что из свойства 1 сразу следует, что каждый интервал с индексом также должен иметь длину .
Примечание
[ редактировать ]Обратите внимание, что некоторые авторы называют такие интервальные последовательности, удовлетворяющие обоим свойствам, указанным выше, сокращением вложенных интервалов . В этом случае последовательность вложенных интервалов относится к последовательности, которая удовлетворяет только свойству 1.
Аксиома полноты
[ редактировать ]Если представляет собой последовательность вложенных интервалов, всегда существует вещественное число, содержащееся в каждом интервале . В формальных обозначениях эта аксиома гарантирует, что
- .
Теорема
[ редактировать ]Пересечение каждой последовательности вложенных интервалов содержит ровно одно действительное число .
Доказательство: Это утверждение легко проверить от противного. Предположим, что существуют два разных числа . От отсюда следует, что они различаются Поскольку оба числа должны содержаться в каждом интервале, отсюда следует, что для всех . Это противоречит свойству 2 из определения вложенных интервалов; следовательно, пересечение может содержать не более одного числа . Аксиома полноты гарантирует, что такое действительное число существует.
Примечания
[ редактировать ]- Эта аксиома является фундаментальной в том смысле, что последовательность вложенных интервалов не обязательно содержит рациональное число, а это означает, что может дать , если только рассматривать рациональное объяснение.
- Аксиома эквивалентна существованию нижней и верхней граней (доказательство ниже), сходимости последовательностей Коши и теореме Больцано-Вейерштрасса . Это означает, что одно из четырех необходимо ввести аксиоматически, а остальные три можно последовательно доказать.
Прямые следствия аксиомы
[ редактировать ]Наличие корней
[ редактировать ]Обобщая показанный выше алгоритм для квадратных корней , можно доказать, что в действительных числах уравнение всегда можно решить . Это означает, что существует уникальное действительное число. , такой, что . По сравнению с разделом выше, можно получить последовательность вложенных интервалов для -й корень из , а именно , глядя на то, находится ли средняя точка принадлежащий -й интервал меньше или равен или больше, чем .
Существование нижней и верхней границ в ограниченных множествах.
[ редактировать ]Определение
[ редактировать ]Если имеет верхнюю границу, т.е. существует число , такой, что для всех , можно позвонить по номеру супремум , если
- число является верхней границей , значение
- является наименьшей верхней границей , значение
Только один такой номер может существовать. Аналогично можно определить нижнюю границу ( ) из набора , ограниченное снизу как наибольшая нижняя граница этого множества.
Теорема
[ редактировать ]Каждый набор имеет верхнюю грань (нижнюю грань), если она ограничена сверху (снизу).
Доказательство. Без ограничения общности можно рассмотреть множество у которого есть верхняя граница. Теперь можно построить последовательность вложенных интервалов , который имеет следующие два свойства:
- является верхней границей для всех
- никогда не является верхней границей для любого .
Конструкция следует рекурсии, начиная с любого числа. , это не верхняя граница (например, , где и произвольная верхняя граница из ). Данный для некоторых можно вычислить среднюю точку и определить
Обратите внимание, что эта последовательность интервалов четко определена и, очевидно, по построению является последовательностью вложенных интервалов.
Теперь позвольте быть числом в каждом интервале (существование которого гарантируется аксиомой ) . является верхней границей , иначе существует число , такой, что . Кроме того, это означало бы существование интервала с , из которого следует, из-за также являющийся элементом . Но это противоречит свойству 1 супремума (имеется в виду для всех ). Поэтому фактически является верхней границей .
Предположим, что существует нижняя верхняя граница из . С представляет собой последовательность вложенных интервалов, длины интервалов становятся сколь угодно малыми; в частности, существует интервал длиной меньше, чем . Но из каждый получает и поэтому . Следуя правилам этой конструкции, должна быть верхняя граница , что противоречит свойству 2 всех последовательностей вложенных интервалов.
В два этапа было показано, что является верхней границей и что нижняя верхняя граница не может существовать. Поэтому является супремумом по определению.
Примечание
[ редактировать ]Как мы видели, существование верхних и нижних границ ограниченных множеств является следствием полноты . По сути, эти два понятия фактически эквивалентны, а это означает, что любой из них может быть введен аксиоматически.
Доказательство: Пусть с быть последовательностью вложенных интервалов. Тогда набор ограничено сверху, где каждый является верхней границей. Это означает, что наименьшая верхняя граница выполняет для всех . Поэтому для всех , соответственно .
Дальнейшие последствия
[ редактировать ]После формального определения сходимости последовательностей и точек накопления последовательностей можно также доказать теорему Больцано-Вейерштрасса, используя вложенные интервалы. В дальнейшем можно доказать тот факт, что последовательности Коши сходятся (и что все сходящиеся последовательности являются последовательностями Коши). Это, в свою очередь, позволяет доказать указанное выше свойство полноты, показав их эквивалентность.
Дальнейшее обсуждение связанных аспектов
[ редактировать ]Не уточняя, что подразумевается под интервалом, все, что можно сказать о пересечении по всем натуральным числам (т.е. набору всех точек, общих для каждого интервала) является то, что это либо пустое множество , точка на числовой прямой (называемая одноэлементным ), или некоторый интервал.
Возможность пустого пересечения можно проиллюстрировать, рассмотрев последовательность открытых интервалов. .
В этом случае пустое множество результат пересечения . Этот результат обусловлен тем, что для любого числа существует некоторая ценность (а именно любой ), такой, что . Это определяется архимедовым свойством действительных чисел. Поэтому, как бы мала ни была , всегда можно найти интервалы в такой последовательности, что подразумевая, что перекресток должен быть пустым.
Иная ситуация для закрытых интервалов . Если изменить ситуацию, описанную выше, взглянув на закрытые интервалы типа , это видно очень ясно. Теперь для каждого все равно всегда можно найти интервалы, не содержащие сказанное , но для , собственность справедливо для любого . Можно сделать вывод, что в данном случае .
Можно также рассмотреть дополнение каждого интервала, записанное как - что в нашем последнем примере . По законам де Моргана дополнение пересечения представляет собой объединение двух непересекающихся открытых множеств . По связности реальной линии между ними должно быть что-то. Это показывает, что пересечение (даже несчетного числа) вложенных, замкнутых и ограниченных интервалов непусто.
Высшие измерения
[ редактировать ]В двух измерениях аналогичный результат: вложенные замкнутые диски в плоскость должны иметь общее пересечение. Этот результат был показан Германом Вейлем для классификации сингулярного поведения некоторых дифференциальных уравнений .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кенигсбергер, Конрад (2004). Анализ 1 . Спрингер. п. 11. ISBN 354040371X .
- Фриди, Дж. А. (2000), «3.3 Теорема о вложенных интервалах», Вводный анализ: теория исчисления , Academic Press, стр. 29, ISBN 9780122676550 .
- Шилов, Георгий Э. (2012), «1.8 Принцип вложенных интервалов», Элементарный вещественный и комплексный анализ , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 21–22, ISBN 9780486135007 .
- Сохраб, Хоушанг Х. (2003), «Теорема 2.1.5 (теорема о вложенных интервалах)», Basic Real Analysis , Springer, стр. 45, ISBN 9780817642112 .
- Кенигсбергер, Конрад (2003), «2.3 Полнота R (полнота действительных чисел)», Анализ 1, 6-е издание , учебник Springer, Springer, стр. 10–15, номер домена : 10.1007/978-3-642-18490-1 , ISBN. 9783642184901