Истощение компактами

В математике , особенно в общей топологии и анализе , исчерпывание компактами. ^[1] пространства топологического $X$ представляет собой вложенную последовательность подмножеств компактных $K_{i}$ из $X$ (т.е. $K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots$ ), такой, что $K_{i}$ содержится внутри $K_{i+1}$ , то есть $K_{i}\subseteq {\text{int}}(K_{i+1})$ для каждого $i$ и $X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}$ . Пространство, допускающее исчерпывание компактами, называется исчерпаемым компактами .

Например, рассмотрим $X=\mathbb {R} ^{n}$ и последовательность закрытых шаров $K_{i}=\{x:|x|\leq i\}.$

Иногда некоторые авторы отказываются от требования, чтобы $K_{i}$ находится внутри $K_{i+1}$ , но тогда это свойство становится тем же, что и пространство, будучи σ-компактным , а именно счетным объединением компактных подмножеств.

Характеристики

Следующие утверждения эквивалентны для топологического пространства. $X$ : ^[2]

$X$ исчерпывается компактами.
$X$ является σ-компактным и слабо локально компактным .
$X$ линделефово и слабо локально компактно.

(где слабо локально компактный означает локально компактный в том слабом смысле, что каждая точка имеет компактную окрестность ).

Свойство полукомпактности занимает промежуточное положение между исчерпаемостью компактами и σ-компактностью. Всякое пространство, исчерпаемое компактами, полукомпактно. ^[3] и каждое полукомпактное пространство σ-компактно, но обратные импликации не выполняются. Например, пространство Аренса-Форта и пространство Апперта полукомпактны, но не исчерпываемы компактами (поскольку не являются слабо локально компактными), ^[4] и набор $\mathbb {Q}$ рациональных чисел с обычной топологией является σ-компактным, но не полукомпактным. ^[5]

Всякое регулярное пространство, исчерпаемое компактами, паракомпактно . ^[6]

Примечания

^ Ли 2011 , с. 110.
^ "Вопрос о локальной компактности и $\sigma$-компактности" . Математический обмен стеками .
^ «Означает ли локально компактное и $\sigma$-компактное нехаусдорфово пространство полукомпактность?» . Математический обмен стеками .
^ «Может ли полукомпактное пространство не быть слабо локально компактным?» . Математический обмен стеками .
^ "$\sigma$-компактное, но не полукомпактное пространство?" . Математический обмен стеками .
^ «локально компактные и сигма-компактные пространства паракомпактны в nLab» . ncatlab.org .

Ссылки

Леон Эренпрейс , Теория распределений для локально компактных пространств , Американское математическое общество , 1982. ISBN 0-8218-1221-1 .
Ганс Грауэрт и Райнхольд Реммерт , Теория пространств Штейна , Springer Verlag (Классика математики), 2004. ISBN 978-3540003731 .
Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7939-1 .

Внешние ссылки

«Истощение компактами» . ПланетаМатематика .
«Существование исчерпания компактов» . Математический обмен стеками .

[FOOTNOTELee2011110-1] Ли 2011 , с. 110.

[2] "Вопрос о локальной компактности и $\sigma$-компактности" . Математический обмен стеками .

[3] «Означает ли локально компактное и $\sigma$-компактное нехаусдорфово пространство полукомпактность?» . Математический обмен стеками .

[4] «Может ли полукомпактное пространство не быть слабо локально компактным?» . Математический обмен стеками .

[5] "$\sigma$-компактное, но не полукомпактное пространство?" . Математический обмен стеками .

[6] «локально компактные и сигма-компактные пространства паракомпактны в nLab» . ncatlab.org .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]