n -й семестровый тест
Часть серии статей о |
Исчисление |
---|
В математике -й тест n на дивергенцию [1] простой тест на расходимость бесконечного ряда :
Если или если предел не существует, то расходится.
Многие авторы не называют этот тест или дают ему более короткое название. [2]
При проверке сходимости или расхождения ряда этот тест часто проверяется в первую очередь из-за его простоты использования.
В случае p-адического анализа термин test является необходимым и достаточным условием сходимости из-за неравенства неархимедова треугольника.
Использование
[ редактировать ]В отличие от более строгих тестов на сходимость ряда , термин «тест» сам по себе не может доказать сходимость . В частности, обратное тесту неверно; вместо этого все, что можно сказать, это:
Если затем могут сойтись, а могут и не сойтись. Другими словами, если тест не дает результатов.
Гармонический ряд — классический пример расходящегося ряда, члены которого ограничиваются нулем. [3] Более общий класс p -серий ,
иллюстрирует возможные результаты теста:
- Если p ≤ 0, то термин тест идентифицирует ряд как расходящийся.
- Если 0 < p ≤ 1, то тест на термин не дает результатов, но ряд расходится по интегральному тесту на сходимость .
- Если 1 < p , то проверка термина не дает окончательных результатов, но ряд сходится, опять же по интегральному тесту на сходимость.
Доказательства
[ редактировать ]Тест обычно доказывается в контрапозитивной форме:
Если сходится, то
Ограничьте манипуляции
[ редактировать ]Если s n — частичные суммы ряда, то предположение о том, что рядсходится означает, что
для некоторого числа L . Затем [4]
Критерий Коши
[ редактировать ]Предположение о сходимости ряда означает, что он проходит тест сходимости Коши : для каждого существует число N такое, что
справедливо для всех n > N и p ≥ 1. Установка p = 1 восстанавливает определение утверждения [5]
Объем
[ редактировать ]Самая простая версия термина «проверка» применима к бесконечным рядам действительных чисел . Два приведенных выше доказательства, используя критерий Коши или линейность предела, также работают в любом другом нормированном векторном пространстве. [6] (или любую (аддитивно записанную) абелеву группу).
Примечания
[ редактировать ]- ^ Качор стр.336
- ^ Например, Рудин (с.60) называет только контрапозитивную форму и не называет ее. Брабенец (стр. 156) называет это просто проверкой n-го члена . Стюарт (стр. 709) называет это тестом на дивергенцию .
- ^ Рудин с.60
- ^ Брабенец стр.156; Стюарт с.709
- ^ Рудин (стр. 59-60) использует эту идею доказательства, начиная с другой формулировки критерия Коши.
- ^ Хансен стр.55; Шухуби стр.375
Ссылки
[ редактировать ]- Брабенец, Роберт (2005). Ресурсы для изучения реального анализа . МАА. ISBN 0883857375 .
- Хансен, Вагн Лундсгаард (2006). Функциональный анализ: вход в гильбертово пространство . Всемирная научная. ISBN 9812565639 .
- Качор, Веслава и Мария Новак (2003). Проблемы математического анализа . Американское математическое общество. ISBN 0821820508 .
- Рудин, Вальтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054235-Х .
- Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (4-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-36298-2 .
- Шухуби, Эрдоган С. (2003). Функциональный анализ . Спрингер. ISBN 1402016166 .