Jump to content

n -й семестровый тест

В математике -й тест n на дивергенцию [1] простой тест на расходимость бесконечного ряда :

Если или если предел не существует, то расходится.

Многие авторы не называют этот тест или дают ему более короткое название. [2]

При проверке сходимости или расхождения ряда этот тест часто проверяется в первую очередь из-за его простоты использования.

В случае p-адического анализа термин test является необходимым и достаточным условием сходимости из-за неравенства неархимедова треугольника.

Использование

[ редактировать ]

В отличие от более строгих тестов на сходимость ряда , термин «тест» сам по себе не может доказать сходимость . В частности, обратное тесту неверно; вместо этого все, что можно сказать, это:

Если затем могут сойтись, а могут и не сойтись. Другими словами, если тест не дает результатов.

Гармонический ряд — классический пример расходящегося ряда, члены которого ограничиваются нулем. [3] Более общий класс p -серий ,

иллюстрирует возможные результаты теста:

  • Если p ≤ 0, то термин тест идентифицирует ряд как расходящийся.
  • Если 0 < p ≤ 1, то тест на термин не дает результатов, но ряд расходится по интегральному тесту на сходимость .
  • Если 1 < p , то проверка термина не дает окончательных результатов, но ряд сходится, опять же по интегральному тесту на сходимость.

Доказательства

[ редактировать ]

Тест обычно доказывается в контрапозитивной форме:

Если сходится, то

Ограничьте манипуляции

[ редактировать ]

Если s n — частичные суммы ряда, то предположение о том, что рядсходится означает, что

для некоторого числа L . Затем [4]

Критерий Коши

[ редактировать ]

Предположение о сходимости ряда означает, что он проходит тест сходимости Коши : для каждого существует число N такое, что

справедливо для всех n > N и p ≥ 1. Установка p = 1 восстанавливает определение утверждения [5]

Самая простая версия термина «проверка» применима к бесконечным рядам действительных чисел . Два приведенных выше доказательства, используя критерий Коши или линейность предела, также работают в любом другом нормированном векторном пространстве. [6] (или любую (аддитивно записанную) абелеву группу).

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Качор стр.336
  2. ^ Например, Рудин (с.60) называет только контрапозитивную форму и не называет ее. Брабенец (стр. 156) называет это просто проверкой n-го члена . Стюарт (стр. 709) называет это тестом на дивергенцию .
  3. ^ Рудин с.60
  4. ^ Брабенец стр.156; Стюарт с.709
  5. ^ Рудин (стр. 59-60) использует эту идею доказательства, начиная с другой формулировки критерия Коши.
  6. ^ Хансен стр.55; Шухуби стр.375
  • Брабенец, Роберт (2005). Ресурсы для изучения реального анализа . МАА. ISBN  0883857375 .
  • Хансен, Вагн Лундсгаард (2006). Функциональный анализ: вход в гильбертово пространство . Всемирная научная. ISBN  9812565639 .
  • Качор, Веслава и Мария Новак (2003). Проблемы математического анализа . Американское математическое общество. ISBN  0821820508 .
  • Рудин, Вальтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-Х .
  • Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (4-е изд.). Брукс/Коул. ISBN  0-534-36298-2 .
  • Шухуби, Эрдоган С. (2003). Функциональный анализ . Спрингер. ISBN  1402016166 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1649a132989c1239fcbdc4ea628cc022__1663539360
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/16/22/1649a132989c1239fcbdc4ea628cc022.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
nth-term test - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)